2.2-根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達式.ppt

1、Ch.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（模型）,目錄(1/1),目 錄 概述 2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間表達式 2.2 根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達式 2.3 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關系建立狀態(tài)空間表達式 2.4 狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型 2.5 傳遞函數(shù)陣 2.6 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.7 Matlab問題 本章小結(jié),根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型(1/5),2.2 根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達式 建立被控對象的數(shù)學模型是進行系統(tǒng)分析和綜合的第一步,是控制理論和工程的基礎. 上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機理

2、及電網(wǎng)絡分析方法. 這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機理建立對象的數(shù)學模型的方法稱為機理建模. 機理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲存和傳遞中的動態(tài)平衡關系,以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關系,如電感的電壓和電流滿足的動態(tài)關系.,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型(2/5),在實際工程系統(tǒng)中,許多過程和元件都具有儲存和傳遞能量 (或信息)的能力。例如, 機械動力學系統(tǒng)中的彈簧和運動中的質(zhì)量體都儲存有能量并能通過某種形式傳遞; 化工熱力學系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲存與傳遞; 化工反應系統(tǒng)中的反應物質(zhì)的物料傳遞和平衡的信息. 對這些系統(tǒng),根據(jù)其物理和化學變化的機理,由相應描述這些變化的物理和

3、化學的定理、定律和規(guī)律等,可得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動靜態(tài)關系式.因此,在選擇適宜的狀態(tài)變量后,可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式.,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型(3/5),建立動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學模型的主要機理/依據(jù)有: 電網(wǎng)絡系統(tǒng)中回路和節(jié)點的電壓和電流平衡關系,電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動態(tài)關系. 機械動力學系統(tǒng)中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關系. 對旋轉(zhuǎn)運動,則相應的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度. 化工熱力學系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲存,化工反應工程系統(tǒng)中參加反應的物料的傳遞和平衡關系. 經(jīng)濟系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型(4/5),建立狀態(tài)空間表達式的

4、關鍵在于狀態(tài)變量的選取，它是建立狀態(tài)空間表達式的前提 狀態(tài)變量的主要選取辦法 系統(tǒng)儲能元件的輸出 系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導數(shù) 上述狀態(tài)變量的數(shù)學投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標準形式的變量）,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型(5/5),下面通過常見的 剛體力學系統(tǒng)、 流體力學系統(tǒng)、 典型化工(熱工)過程 機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng) 討論如何建立狀態(tài)空間表達式.,剛體動力學系統(tǒng)(1/4),1. 剛體動力學系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-7表示由彈簧、質(zhì)量體、阻尼器組成的剛體動力學系統(tǒng)的物理模型. 試建立以外力u(t)為系統(tǒng)輸入,質(zhì)量體位移y(t)為輸出的狀態(tài)空間表達式.,剛體動力學系統(tǒng)(2/4),解 對許多實際系

5、統(tǒng),由于對系統(tǒng)的各種物理量的初始值或絕對值難于了解,一般將對物理量僅考慮在其相對于初始狀況之后的相對值。 對本例的剛體力學系統(tǒng),一般先假設在外力u(t)作用于小車之前,小車已處于平衡態(tài)。 下面僅考慮外力加入后,對小車運動的影響. 系統(tǒng)的受力情況如下圖所示.,2. 選擇狀態(tài)變量. 對機械動力學系統(tǒng),常常將位移、速度等選作狀態(tài)變量. 對本例,有,剛體動力學系統(tǒng)(3/4),1. 應根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所滿足的關系式. 由牛頓第二定律有,剛體動力學系統(tǒng)(4/4),4. 建立輸出方程 y=x1 5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間表達式,3. 將狀態(tài)變量代入運動方

6、程,例 設機械位移系統(tǒng)如圖2-1所示。力F及阻尼器汽缸速度v為兩種外作用，給定輸出量為質(zhì)量塊的位移x及其速度 、加速度 。圖中m、k、f分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)。試求該雙輸入-三輸出系統(tǒng)的動態(tài)方程。,圖21 雙輸入-三輸出機 械位移系統(tǒng),解 據(jù)牛頓力學，故有 顯見為二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移及初始速度，該微分方程在輸入作用下的解便唯一確定，故選 和 作為狀態(tài)變量。設 ，三個輸出量為 ，可由微分方程導出下列動態(tài)方程：,式中,其矩陣形式的狀態(tài)空間 表達式,在水平方向，應用牛頓第二定律：,對擺桿（不考慮其質(zhì)量）與小球，運用達郎貝爾原理，以 擺桿與小車鉸接點為矩心，建立力矩平衡方程：,而由

7、：,原方程展開得：,線性化：當 和 較小時 ，有,化簡后，得,u 為系統(tǒng)輸入， y 為系統(tǒng)輸出。,狀態(tài)變量圖為,流體動力學系統(tǒng)(1/5),2. 流體力學系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-8為串聯(lián)的兩個水槽,其截面積分別為A1和A2,當閥門的開度不變,在平衡工作點附近閥門阻力系數(shù)分別可視為常量R1和R2. 圖中Qi,Q1和Qo為流量; h1和h2為水槽的水面高度. 試求輸入為Qi,輸出為h2時的狀態(tài)空間表達式.,流體動力學系統(tǒng)(2/5),下面在討論本例的解之前,先簡單總結(jié)一下如下流量與壓力(壓強)的關系.,解 對本例的流體力學系統(tǒng),假設對兩個水槽的流入和流出的水流體已處于平衡. 下面僅考慮流量Qi的變化

