物理奧賽3（靜力學(xué)）

1、1,奧賽典型例題,分析(靜力學(xué)),2,靜 力 學(xué),1.如圖1所示，長為2m的勻質(zhì)桿AB的A端用細(xì)線AD拉住，固定于墻上D處，桿的B端擱于光滑墻壁上，DB1m，若桿能平衡，試求細(xì)線AD的長度.,3,2.如圖2所示，放在水平地面上的兩個(gè)圓柱體相互接觸，大、小圓柱的半徑分別為R和r，大圓柱體上纏有繩子，現(xiàn)通過繩子對(duì)大圓柱體施加一水平力F，設(shè)各接觸處的靜摩擦因數(shù)都是，為使大圓柱體能翻過小圓柱體，問應(yīng)滿足什么條件？,4,3.如圖3所示，三個(gè)完全一樣的小球，重量均為G，半徑為 R10cm，勻質(zhì)木板AB長為l=100cm，重量為2G，板端A用光滑鉸鏈固定在墻壁上，板B端用水平細(xì)線BC拉住，設(shè)各接觸處均無摩擦

2、，試求水平細(xì)線中的張力.,5,4.如圖4所示，一長為L的輕梯靠在墻上，梯與豎直墻壁的夾角為，梯與地面，梯與墻壁之間的摩擦系數(shù)都是，一重為G的人沿梯而上，問這人離梯下端的距離d最大是多少時(shí)梯仍能保持平衡？,6,7,6. 半徑為r，質(zhì)量為m 的三個(gè)相同的球放在水平桌面上，兩兩相互接觸，用一個(gè)高為1.5r 的圓柱形圓筒（上下均無底）將此三個(gè)球套在筒內(nèi)，圓筒的半徑取適當(dāng)?shù)闹?，使得各球間以及球與圓筒壁之間均保持無形變接觸. 現(xiàn)取一質(zhì)量也為m、半徑為R的第四個(gè)球，放在三球的上方正中，設(shè)第四個(gè)球的表面、圓筒的內(nèi)壁表面均由相同的材料構(gòu)成，其相互之間的最大靜摩擦因數(shù)為，問R取何值時(shí)，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能

3、將四個(gè)球也一起提起來？,8,7. 如圖6所示，邊長為a的均勻立方體對(duì)稱地放在一個(gè)半徑為r的半圓柱面頂部，假設(shè)靜摩擦力足夠大，足以阻止立方體下滑，試證明這立方體穩(wěn)定平衡的條件是:,9,8. 如圖7所示，質(zhì)量一樣的兩個(gè)小木塊由一根不可伸長的輕繩相連放在傾角為的斜面上，兩木塊與斜面之間的靜摩擦系數(shù)分別為1和2，且12 , tan ，求繩子與斜面上最大傾斜線AB之間的夾角應(yīng)滿足什么條件，兩木塊才能在斜面保持靜止？,10,9. 長方形風(fēng)箏如圖8所示，其寬度a40cm,長度b40cm,質(zhì)量M200g（其中包括以細(xì)繩吊掛的紙球“尾巴”的質(zhì)量M20g，紙球可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)），AO、BO、CO為三根綁繩，AO=BO，

4、C為底邊的中點(diǎn)，綁繩以及放風(fēng)箏的牽繩均不可伸縮，質(zhì)量不計(jì)，放風(fēng)箏時(shí)，設(shè)地面的風(fēng)速為零，牽繩保持水平拉緊狀態(tài)，且放風(fēng)箏者以速度v持牽繩奔跑，風(fēng)箏單位面積可受空氣作用力垂直于風(fēng)箏表面，量值為pkvsin，k=8Ns/m3,為風(fēng)箏平面與水平面的夾角，風(fēng)箏表面為光滑平面，各處所受空氣作用力近似認(rèn)為相等，取g= 10m/s2，放飛場地為足夠大的水平地面，試求：,(1)放風(fēng)箏者至少應(yīng)以多大的速度持牽繩奔跑，風(fēng)箏才能作水平飛行？這時(shí)風(fēng)箏面與水平面的夾角應(yīng)為何值？假設(shè)通過調(diào)整綁繩長度可使風(fēng)箏面與水平面成任意角度 . (2)若放風(fēng)箏者持牽繩奔跑速度為v=3m/s，調(diào)整綁繩CO的長度等于b，為使風(fēng)箏能水平穩(wěn)定飛行

