第四章傅里葉變換及應(yīng)用

1、復習分離變量法：,求解下列定解問題,解：設(shè),代入方程，得,令,代入邊界條件,得特征值問題,求得特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為,類似地, 我們得到,其特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為,及特征值問題,記,代入關(guān)于t的方程,上述方程通解為,于是得到,利用疊加原理, 得到定解問題的形式解,其中系數(shù),下面, 我們利用初始條件確定系數(shù),由于三角函數(shù)系的正交性, 得,第四章 傅里葉變換及應(yīng)用,傅里葉變換是積分變換的一種，它可用來求解無界區(qū)域上的定解問題。 傅里葉變換可以把線性偏微分方程變?yōu)楹休^少變量的線性偏微分方程或常微分方程，從而使問題得到簡化,如果 滿足上面的條件，我們可以定義傅立葉逆變換為:,如果函數(shù) 在 上絕對

2、可積，它的傅立葉變換定義如下：,一. 傅立葉變換,反演公式,注1：,在有些參考文獻中, 因子被分解成 , 并且分別含在上述兩個式子（1）和（2）中. 而在式(1)中的函數(shù) 寫成 ， 從而在式(2)中函數(shù) 寫成 . 這些本質(zhì)上同定義（1）（2）沒有差別.,注2：,在三維無界空間中, 若 是絕對可積函數(shù), 則可定義三重傅里葉變換,當然，我們也可以定義傅立葉逆變換,傅立葉變換的性質(zhì):,1） 線性性質(zhì) 設(shè) f, g 是絕對可積函數(shù)， 是任 意復常數(shù)，則,2） 微分性質(zhì) 設(shè) f , 絕對可積函數(shù)，則,3）乘多項式 設(shè) f , x f 絕對可積，則,4）相似性質(zhì) 設(shè) f (x) 絕對可積，則,6） 卷積性

3、質(zhì) 設(shè)f , g 是絕對可積函數(shù)， 令,則,5）延遲性質(zhì) 設(shè) f (x) 絕對可積，則,7）積分性質(zhì),8）頻移性質(zhì),例1 用傅里葉變換法解熱傳導方程定解問題：,解：作關(guān)于 x 的傅立葉變換,方程可變?yōu)?設(shè),二. 傅里葉變換的應(yīng)用,可解得,由于,即,則,從而方程的解,例 用積分變換法解方程：,解： 作關(guān)于 的傅立葉變換。設(shè),方程變?yōu)?用常數(shù)變易法可解得,而,則,傅立葉變換是一種把分析運算化為代數(shù)運算的有效方法,但 1.傅立葉變換要求原象函數(shù)在R上絕對可積.大部分函數(shù)不能作傅立葉變換,2.傅立葉變換要求函數(shù)在整個數(shù)軸上有定義,研究混合問題時失效.,積分變換法求解問題的步驟,對方程的兩邊做 傅里葉變

4、換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?對定解條件做相應(yīng)的積分變換，導出新方程對應(yīng)的定解條件,求常微分方程及定解條件的解,對解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問題的解,數(shù)學物理方程+定解條件,解,常微分方程+定解條件,解,積分變換,逆變換,如何使用積分變換法求解定解問題：,選取恰當?shù)姆e分變換，對某個（某些）自變量作積分變換，得到象函數(shù)的含參變量的常微分方程； 2）對部分定解條件取相應(yīng)的積分變換, 導出象函數(shù)方程的定解條件； 3）解關(guān)于象函數(shù)的定解問題, 求出象函數(shù)； 4）將象函數(shù)取積分逆變換，即得原定解問題的解.,傅立葉變換的取值范圍是 ， 拉普拉斯變換的取值范圍是 。,需要注意,解：取變換符氏,例3 用傅里葉變換求解波動方程的初值問題：,例4 用傅里葉變換求解波動方程的初值問題：,解：作關(guān)于 x 的傅立葉變換。設(shè),于是原方程變?yōu)?滿足初始條件,齊次方程的解,設(shè)非齊次方程的解為,令,則,代入方程,得,積分上述兩式,得到非齊次方程的通