彈性力學(xué)1.ppt

1、1,例題2,例題3,第四章例題,例題4,例題5,例題6,例題7,例題9,例題10,例題8,例題,例題1 （習(xí)題4-8）試考察應(yīng)力函數(shù) 能解決圖中所示彈性體的何種受力問題？,y,x,a,a,0,第四章例題,解：本題應(yīng)按逆解法求解。,首先校核相容方程， 是滿足的。 然后，代入應(yīng)力公式（4-5），求出應(yīng)力分量：,第四章例題,再求出邊界上的面力：,讀者可由此畫出邊界上的面力分布。,第四章例題,半平面體表面受有均布水平力q，試用應(yīng)力函數(shù) 求解應(yīng)力分量。,例題2（習(xí)題4-9）,第四章例題,解：首先檢驗(yàn) ，已滿足 。由 求應(yīng)力，代入應(yīng)力公式得,第四章例題,再考察邊界條件。注意本題有兩個 面,即 ，分別為 面

2、。在 面上，應(yīng)力符號以正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?。因此，?代入公式，得應(yīng)力解答，,第四章例題,設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上的力矩為M，試求應(yīng)力分量。,第四章例題,例題3（習(xí)題4-18）,（1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。應(yīng)力應(yīng)與 有關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力，即 ，應(yīng)力只能以 形式組合。,解：應(yīng)用半逆解法求解。,第四章例題,（2） 應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高二次冪，可假設(shè) 。,刪去因子 ，得一個關(guān)于 的常微分方程。令其解為 ，代入上式，可得到一個關(guān)于 的特征方程，,第四章例題,（3）將 代入相容方程，得,其解為 于是得 的四個解 ；前兩項(xiàng)又可以組合為正弦、

3、余弦函數(shù)。由此得 本題中結(jié)構(gòu)對稱于 的 軸，而 是反對稱荷載，因此，應(yīng)力應(yīng)反對稱于 軸，為 的奇函數(shù)，從而得,第四章例題,（5）考察邊界條件。由于原點(diǎn)o有集中力偶 作用，應(yīng)分別考察大邊界上的條件和 原點(diǎn)附近的條件。 在 的邊界上，有,第四章例題,（4）由 求得應(yīng)力分量，,為了考慮原點(diǎn)o附近有集中力偶的作用，取出以o為中心， 為半徑的一小部分脫離體，并列出其平衡條件，,前一式自然滿足，而第二式成為,第四章例題,(a),上式中前兩式自然滿足，而第三式成為,再由式（a）得出 代入應(yīng)力公式，得最后的應(yīng)力解答，,第四章例題,(b),設(shè)有厚度為1的無限大薄板，在板內(nèi)小孔中受集中力F，試用如下的應(yīng)力函數(shù)求解

4、，,第四章例題,例題4（習(xí)題4-19）,x,y,0,F,（1）經(jīng)校核，上述 滿足相容方程。,解：,（2）代入應(yīng)力公式，得,第四章例題,（3）考察邊界條件。本題只有原點(diǎn)o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在內(nèi)的、半徑為 的脫離體，列出其三個平衡條件：,第四章例題,將應(yīng)力代入上式，其中第二、三式自然滿足，而第一式得出,第四章例題,(a),（4）由此可見，考慮了邊界條件后還不足以確定待定常數(shù)。注意到本題是多連體，應(yīng)考慮位移的單值條件。因此，先求出應(yīng)變分量，再積分求出位移分量，然后再考慮單值條件。,第四章例題,由物理方程求出應(yīng)變分量，,第四章例題,代入幾何方程，得,由前兩式積分，得,第四章

5、例題,將 代入第三式，并分開變量，得,第四章例題,為了使上式在區(qū)域內(nèi)任意的 都成立，兩邊都必須等于同一常數(shù)G。這樣，得到兩個常微分方程，,由式（b）解出,第四章例題,(b),將式（c）對 求導(dǎo)一次，再求出,再將上式的 代入 ，得,顯然，式（d）中第二項(xiàng)是多值項(xiàng)。為了保證位移的單值性，必須,第四章例題,(d),(e),將式（a）代入上式，得,將式（a）、（f）代入應(yīng)力公式，得無限大薄板在小孔口受集中力F的解答：,第四章例題,試由書中式（4-21）的解答，導(dǎo)出半平面體（平面應(yīng)力問題）在邊界上受一水平集中力F作用下的應(yīng)力和位移的解答。,第四章例題,例題5,解： 由書中式（4-21），當(dāng) 時，,用直角