5、，AO與BO的長度應(yīng)等于多少？,11,10. 有一半徑為R的圓柱體A，靜止在水平地面上，并與豎直墻壁相接觸，現(xiàn)有另一質(zhì)量與A相同、半徑為r的較細(xì)圓柱體B，用手扶著圓柱A，將B放在A的上面，并使之與豎直墻壁接觸，如圖10所示，然后放手.已知圓柱A與地面的摩擦系數(shù)為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦系數(shù)為0.30，若放手后兩圓柱能保持圖示的平衡，問圓柱B與墻壁的靜摩擦系數(shù)和圓柱B的半徑r的值各應(yīng)滿足什么條件？,12,例1 解：,以桿為研究對(duì)象，作出其受力圖（如圖）.,由于桿處于平衡狀態(tài)，所以它所受的三個(gè)力的作用線必相交于AD線上的同一點(diǎn)O.,由幾何關(guān)系得,13,例2 解：,系統(tǒng)的受力情況如圖所示.,(1

6、)由于小圓柱既不滑動(dòng)，也不滾動(dòng)，而大圓柱在小圓柱上作無滑滾動(dòng)，故B、C兩處都必定有靜摩擦力作用.,(2)大圓柱剛離開地面時(shí)，它受三個(gè)力作用：拉力F，重力G1，小圓柱對(duì)它的作用力R1.由于這三個(gè)力平衡，所以它們的作用線必相交于一點(diǎn),這點(diǎn)就是A點(diǎn).角不大于最大摩擦角,(3)由于小圓柱受力平衡，所以它所受的三個(gè)力作用：重力G2，大圓柱對(duì)它的作用力R1，地面對(duì)它的作用力R2必組成一個(gè)閉合三角形.,即有,14,如圖2所示，同樣應(yīng)該有,所以由上面三式得,由圖2 知,由圖1得,所以,于是,15,例3 解：,由平衡條件得,對(duì)O2軸：,由以上三式可解得,16,AB板受力情況如圖3所示，,17,對(duì)A軸有,可解得,

7、18,例4 解：,臨界平衡時(shí)，在BCD和ACD中利用正弦定理可得,19,即,又,由以上三式可解得,有關(guān)爬梯子的問題,一架均勻的梯子，重為 ，長為 ，上端靠于光滑的墻上，下端置于粗糙的地面上，梯與地面的摩察系數(shù)為 ，有一體重 的人攀登到距梯下端 的地方，求梯子不動(dòng)的條件 。,20,解答(一),解:受力如圖示。水平和鉛直兩個(gè)力平衡方程為 選 和 的交點(diǎn)為參考點(diǎn)，力矩平衡方程為 聯(lián)立解得,21,解答(二),梯子不滑的條件 ，即 對(duì)一定的傾角 ，人能攀登的高度為 角越大，允許人攀登得越高； 越大，允許人攀登得也越高 。,22,解答(三),如果要求攀登到一定高度 ，則要求梯子的傾角 愈小，允許 愈?。?

8、愈大，允許 愈小,23,靜不定問題,若考慮墻與梯子的摩擦，則多出一個(gè)未知數(shù)，平衡方程一樣，解不出確定解。叫靜不定問題（static indeterminate problem）。 實(shí)質(zhì)是：靜摩擦的大小與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)有關(guān)。 有兩個(gè)以上的摩擦力參與物體平衡時(shí)，各自承擔(dān)多少，與達(dá)到平衡的過程有關(guān)，結(jié)論不是唯一的。 運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)：接觸的地方有微小形變。，剛體模型不適用。,24,25,例5 解：,因?yàn)閃0的作用點(diǎn)O1是AB的中點(diǎn)，故必有 ，而A端不滑動(dòng)的條件是,即,(2)桿平衡時(shí)，再在AB間掛上重物W，靜摩擦角 必發(fā)生變化，若W掛在O1點(diǎn)與B點(diǎn)之間，W+W0的作用點(diǎn)在O1點(diǎn)的右側(cè)，此時(shí) 角減少，平衡不會(huì)受破壞.

9、,26,當(dāng)WW0時(shí)，W+W0W，這時(shí)W+W0的作用點(diǎn)P可以認(rèn)為就是W的作用點(diǎn) .要使桿仍能保持平衡，必須滿足,由圖2可見,由以上兩式可解得,27,例6 解：,由圖1可見，,圖2為球1的受力圖.,當(dāng)豎直向上提起圓筒時(shí)，能把4個(gè)球一起提起，下面兩式應(yīng)得到滿足,否則上、下球之間及球與筒壁之間會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng).,以球1為研究對(duì)象，取O1為軸，由力矩平衡條件易得,28,以圖2中的A為軸，可得,由此式易知，N1 N2 ,所以只要(2)式得到滿足，(1)式就自然得到滿足.,又以圖2中的B為軸，可得,再以4個(gè)球?yàn)檎w作為研究對(duì)象，有,29,由(3)、(5)、(6)式可得,再結(jié)合(2)式可得,兩邊平方，整理后可得

