2013屆高中數(shù)學第一輪總復習 第15章第77講相似三角形的判定與性質 理 新課標

1、第十五章,選考內容,相似三角形的判定與性質,第77講,平行線分線段成比例定理,【解析】因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以FDBC，BEDQ， 所以 ， 因為 , 所以 , 即 ，即 . 又因為DE=BF, 所以 , 所以 .,點評,由于條件中有平行線，故考慮平行線分線段成比例定理及其推論，利用相等線段和等比性質，證明線段成比例.,相似三角形的判定與性質,【解析】(1)證明：因為DEBC，D是BC的中點，所以EB=EC，所以ABC=ECB. 又因為AD=AC，所以ADC=ACB. 所以ABCFCD. (2)過點A作AMBC， 垂足為點M. 因為ABCFCD， BC=2CD，所以,又因為SFCD

2、 =5， 所以SABC =20. 因為SABC = BC AM , BC=10, 所以 20= 10 AM , 所以 AM=4. 又因為DEAM，所以 . 因為 , 所以 , 所以 .,點評,本題主要考查了三角形相似的判定與性質，解題的關鍵是找準滿足定理的條件.第(1)問是利用“有兩角對應相等的兩個三角形相似”，找出兩角對應相等；第(2)問是首先利用相似三角形的性質，再根據(jù)等腰三角形的性質及中點求出DE的長度.,【變式練習2】如圖，AE、AF分別為ABC的內、外角平分線，O為EF的中點. 求證：OBOC=AB2AC2.,【解析】因為AE、AF分別為ABC的內、外角平分線，所以AEAF. 又因為

3、O為EF的中點, 所以OEA=OAE. 因為OAE=CAE+OAC，OEA=ABE+BAE， 而BAE=CAE，所以OAC=ABE.,因為AOB為公共角, 所以OACOBA. 所以SOBASOAC =AB2AC2. 又因為OAB與OCA有一條公共邊OA, 所以SOBASOAC =OBOC， 所以OBOC=AB2AC2.,相似三角形的應用,【例3】小明欲測量一座古塔的高度，他站在影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18 m已知小明的身高是1.6 m，他的影子長度是2 m.,點評,實際生活中有很多類似的測量題，解題的關鍵是將實際問題轉化為數(shù)學模型，利用相似三

4、角形知識求解后再回到實際問題中,直角三角形射影定理的應用,點評,題目符合直角三角形射影定理的條件，選擇合適的直角三角形是解決問題的關鍵.,【變式練習4】如圖，已知BD、CE是ABC的兩條高，過點D的直線交BC和BA的延長線于G、H，交CE于F，且H=BCF.求證：GD2=GF GH.,【變式練習4】因為CEAB， 所以H+HFE=90. 又因為BCF=H, HFE=CFG， 所以BCF+CFG=90. 所以FGGC，所以BGHFGC. 所以 , 即BG GC=GF GH. 又因為DG2=BG GC(直角三角形射影定理)， 所以DG2=GF GH.,1. ABC中，AD是角平分線，AB=5，AC

5、=4，BC=7，求BD的長度.,2.如圖，E是 ABCD的邊BC的中點，若BD=9,求BF的長度.,【解析】因為BEAD, 所以 . 設BF=x, 則 FD=9-x, , 所以 ，解得 x=3. 所以 BF 的長度為3.,5.如圖，在ABC中，AB=AC， BDAC，點D是垂足. 求證： BC2=2CD AC.,【解析】過點A作AEBC，垂足為E， 則CE=BE= BC. 由BDAC，AEBC, 得AEC=BDC=90. 又因為C=C， 所以AECBDC, 所以 ，所以 , 即BC2=2CD AC.,2.相似三角形的性質把相似三角形的高、對應中線、對應角的平分線，以及周長、面積都與相似三角形的對應邊的比(相似比)聯(lián)系起來.利用相似三角形的性質可得到線段的比例、線段的平方比或角相等，有時還可用來計算三角形的面積、周長和邊長.,3.運用直角三角形射影定理時，要注意其成立的條件，要結合圖形去記憶定理