數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模m03_hu

1、第三章簡單的優(yōu)化模型(經(jīng)濟管理中的極值問題)3.1 存貯模型3.2 生豬的出售時機(敏感性分析)3.5生產(chǎn)者的決策汽車配件生產(chǎn)車間3.1存貯模型問 題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠 生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn) 一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量、需求量、準(zhǔn)備費、貯存費之間的關(guān)系。要求 問題分析與思考 周期短，產(chǎn)量小 周期長，產(chǎn)量大貯存費少，準(zhǔn)備費多準(zhǔn)備費少，貯存費多權(quán)衡周期

2、和產(chǎn)量，使總費用最小 這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。用一個周期的總費用作為目標(biāo)函數(shù)? 目標(biāo)函數(shù)平均每件產(chǎn)品的總費用 等價于平均每天的總費用 模 型 假 設(shè)1. 市場對產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費為 c2；3. T天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即產(chǎn)出（生產(chǎn)時間不計）；4. 為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。 建 模 目 的設(shè) r, c1, c2 已知，求T, Q 使總費用的每天平均值最小。 離散問題連續(xù)化 模 型 建 立q貯存量表示為時間的函數(shù) q(t)t=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以按速率r

3、遞減，q(T)=0.Q = rTQrA=QT/20tTrT 2Q一周期總費用一周期貯存費為TC = c+ c= c+ cT121222q(t)dt = cAc220ccrT C(T ) = C=1+2TT2每天總費用平均值（目標(biāo)函數(shù)） 模型求解求 T 使C(T ) = c1+ c2rT MinT2dCdT= 0 模型分析r T ,Q c2 T,Q c1 T,Q 模型應(yīng)用c1=5000,c2=1，r=100 回答問題 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) T=2c1rc2Q = rT =2c1rc2 經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量 r，每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費 c1,每天每

4、件貯存費 c2 ，T天生產(chǎn)一次(周期), 每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量降到零時，Q件立即生產(chǎn)。2c1r2c1Q = rT =T=c2rc2 不允許缺貨的存貯模型 問：為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）訂貨問題：一鞋店大約每天賣出鞋30雙，批發(fā)一次貨的花費為300元，每雙鞋每天的存儲費用為0.1元。 問鞋店多少天批發(fā)一次貨，進貨量為多少？2c12c1rT=Q = rT =rc2c2c1=300,c2=0.1，r=30T=14(天), Q=420(雙)模型拓展允許缺貨現(xiàn)實條件：生產(chǎn)需要時間（習(xí)題2）； 市場需求不確定(參看9.3節(jié))新形勢：電子商務(wù)物流管理(異地配

5、貨)CUMCM1999A 自動化車床管理/thread-18470-1-1.html 3.2生豬的出售時機(敏感性分析) 問 題飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。市場價格目前為每千克8元，但是預(yù)測每天會降低 0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響？ 分 析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大 建模及求解估計r=2， g=0.1若當(dāng)前出售，利潤為808=640（元）生豬體重 w=80+rt出售價格 p=8-gt銷售收入 R=pw成本支出

6、C=4tQ(t) = (8 - gt)(80 + rt ) - 4t 利潤 Q=R-C=pw -C 求 t 使Q(t)最大 =10Q(10)=660 640 10天后出售，可多得利潤20元t = 4r - 40g - 2rgt 天出售rt = 4r - 40g - 2 敏感性分析rg估計r=2，r 1.5 研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響g=0.1t = 40r - 60 , 設(shè)g=0.1不變rt 關(guān)于r 的（絕對）敏感度20te(t, r) = t r dt= 1515dr10生豬每天體重增加量r 增加0.1 公斤，出售時間推遲1.5天。50r1.522.53S(t, r) = t /

7、t dtr = 3 t關(guān)于r 的（相對）敏感度dr t r /生豬每天體重增加量r 增加1%，出售時間推遲3%。t = 4r - 40g - 2 敏感性分析rg 研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響估計r=2，g=0.1t = 3 - 20g ,0 g 0.15 設(shè)r=2不變gt 對g的（相對）敏感度30t20 t / tdtgS(t, g) = g / gdgt103S(t, g) = -= -33 - 20g00.14g 0.160.060.080.10.12 生豬每天的降價幅度g增加1%，出售時間提前3%。 強健性(魯棒性)分析 研究 r, g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響w = w(t)p

8、 =p(t)Q(t) = p(t)w(t) - 4t p(t)w(t) +p(t)w(t) = 4Q(t) = 0每天利潤的增值每天投入的資金普遍適用的結(jié)論：保留生豬直到利潤的增值等于每 天的費用時出售(這時邊際利潤為零)一句話小結(jié)模型參數(shù)往往都是有誤差的，需要做靈敏度分析；數(shù)學(xué)模型本身往往只是近似的，需要做魯棒性分析。敏感性分析永遠是數(shù)學(xué)建模的重要方面.模型拓展飼料、人力、設(shè)備投入增加對生豬體重的影響的細致刻畫？體重、價格變化的不確定性？最優(yōu)停時問題：買賣股票的最佳時機？生產(chǎn)者的決策3.5問題1） 產(chǎn)量等于銷量，記作 x2） 收入與銷量 x 成正比，系數(shù) p 即價格3） 支出與產(chǎn)量 x 成正

9、比，系數(shù) q 即成本4） 銷量 x 依賴于價格 p, x(p)是減函數(shù)進一步設(shè)x( p) = a - bp, a, b 0假設(shè) 收入 I ( p) = px 利潤 U( p) = I ( p) - C( p) 求p使U(p)最大建模與求解支出 C( p) = qx根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格，使利潤最大背景：產(chǎn)品定價方法成本導(dǎo)向定價：按商品單位成本加上一定比例的毛利定價。競爭導(dǎo)向定價：依據(jù)競爭對手的價格，制定價格，以實施企業(yè)的競爭策略。需求導(dǎo)向定價：根據(jù)消費者群體對于各種不同的產(chǎn)品感受的價值定價。使利潤 U(p)最大的最優(yōu)價格 p*滿足dU= 0dp*p= p邊際收入邊

10、際支出 最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到(邊際利潤0)U ( p) = I ( p) - C( p)= ( p - q)(a - bp)I ( p) = pxC( p) = qxx( p) = a - bpp*= q +a22bdI= dCdp*dp*p= pp= p建模與求解= q +ap*x( p) = a - bp, a, b 022b q / 2 成本的一半 a / (2b) 使收入最大的p啟示：商品價格一半由成本決定，一半由需求決定 應(yīng)用中的問題：銷量，時滯，競爭，a p* a 絕對需求(最大銷量)， p=a/b時，銷量為0b p* b 價格上升1單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度）結(jié)果解釋一句話小結(jié)數(shù)學(xué)模型的參數(shù)和數(shù)學(xué)建模的結(jié)論應(yīng)有直觀的實際意釋。數(shù)理定價問題拓展產(chǎn)銷平衡條件不成立？（考慮存貯費）電子商務(wù)的動態(tài)定價策略金融數(shù)學(xué)：定價