10、,30,由此可解得,（另一解 舍去）,設(shè) Rnr ,由圖2的幾何關(guān)系可得,所以,31,故,又為使第4個(gè)球不至于從下面三個(gè)球中間掉下，因此須,結(jié)合上面兩式可知第4個(gè)球的半徑必須滿足下式,32,例7 解：,方法1（回復(fù)力矩法）,如圖1所示，當(dāng)立方體偏離一個(gè)很小的角度時(shí)，它沿圓柱體無滑滾動(dòng)地使接觸點(diǎn)從B移到D，如圖可見,故,顯然，當(dāng)重心C在過D點(diǎn)的豎直線的左方時(shí)，重力矩會(huì)使立方體恢復(fù)到原來位置.此時(shí)應(yīng)有,(對(duì)頂角相等),所以,33,所以,于是據(jù)(1)式可得,34,方法2（能量法）,如圖2所示，C是立方體的重心，立方體在圓柱體上偏離了一個(gè)很小的角度.,由圖2易得,原來重心C（離圓柱體頂點(diǎn)）的高度為a/

11、2,偏離后重心C 的高度為h：,因?yàn)?故,即,35,于是,那么,要使立方體處于穩(wěn)定平衡，必須滿足后來的勢(shì)能大于原來的勢(shì)能，即,即,由此得,36,例8 解：,則表明木塊1可以單獨(dú)在斜面上保持靜止，而木塊2不能單獨(dú)在斜面上保持靜止.現(xiàn)兩木塊用輕繩連接，當(dāng)木塊1在高處且繩子平行AB時(shí)，因最大靜摩擦力,這表明系統(tǒng)能在斜面保持靜止 . 當(dāng)繩子與AB線的夾角為且系統(tǒng)能靜止，為使最大，應(yīng)有木塊1所受靜摩擦力不大于其最大靜摩擦力.設(shè)此時(shí)繩子的拉力為T，木塊1、木塊2的受力情況如圖2所示.,37,由于木塊2處于平衡，所以它所受的三個(gè)力組成一個(gè)閉合三角形.故,要使T有實(shí)數(shù)解，應(yīng)有,因?yàn)?由以上兩式可解得,38,方

12、程(1)的解為,（本來方程有兩個(gè)解，但結(jié)合木塊1的力三角形及f11Gcos,可知只能取根號(hào)前是負(fù)號(hào)的這一個(gè)解）,由于tan2,所以G sin2Gcos,由圖3易知，當(dāng)T2Gcos時(shí)，取最大值.,此時(shí),39,由圖3易得木塊1所受的靜摩擦力為,為了木塊1能靜止，f1必須滿足,由以上三式可得,這表明當(dāng) 時(shí)， 的最大值可取,40,但當(dāng) 時(shí)， 的最大值不能取上述值. 即此時(shí)T與 不垂直，為使此時(shí) 取最大值，木塊1和木塊2均應(yīng)受最大靜摩擦力.,對(duì)木塊1，由平衡條件得（注意：此時(shí)圖3中的f1取最大靜摩擦力， 取最大值 m）,對(duì)木塊2，由平衡條件得,由這兩式可解得,41,綜上所述得,當(dāng) 時(shí)， 的最大值為,當(dāng)

13、時(shí)， 的最大值為,( 或 ),42,例9 解：,其豎直分量Fy應(yīng)與風(fēng)箏重力平衡,即,當(dāng)45時(shí)， 有極大值1/2，此時(shí)v0取極小值v0min.,43,(2),所以,故,于是,因?yàn)轱L(fēng)箏在水平方向受力平衡，所以風(fēng)箏所受總的水平拉力為,44,分別代入,得,自O(shè)點(diǎn)至AB的中點(diǎn)D，連接一輕繩OD，替代AO和BO，如圖3所示.,則牽繩拉力T和紙球重力對(duì)風(fēng)箏紙面中心 產(chǎn)生的力矩平衡：,分別代入 值可得,45,所以，O與C的豎直高度差為,由圖3可見,分別代入、r、b值可得,因?yàn)镃OD是等腰三角形，所以,46,代入b、值得,又由 可得,或,47,例10 解：,圓柱體A、B的受力情況如圖2所示.,據(jù)平衡條件可列出如下平衡方程：,對(duì)圓柱體A有：,（對(duì)O1軸）,對(duì)圓柱體B有：,（對(duì)O2軸）,48,式(7)、(8)、(9)、(10)、(11)是平衡時(shí)所需要的力.N1、N2、N3沒有問題，但F1、F2、F3卻不一定能達(dá)到要求，因?yàn)橐艿皆撎幠Σ料禂?shù)的制約.這三個(gè)力只要有一個(gè)達(dá)不到所要求的值，該處就要發(fā)生滑動(dòng)而不能平衡.,49,首先討論圓柱體B與墻壁的接觸點(diǎn)，不發(fā)生滑