高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件下第11_1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、無窮級(jí)數(shù),無窮級(jí)數(shù),無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具,表示函數(shù),研究性質(zhì),數(shù)值計(jì)算,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù),付氏級(jí)數(shù),第十一章,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì),一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念,二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件,*四、柯西審斂原理,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第一節(jié),第十一章,一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念,引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.,依次作圓內(nèi)接正,邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積 A .,設(shè) a0 表示,即,內(nèi)接正三角形面積,ak 表示邊數(shù),增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,引例2.,小球從 1 米高處自由落下, 每次跳起的高度減,少一半, 問小球是否會(huì)

2、在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說明道理.,由自由落體運(yùn)動(dòng)方程,知,則小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為,( s ),設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時(shí)間,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義：,給定一個(gè)數(shù)列,將各項(xiàng)依,即,稱上式為無窮級(jí)數(shù)，,其中第 n 項(xiàng),叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和,稱為級(jí)數(shù)的部分和.,次相加, 簡(jiǎn)記為,收斂 ,則稱無窮級(jí)數(shù),并稱 S 為級(jí)數(shù)的和,記作,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值,為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).,則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .,顯然,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 討論等比級(jí)數(shù),(又稱幾何級(jí)數(shù)),( q 稱為公比 ) 的斂散性.,解: 1) 若,從而,因

3、此級(jí)數(shù)收斂 ,從而,則部分和,因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .,其和為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2). 若,因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,因此,n 為奇數(shù),n 為偶數(shù),從而,綜合 1)、2)可知,時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;,時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .,則,級(jí)數(shù)成為,不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:,解: (1),所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;,技巧:,利用 “拆項(xiàng)相消” 求和,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2),所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .,技巧:,利用 “拆項(xiàng)相消” 求和,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,判別級(jí)數(shù),的斂散性 .

4、,解:,故原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù),收斂于 S ,則各項(xiàng),乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù),也收斂 ,證: 令,則,這說明,收斂 , 其和為 c S .,說明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .,即,其和為 c S .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù),則級(jí)數(shù),也收斂, 其和為,證: 令,則,這說明級(jí)數(shù),也收斂, 其和為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則,必發(fā)散 .,但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.,例如,(1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)

5、相加或減 .,(用反證法可證),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,性質(zhì)3.,在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù),的斂散性.,證: 將級(jí)數(shù),的前 k 項(xiàng)去掉,的部分和為,數(shù)斂散性相同.,當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為,類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .,極限狀況相同,故新舊兩級(jí),所得新級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,性質(zhì)4.,收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù),的和.,證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù),若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列,為原級(jí)數(shù)部分和,序列,的一個(gè)子序列,推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.,注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,但,發(fā)散.,因

6、此必有,例如，,用反證法可證,例如,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:,解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù),發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件,設(shè)收斂級(jí)數(shù),則必有,證:,可見: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .,例如,其一般項(xiàng)為,不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意:,并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.,例如, 調(diào)和級(jí)數(shù),雖然,但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .,事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則,但,矛盾!,所以假設(shè)不真 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂求其和:,解: (1) 令,則,故,從而,這說明級(jí)數(shù)(1) 發(fā)散.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因,進(jìn)行拆項(xiàng)相消,這說明原級(jí)數(shù)收斂 ,其和為,(2),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,這說明原級(jí)數(shù)收斂, 其和為 3 .,(3),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的充要條件是:,*四、柯西審斂原理,定理.,有,證:,設(shè)所給級(jí)數(shù)部分和數(shù)列為,因?yàn)?所以, 利用數(shù)列,的柯西審斂原理(第一章,第六節(jié)) 即得本定理的結(jié)論 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6.,解:,有,利用柯西審斂原理判別級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,當(dāng) n