計(jì)算方法(B)課件：第7章 矩陣的特征值和特征向量

1、第7章 矩陣的特征值和特征向量,很多工程計(jì)算中，會(huì)遇到特征值和特征向量的計(jì)算，如：機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動(dòng)中的固有值問(wèn)題；物理學(xué)中的各種臨界值等。這些特征值的計(jì)算往往意義重大。,特征值：,的根 為矩陣A的特征值,特征向量：滿(mǎn)足,的向量v為矩陣A的對(duì)于特征值 的,稱(chēng)為矩陣A的特征多項(xiàng)式,是高次的多項(xiàng)式，它的求根是很困難的。沒(méi)有數(shù)值方法是通過(guò)求它的根來(lái)求矩陣的特征值。通常對(duì)某個(gè)特征值，可以用些針對(duì)性的方法來(lái)求其近似值。若要求所有的特征值，則可以對(duì)A做一系列的相似變換，“收斂”到對(duì)角陣或上（下）三角陣，從而求得所有特征值的近似。,特征向量,7.1 冪法,矩陣的按模最大特征值往往表現(xiàn)為閾值。如：矩陣的譜半

2、徑。冪法就是一種求矩陣按模最大特征值的方法，它是最經(jīng)典的方法。,冪法要求A有完備的特征向量系，即A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。在實(shí)踐中，常遇到的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣和特征值互不相同的矩陣就具有這種性質(zhì)。設(shè)A的特征值和特征向量如下：,特征值：,特征向量：,冪法可以求,，基本思想很簡(jiǎn)單。,設(shè),線(xiàn)性無(wú)關(guān)，取初值,，作迭代,設(shè)：,則有：,（1）若：,則k足夠大時(shí)，有,可見(jiàn),幾乎僅差一個(gè)常數(shù),所以：,任意分量相除,特征向量乘以任意數(shù)，仍是特征向量,（2）若：,則k足夠大時(shí)，有,所以：,所以：,算法：,1、給出初值，計(jì)算序列,2、若序列表現(xiàn)為，相鄰兩個(gè)向量各個(gè)分量比趨向于常數(shù),若序列表現(xiàn)為，奇偶序列各個(gè)分量比趨向于常

3、數(shù)，則,若序列表現(xiàn)為其他，退出不管,求矩陣A的按模最大的特征值,解 取x(0)=(1,0)T ,計(jì)算x(k)=Ax(k-1), 結(jié)果如下,例,可取 0.41263 ,x1(0.017451,0.014190)T .,決定收斂的速度，特別 是 | 2 / 1 |,希望 | 2 / 1 | 越小越好。,不妨設(shè) 1 2 n ，且 | 2 | | n |。,p = ( 2 + n ) / 2,思路,令 B = A pI ，則有 | IA | = | I(B+pI) | = | (p)IB | A p = B 。而 ，所以求B的特征根收斂快。,在冪法中，我們構(gòu)造的序列,可以看出,因此，若序列收斂慢的話(huà)，

4、可能造成計(jì)算的溢出或歸0,改進(jìn)冪法的規(guī)范運(yùn)算,則，易知：,所以，有：,最大分量為1,即,（1）若：,時(shí)，有,時(shí)，有,（2）若：,分別收斂到兩個(gè)向量，且不是互為反號(hào)。,借助冪法來(lái)求特征值和特征向量。計(jì)算：,則：,算法：,1、給出初值，計(jì)算序列,2、若序列收斂，則,若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個(gè)數(shù)互為反號(hào)，則,若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個(gè)數(shù)不互為反號(hào)，則,反冪法,所以，A和A1的特征值互為倒數(shù),這樣，求A1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值,為避免求逆的運(yùn)算，可以解線(xiàn)性方程組,若知道某一特征根 i 的大致位置 p ，即對(duì)任意 j i 有| i p | | j p | ，并且如果

5、(A pI)1存在，則可以用反冪法求(A pI)1的主特征根 1/(i p ) ，收斂將非常快。,思路,7.1 Jacobi方法對(duì)稱(chēng)陣,P為n階可逆陣，則A與P1AP相似，相似陣有相同的特征值。,若A對(duì)稱(chēng)，則存在正交陣Q(QTQ=I)，使得,直接找Q不大可能。我們可以構(gòu)造一系列特殊形式的正交陣Q1,.,Qn對(duì)A作正交變換使得對(duì)角元素比重逐次增加，非對(duì)角元變小。當(dāng)非對(duì)角元已經(jīng)小得無(wú)足輕重時(shí)，可以近似認(rèn)為對(duì)角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是這樣一類(lèi)方法。,1、Givens旋轉(zhuǎn)變換,對(duì)稱(chēng)陣,為正交陣,記：,則：,變換的目的是為了減少非對(duì)角元的分量，則,記,則,的按模較小根,所以：,2、Ja

6、cobi方法,取p,q使,，則,定理：,若A對(duì)稱(chēng)，則,解 記 A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有,例 用Jacobi 方法計(jì)算對(duì)稱(chēng)矩陣的全部特征值.,從而有,所以,再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,類(lèi)似地可得,從而A的特征值可取為 12.125825, 28.388761, 34.485401,為了減少搜索非對(duì)角線(xiàn)絕對(duì)值最大元素時(shí)間, 對(duì)經(jīng)典的Jacobi方法可作進(jìn)一步改進(jìn).,1.循環(huán)Jacobi方法: 按(1,2),(1,3),(1,n), (2,3),(2,4), (2,n) ,(n-1,n)的順序, 對(duì)每個(gè)(p,q)的非零元素apq作Jacobi變換,使其零化,逐次重復(fù)掃描下去,直至(A)為止.,2.過(guò)關(guān)Jaco