流體力學課件：Chapter3-相似性理論和量綱分析

1、流體力學Chapter 3 相似理論與量綱分析,研究流體運動的方法,既是理論分析的依據(jù)，同時也是檢驗理論的準繩，具有很重要的作用。,本章將探討實驗研究的理論基礎： 相似性原理 量綱分析,為使模型流動能表現(xiàn)出原型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預測出原型流動的結果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個流動的對應時刻對應點上同名物理量具有各自的比例關系。 幾何相似 、運動相似、 動力相似,兩流動相似應滿足的條件,綜上所述，要使模型流動和原型流動相似，需要兩者在時空相似的條件下受力相似。,幾何相似是運動相似和動力相似的前提與依據(jù); 動力相似是決定兩個流動相似的主導因素; 運動相似是幾何相似和動力相似

2、的表現(xiàn)。,三種相似之間的聯(lián)系：,動力相似（受力相似）用相似準則（相似準數(shù)）的形式來表示，即：要使模型流動和原型流動動力相似，需要這兩個流動在時空相似的條件下各相似準則都相等。,在此基礎上發(fā)展起來的量綱分析法有兩種： 1. 瑞利(Rayleigh)法，用于比較簡單的問題； 2. 布金汗（Buckingham，18671940） 定理，是一種具有普遍性的方法。 一、瑞利法 瑞利法的基本原理是某一物理過程同幾個物理量有關： 其中的某個物理量 可表示為其他物理量的指數(shù)乘積： （52） 寫出量綱式：,將量綱式中各物理量的量綱按 表示為基本量綱的指數(shù)乘積形式，并根據(jù)量綱和諧原理，確定指數(shù)a、b、p,就可得

3、出表達該物理過程的方程式。,下面通過例題說明瑞利法的應用步驟。,例51 求水泵輸出功率的表達式。,（1）找出同水泵輸出功率N有關的物理量，包括單位體積水的重量,、流量Q、揚程H，即：,(2)寫出指數(shù)乘積關系式,（3）寫出量綱式：,(4) 以基本量綱（M、L、T）表示各物理量量綱,(5) 根據(jù)量綱和諧原理求量綱指數(shù)，得,L:,T:,，,，,M：,得 ： ， ， (6) 整理方程式 K為由實驗確定的系數(shù)。,例52 求圓管層流的流量關系式。 解 圓管層流運動將在后面詳述，這里僅作為量綱分析的方法來討論。 (1) 找出影響圓管層流流量的物理量，包括管段兩端的 壓強差 、管段長 、半徑 、流體的粘度 。

4、根據(jù)經(jīng) 驗和已有實驗資料的分析，得知流量 與壓強差 成正 比，與管段長 成反比。因此，可將 、 歸并為 項 ，得到： (2)寫出指數(shù)乘積關系式：,（3）寫出量綱式： （4）以基本量綱(M 、L 、T 、)表示各物理量量綱 （5）根據(jù)量綱和諧求量綱指數(shù) M: L: T: 得： ， ，,(6) 整理方程式: 系數(shù)K由實驗確定， ，則： 其中,由以上例題可以看出，用瑞利法求力學方程，在有關物理量不超過4個，待求的量綱指數(shù)不超過3個時，可直接根據(jù)量綱其次性原理，求出各量綱指數(shù)，建立方程，如例51。 當有關物理量超過4個時，則需要歸并有關物理量或選待定系數(shù)，以求得量綱指數(shù)，如例52。,定理是量綱分析更為

5、普遍的原理，由美國物理學家布金 汗提出，又稱為布金汗定理。 定理指出，若某一物理過程 包含n個物理量，即： 其中有m個基本量（量綱獨立，不能相互導出的物理 量），則該物理過程可由n個物理量，構成的(n-m)個無量綱 項所表達的關系式來描述。即： （53）,由于無量綱項用 表示， 定理由此得名。 定理可用數(shù)學方法證明，這里從略。,定理的應用步驟如下： （1）找出物理過程有關的物理量: （2）從n個物理量中選取m個基本量，不可壓縮流體運動，一般取m=3。設 q1、q2 、q3為所選基本量，由量綱公式,滿足基本量量綱獨立的條件是量綱式中的指數(shù)行列式不等于即 對于不可壓縮流體運動，通常選取速度、密度、

6、特征長度 為基本量。,（3）基本量依次與其余物理量組成 項 （4）滿足 為無量綱項，定出各 項基本量的指數(shù) a 、 b、c。 （5）整理方程式。,例53 求有壓管流壓強損失表達式。 解：（1）找出有關物理量。由經(jīng)驗和對已有資料的分析可知，管流的壓強損失 與流體的性質（密度 、運動黏度）、管道條件（管長、直徑、壁面粗糙高度）以及流動情況(速度 )有關，有關量數(shù)。 （2）選基本量。在有關量中選 、 、為基本量，基本量數(shù) 。 （3）組成項，數(shù)為。,、,、,上式就是管道壓強損失的計算公式，又稱為達西魏斯巴赫（Darcy-Weis-bach）公式，其中稱為沿程摩阻系數(shù)，一般情況下是雷諾數(shù)和壁面相對粗糙的

