系統(tǒng)數(shù)學(xué)第二章.ppt

1、第二章 經(jīng)典關(guān)系和模糊關(guān)系,理解關(guān)系這一概念是弄清楚本書(shū)中許多問(wèn)題的關(guān)鍵：關(guān)系和邏輯、近似推理、公理體系、分類、圖像識(shí)別以及控制等領(lǐng)域緊密相關(guān)。,本章首先介紹集合上的一些運(yùn)算，如笛卡爾積、關(guān)系的復(fù)合、相似和等價(jià)性質(zhì)等等，最后介紹關(guān)于賦值方面的內(nèi)容，用來(lái)討論得到關(guān)系元素的各種方法。,2.1 笛卡爾積,一個(gè)r元的有序序列，稱為一個(gè)有序r元組，記做,常見(jiàn)的是2元組，即 r =2，此時(shí)稱 為序偶,對(duì)于清晰集 , 其所有 r 元組 ，稱為 上的笛卡爾積，記做： ，其中 。,當(dāng) 時(shí)， 可表示為,例：設(shè)A=0,1, B=a,b,c，則,2.2 清晰關(guān)系,笛卡爾積 的一個(gè)子集，稱為 的 r 元關(guān)系。,兩個(gè)論域

2、X、Y上的笛卡爾積定義為：,我們也可以用特征函數(shù)來(lái)表示笛卡爾積，即論域元素的序偶間的相關(guān)強(qiáng)度，完全相關(guān)其值為 1，而無(wú)關(guān)其值為 0，即：,對(duì)于更一般的 上的關(guān)系 , 可以用特征函數(shù)描述為：,例：X=1,2,3, Y=a,b,c, 設(shè)關(guān)系R=(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,c),1,2,3,a,b,c,關(guān)系R的矢圖如下：,當(dāng)論域或集合有限時(shí)，我們可以用矩陣來(lái)表示這種關(guān)系，稱為關(guān)系矩陣。對(duì)于上例,a b c,關(guān)系也可以定義為連續(xù)論域，例如，考慮由下式,定義的連續(xù)關(guān)系，則,x,y,2.2.1 清晰關(guān)系的運(yùn)算,定義R和S為 上的兩個(gè)獨(dú)立關(guān)系，且分別定義零關(guān)系和全關(guān)系為關(guān)系矩陣O和

3、E,對(duì)于4階方陣的情況：,現(xiàn)在定義兩個(gè)清晰關(guān)系的運(yùn)算如下：,并：,交：,補(bǔ)：,包含：,同一性：,2.2.2 清晰關(guān)系的性質(zhì),清晰關(guān)系的交換、結(jié)合、分配、對(duì)和及冪 等性質(zhì)和經(jīng)典集合的運(yùn)算相同。并且和清晰（經(jīng)典）集合一樣，德.摩根定律和排中率也可用于清晰關(guān)系。,舒適的溫度,某人喜歡的水果,小王喜歡的水果,桔子,西瓜,桃子,葡萄,香蕉,草莓,水果的種類,對(duì)于某人的“年輕人”,小李定義的年輕人,年齡（歲）,模糊集合的并、交、補(bǔ)集合a,函數(shù)是關(guān)系的一個(gè)特例,2.2.3 復(fù)合,設(shè),即,即,從上面兩個(gè)關(guān)系出發(fā)，是否能夠找到一個(gè)關(guān)系,這種對(duì)關(guān)系的運(yùn)算，稱為復(fù)合，記做,例：,X,Y,Z,復(fù)合運(yùn)算有兩種常用形式：

