垂徑定理—知識講解(提高)

1、垂徑定理知識講解（提高） 【學習目標】1 理解圓的對稱性；2 掌握垂徑定理及其推論；3學會運用垂徑定理及其推論解決有關的計算、證明和作圖問題【要點梳理】知識點一、垂徑定理1.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.2.推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.要點詮釋：(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點二、垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：（1） 平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。唬?） 弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。唬?/p>

2、3） 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.（4） 圓的兩條平行弦所夾的弧相等.要點詮釋： 在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）【典型例題】類型一、應用垂徑定理進行計算與證明1. 如圖，O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則O的半徑是 【答案】.【解析】作OMAB于M、ONCD于N，連結OA， AB=CD，CE=1，ED=3， OM=EN=1，AM=2，OA=.【點評】對

3、于垂徑定理的使用，一般多用于解決有關半徑、弦長、弦心距之間的運算(配合勾股定理)問題.舉一反三：【變式1】如圖所示，O兩弦AB、CD垂直相交于H，AH4，BH6，CH3，DH8，求O半徑 【答案】如圖所示，過點O分別作OMAB于M，ONCD于N，則四邊形MONH為矩形，連結OB， ， ， 在RtBOM中，【高清ID號： 356965 關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例2-例3】【變式2】如圖，AB為O的弦，M是AB上一點，若AB20cm，MB8cm，OM10cm，求O的半徑.【答案】14cm.【高清ID號：356965 關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例2-例3】2. 已知：O的半徑為10cm，弦

4、ABCD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【思路點撥】 在O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.【答案與解析】(1)如圖1，當O的圓心O位于AB、CD之間時，作OMAB于點M， 并延長MO，交CD于N點.分別連結AO、CO. ABCD ONCD，即ON為弦CD的弦心距. AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， =8+6 =14(cm) 圖1 圖2 (2)如圖2所示，當O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即弦AB、CD在圓心O的同側)時， 同理可得：MN=

5、OM-ON=8-6=2(cm) O中，平行弦AB、CD間的距離是14cm或2cm.【點評】解這類問題時，要按平行線與圓心間的位置關系，分類討論，千萬別丟解.舉一反三：【變式】在O中，直徑MNAB，垂足為C，MN=10，AB=8，則MC=_【答案】2或8類型二、垂徑定理的綜合應用3. 要測量一個鋼板上小孔的直徑，通常采用間接的測量方法如果用一個直徑為10mm的標準鋼珠放在小孔上，測得鋼珠頂端與小孔平面的距離h8mm(如圖所示)，求此小孔的直徑d 【思路點撥】 此小孔的直徑d就是O中的弦AB根據(jù)垂徑定理構造直角三角形來解決【答案與解析】過O作MNAB，交O于M、N，垂足為C，則，OCMCOM853mm在RtACO中，AC， AB2AC248mm答：此小孔的直徑d為8mm【點評】應用垂徑定理解題，一般轉化為有關半徑、弦、弦心距之間的關系與勾股定理的運算問題.4. 不過圓心的直線l交O于C、D兩點，AB是O的直徑，AEl于E，BFl于F (1)在下面三個圓中分別畫出滿足上述條件的具有不同位置關系的圖形； (2)請你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結論(OAOB除外)(不再標注其他字母，找結論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結論中，不寫推理