8、量Qi引起的水槽水位的變化.,壓力,流量,電路,電壓,電流,流體,壓力(液位差),液體流量,氣體,氣壓差(壓強),氣流量(風量),壓力/流量,電阻,閥門阻力系數(shù),風阻力系數(shù),流體動力學系統(tǒng)(3/5),1. 機理分析. 根據(jù)水槽中所盛的水量的平衡關系和流量與壓力(水面高度,液位差)的關系,有,其中代表平衡工作點附近的變化量. 將上述方程的中間變量Q1和Qo消去,則有,流體動力學系統(tǒng)(4/5),2. 選擇狀態(tài)變量. 由于只有兩個獨立的微分方程,故可選擇兩個狀態(tài)變量. 對本例的流體動力學系統(tǒng),可選水面高度的變化量h1和h2為狀態(tài)變量,即 x1(t)=h1(t), x2(t)=h2(t) 3. 將狀態(tài)

9、變量代入上述水面高度變化量的動態(tài)方程,則有如下狀態(tài)方程,流體動力學系統(tǒng)(5/5),4. 建立輸出方程 y=x2 5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間表達式,典型化工(熱工)過程 (1/5),3. 典型化工(熱工)過程的狀態(tài)空間描述 圖2-9為一化學反應器,它是一均勻、連續(xù)流動單元,其中發(fā)生如下二級吸熱反應,圖2-9 某化工(熱工)過程,2AB 該化工反應生產(chǎn)過程為: 溫度為f(常量),含A物質(zhì)濃度為CAf(常量)的料液以Q(t)的流量進入反應器; 為保證單元內(nèi)的液體體積不變,假定流出的流量亦為Q(t);,典型化工(熱工)過程 (2/5),為了使化學反應向右進行,用蒸汽對反應器內(nèi)的溶液進行加

10、熱,蒸汽加熱量為q(t)。 試以料液的流量Q(t)和蒸汽加熱量q(t)為輸入,容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為輸出,建立狀態(tài)空間模型。,典型化工(熱工)過程 (3/5),解 1. 機理分析. 在化學反應中,一般應保持熱量和物料的平衡關系。 因此,對整個反應器作熱量和物料平衡,就有,其中V,CP分別為容器體積、比重和比熱;k為反應速率常數(shù); H為反應熱。,典型化工(熱工)過程 (4/5),2. 選擇狀態(tài)變量. 顯然,選擇容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為狀態(tài)變量是合理的。因此,令 x1(t)=(t) x2(t)=CA(t) 3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下狀態(tài)方程,典

11、型化工(熱工)過程 (5/5),上述狀態(tài)空間模型表示的是一個雙輸入雙輸出的非線性定常系統(tǒng)。,和輸出方程,機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(1/5),4. 機電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-10表示某電樞控制的直流電動機,其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感,J為轉(zhuǎn)動慣量,負載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦. 試列寫以電樞電壓u(t)為輸入,軸的角位移(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.,機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(2/5),解 1. 設電動機勵磁電流不變,鐵心工作在非飽和區(qū). 按照圖2-10所描述的電動機系統(tǒng),可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動動力學方程,其中Ea和M分別為如下電樞電勢和轉(zhuǎn)矩 Ea=Ced/dt, M=CMia 其中C

12、e和Cm分別為電樞電勢常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)(含恒定的磁通量) .,機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(3/5),因此,上述主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動運動方程可記為,2. 選擇狀態(tài)變量. 對于本例,若已知電樞電流ia(t),角位移(t)和其導數(shù)d/dt在初始時刻t0的值,以及電樞電壓u,則上述微分方程組有唯一解. 因此,可以選擇狀態(tài)變量如下,機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(4/5),3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下狀態(tài)方程,4. 建立輸出方程 y=x2,機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(5/5),5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(1/3),本節(jié)小結(jié) 由上述4個例子,可總結(jié)出由系統(tǒng)的物理機理建立狀

13、態(tài)空間表達式的基本步驟為: Step 1. 根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部機理得到各物理量所滿足的微分方程. 如: 回路電壓和節(jié)點電流方程, 牛頓第二定律, 熱量和物料平衡關系, 經(jīng)濟學中的投入產(chǎn)出方程等,還記得自動控制原理課中怎么寫模型,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(2/3),Step 2. 選擇狀態(tài)變量. 一般狀態(tài)變量的個數(shù)應為獨立的一階儲能元件數(shù),并將儲能元件上的物理變量及各階導數(shù)選為狀態(tài)變量,如 電網(wǎng)絡中電容電壓和電感電流, 剛體力學系統(tǒng)中慣性體的位移和速度(或角位移和角速度), 流體力學系統(tǒng)中流量和液面高度(容量、體積), 化工系統(tǒng)中熱量(或溫度)和流量(或濃度) 等物理變量作為狀態(tài)變量,是較方便的.,寫狀態(tài)空間模型的關鍵喔,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(3/3),Step 3. 將選擇好的狀態(tài)變量代換