4、 一是最大最小復(fù)合 二是最大積 復(fù)合,最大最小復(fù)合,最大積復(fù)合,例：,利用最大最小復(fù)合式，得,2.3 模糊關(guān)系,模糊關(guān)系 是笛卡爾空間 到區(qū)間0，1的映射，其映射的強(qiáng)度可用隸屬函數(shù)（而不是特征函數(shù)）來(lái)表示。,2.3.1 模糊關(guān)系的運(yùn)算,設(shè) 和 均是 上的模糊關(guān)系，則兩個(gè)關(guān)系的并、交、補(bǔ)等運(yùn)算如下：,并：,交：,補(bǔ)：,包含：,2.3.2 模糊關(guān)系的性質(zhì),正如與清晰關(guān)系一樣，交換、結(jié)合、分配、對(duì)和及冪等性質(zhì)也適合模糊關(guān)系。并且德.摩根定律也像對(duì)清晰（經(jīng)典）關(guān)系一樣適合模糊關(guān)系。零關(guān)系O及全關(guān)系E與集合論中的空集和全集分別類似。一般情況下，模糊關(guān)系和模糊集合一樣不滿足排中率。,2.3.3 笛卡爾積和

5、復(fù)合,設(shè) ，,模糊集 之間的笛卡爾積就是一個(gè)模糊關(guān)系，,例：,設(shè),和,模糊關(guān)系的復(fù)合,設(shè),即,即,模糊最大最小復(fù)合：,模糊最大積復(fù)合：,應(yīng)該指出，無(wú)論是清晰關(guān)系還是模糊關(guān)系的復(fù)合一般都不可逆，即,例：,考慮下列模糊關(guān)系：,應(yīng)用最大最小復(fù)合方法：,應(yīng)用最大積復(fù)合方法：,2.4 相似和等價(jià)關(guān)系,2.4.1 清晰等價(jià)關(guān)系,域 X 上的一個(gè)關(guān)系 R 也可以認(rèn)為是從X到X的關(guān)系，如果關(guān)系R滿足：,自反性：,或,對(duì)稱性：,或,傳遞性：,或,則稱R為等價(jià)關(guān)系。,2.4.2 清晰相似關(guān)系,如果上面討論的域 X 上的關(guān)系 R 只具有自反性和對(duì)稱性 ，則稱 R 是相似關(guān)系。,相似關(guān)系 至多經(jīng) n-1 次復(fù)合，可以

6、復(fù)合成一個(gè)等價(jià)關(guān)系。,這里 n 是域 X 中定義 R 的集合的基數(shù)。,例：（P51）,但,經(jīng)過(guò)兩次復(fù)合，可將 變?yōu)橐粋€(gè)等價(jià)關(guān)系,相似關(guān)系的五頂點(diǎn)圖,等價(jià)關(guān)系的五頂點(diǎn)圖,2.5 模糊的相似關(guān)系和等價(jià)關(guān)系,域 X 上的一個(gè)模糊關(guān)系 也可以認(rèn)為是從X到X的關(guān)系，如果該關(guān)系滿足：,自反性：,對(duì)稱性：,傳遞性：,其中：,，則稱該關(guān)系是模糊等價(jià)關(guān)系,相似關(guān)系 至多經(jīng) n-1 次復(fù)合，可以復(fù)合成一個(gè)等價(jià)關(guān)系。,這里 n 是域 X 中定義 的集合的基數(shù)。,若上面討論的域 X 上的關(guān)系 只具有自反性和對(duì)稱性 ，則稱 是相似關(guān)系。,例：（P53）,但,經(jīng)過(guò)4次復(fù)合可得到等價(jià)關(guān)系,2.6 賦值,與關(guān)系相關(guān) 的一個(gè)重要問(wèn)題是如何得到關(guān)系中的隸屬度。主要有 6 種方法： 1.笛卡爾積 2.閉形表達(dá)式 3.查表 4.知識(shí)的語(yǔ)言規(guī)則 5.分類 6.數(shù)字處理方面的相似性方法,2.6.1 余弦幅度,余弦幅度法是一種較為實(shí)用的確定關(guān)系隸屬度的方法。設(shè)有 n 個(gè)數(shù)據(jù)樣本，構(gòu)成數(shù)組X,其中,這個(gè)表達(dá)式實(shí)際上來(lái)自于兩個(gè)向量的點(diǎn)積。,當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)（非常相似） ，其值為 1，當(dāng)兩個(gè)向量垂直時(shí)（非常不相似），其值為 0。,例：（P56）,在本例中，n=5, m=3,應(yīng)用上面的公式，例如，對(duì)于 有,經(jīng)兩次復(fù)合得到等價(jià)關(guān)系,2.6.2 最大-