6、坐標(biāo)系的應(yīng)力分量表示，,第四章例題,第四章例題,以下來求位移解答。將應(yīng)力代入物理方程得應(yīng)變分量，,再代入幾何方程，分別積分求出位移分量：,第四章例題,兩邊對 積分，得,得,由幾何方程第一式，,由幾何方程第二式，,第四章例題,再將式（a）和（b）代入幾何方程的第三式，,分開變量后，兩邊分別為 的函數(shù)，各應(yīng)等于同一常數(shù)G，即,兩邊對 積分，得,第四章例題,于是得兩個常微分方程。式（c）中的前一式為,對式（c）的后一式再求一次導(dǎo)數(shù)，,得,第四章例題,將 和 代入 的表達(dá)式；并由式（c）得,第四章例題,得解 為,代入后，得出位移的解答如下，,第四章例題,由反對稱條件，當(dāng) 時，,而另兩個剛體位移分量H和

7、K，因未有約束條件不能求出。 代入，得最后的位移解，,第四章例題,水平位移是,在半平面體的左半表面，鉛直沉陷是,取B點(diǎn) 為參考點(diǎn)，則M點(diǎn) 的相對水平位移 是,第四章例題,圓盤的直徑為d，在一直徑AB的兩端點(diǎn)受到一對大小相同，方向相反的集中力F的作用，試求其應(yīng)力。,第四章例題,例題6,解：本題可應(yīng)用半平面體受鉛直集中力的解答，進(jìn)行疊加而得出。 （a）假設(shè)GH以下為半平面體，在A點(diǎn)的F作用下，引用書中式（4-22）之解，,第四章例題,（b）假設(shè)IJ以上為半平面體，在B點(diǎn)的F作用下，類似地得出,（c）對于圓周上的點(diǎn)M，分別作用 且 ，并有,顯然，在圓周上有,第四章例題,因此，圓盤在對徑受壓時，其應(yīng)力

8、解是 (a),(b),(c)三部分解答之和。,兩者合成為圓周上的法向分布壓力 為了消除圓周上的分布壓力，應(yīng)在圓周上施加分布拉力 其對應(yīng)的應(yīng)力分量為,第四章例題,由于,最大壓應(yīng)力發(fā)生在圓盤的中心，,得到CD線上的應(yīng)力分量,第四章例題,現(xiàn)在來計(jì)算水平直徑CD線上的 值。對于N點(diǎn)，設(shè) 則有,讀者試求出CD線和AB線上的水平正應(yīng)力 值，并證明在中心線AB上， 為常量的拉應(yīng)力。AB線上的常量拉應(yīng)力，便是劈裂試驗(yàn)的參考解答。,第四章例題,圖示的曲桿，其截面為狹矩形，內(nèi)外半徑分別為r和R，在兩端受有力矩M的作用，試求其應(yīng)力。,第四章例題,例題7,解：本題中每一個截面上，內(nèi)力都是M，因而也屬于軸對稱問題，可以

9、引用軸對稱應(yīng)力解：,在主要邊界 上，邊界條件是,由于 ，后兩式自然滿足，而其余兩式為,在兩端部，或者任一截面 上，有邊界條件,第四章例題,上式中第一式自然滿足。對于后兩式，注意有積分式,得到,第四章例題,注意式 (c)實(shí)際上是式(a)和(b) 的組合。由式 (a)、(b)、(d) 解出,第四章例題,其中,曲桿中的應(yīng)力分量為,第四章例題,例題8 圖示的三角形懸臂梁，在上邊界 受到均布壓力q的作用，試用下列應(yīng)力的函數(shù),求出其應(yīng)力分量。,第四章例題,解：應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)滿足相容方程和邊界條件，從中可解出常數(shù),第四章例題,得出的應(yīng)力解答是,第四章例題,在截面 mn 上，正應(yīng)力和切應(yīng)力為,第四章例題,例題9 圖中所示的半平面體，在 的邊界上受到均布壓力q的作用，也可以應(yīng)用下列用極坐標(biāo) 表示的應(yīng)力函數(shù),進(jìn)行求解，試求其應(yīng)力分量。,第四章例題,解：將上述的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，并校核邊界條件，若兩者均滿足，就可以求出應(yīng)力分量。,第四章例題,本題的應(yīng)力分量用極坐標(biāo)表示的解答為,第四章例題,圖中所示的半平面體，在 的邊界上受到均布切力q的作用，也可以應(yīng)用下列用極坐標(biāo) 表示的 應(yīng)力函數(shù),進(jìn)行求解，試求其應(yīng)力分量。