7、函數(shù)。,式中無量綱項 為阻力系數(shù)； 為雷諾數(shù)。 由上面分析可知，實驗研究對光滑球形潛體的作用力，歸結為實驗測定阻力系數(shù)Cd與雷 諾數(shù)Re的關系。這樣一來，實 施這項實驗研究只需用一個 球，在一個溫度的水流中實 驗，通過改變水流速度，整 理成不同Re和Cd的實驗曲線， 如圖51所示。按式(54) 及圖51計算流體對光滑球形潛體 的作用力，對不同尺寸的 球和不同粘度的流體都是適用的。,（54）,圖51 圓球阻力系數(shù)圖,三、量綱分析方法的討論 （） 量綱分析方法的理論基礎是量綱和諧原理（量綱齊次性原理），即凡正確反映客觀規(guī)律的物理方程，量綱一定是和諧的。 （）量綱和諧原理是判別經(jīng)驗公式是否完善的基礎

8、。 （）應用量綱分析方法得到的物理方程式，是否符合客觀規(guī)律，和所選擇的物理量是否正確有關。而量綱分析方法本身對有關物理量的選取卻不能提供任何指導和啟示，可能由于遺漏某一個具有決定性意義的物理量。導致建立的方程式失誤，也可能因選取了沒有決定性意義的物理量，造成方程中出現(xiàn)累贅的量綱量，這種局限性是方法本身決定的。 （）由例54可以看出，量綱分析為組織實施實驗研究，以及整理實驗數(shù)據(jù)提供了科學的方法，可以說量綱分析方法是溝通流體力學理論和實驗之間的橋梁。,模 型 實 驗,模型實驗是依據(jù)相似原理，制成和原型相似的小尺度模 型進行實驗研究，并以實驗的結果須測出原型將會發(fā)生的流 動現(xiàn)象。進行模型實驗需要解決

9、下面兩個問題。 一、模型律的選擇 為了使模型和原型流動完全相似，除要幾何相似外，各 獨立的相似準則應同時滿足。但實際上要同時滿足各準則很 困難，甚至是不可能的。譬如按雷諾準則 原型與模型的速度比 （516）,按準則 ， 且 原型與模型的速度比 （517） 要同時滿足雷諾準則和佛汝德準則，就要同時滿足式(5-16) 和式(517)， （518） 當原型和模型為同種流體, 可見只有 ，即 時，上式才能成立。這在大多數(shù) 情況下，已失去模型實驗的價值。,當原型與模型為不同種流體 由式（5-18）得： ， 如長度比尺 ， 。若原型是水，模型就需選 用運動粘度是水的 實驗流體，這樣的流體是很難找 到的。

10、由以上分析可見，模型實驗做到完全相似是比較困難 的，一般只能達到近似相似。就是保證對流體起主要作用的 力相似，這就是模型律的選擇問題。如有壓管流、潛體繞 流，粘滯力起主要作用，應按雷諾準則設計模型；堰頂溢流、 閘孔出流、明渠流動等，重力起主要作用，應按佛汝德準則 設計模型。,當雷諾數(shù)Re超過某一數(shù)值后，阻力系數(shù)不隨Re變化，此時流動阻力的大小與Re無關，這個流動范圍稱為自動模型區(qū)。若原型和模型流動都處于自動模型區(qū)，只需幾何相似，不需Re相等，就自動實現(xiàn)阻力相似。工程上許多明渠水流處于自模區(qū)，按佛汝德準則設計的模型，只要模型中的流動也進入自模區(qū)，便同時滿足阻力相似。 二、模型設計 進行模型設計，

11、通常是先根據(jù)實驗場地，模型制作和量 測條件，定出長度比尺 ；再以選定的比尺 縮小原型的 幾何尺寸，得出模型區(qū)的幾何邊界；根據(jù)對流動受力情況的 分析，滿足對流動起主要作用的力相似，選擇模型律；最后 按所選用的相似準則，確定流速比尺及模型的流量。,例如： 雷諾準則 ： ，如 （519） 佛汝德準則 ： ，如 （520） 流量比 :,將速度比尺關系式（519）、式（520）分別代入上式， 得模型流量： 雷諾準則模型 佛汝德準則模型 按雷諾準則和佛汝德準則導出各物理量比尺見表51。,模 型 比 尺 表51,例55 為研究熱風爐中煙氣的流動特性，采用長度 比尺為10的水流做模型實驗。已知熱風爐內(nèi)煙氣流速為8m/s 煙氣溫度為600，密度為