微專題5 求數(shù)列通項(xiàng)的方法與技巧

1、微專題5求數(shù)列通項(xiàng)的方法與技巧2021新亮劍高考總復(fù)習(xí)第六章微專題 5 求數(shù)列通項(xiàng)的方法與技巧求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一,有了通項(xiàng)公式便可求出數(shù)列的任意一 項(xiàng)以及前 n 項(xiàng)和,因此,求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn).下面我們一起探究求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法.1. 已知前 n 項(xiàng)和 Sn,利用 an=Sn-Sn-1(n2)求通項(xiàng)已知前 n 項(xiàng)和求通項(xiàng)公式,解題時(shí)要特別注意三點(diǎn):第一,要分類討論,分 n=1 和n2 兩種情形;第二,要掌握 an=Sn-Sn-1(n2)這一重要關(guān)系,否則無法解決此類問題;第三,要注意檢驗(yàn) n=1 是否滿足當(dāng) n2 時(shí),an的通項(xiàng)公式.2例 1已知數(shù)列

2、an的前 n 項(xiàng)和 Sn=n2+2n+3,求 an.解析當(dāng) n=1 時(shí),a1=S1=6,當(dāng) n2 時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1.a =63,a =6, = 1, 1n2 + 1, 2.解析 探究若數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列,且 1 + 2+ =n2+3n(nN*),則4an=4(n+1)2 .解析因?yàn)閿?shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列,且 1 + 2+ =n2+3n(nN*),所以當(dāng) n2 時(shí), 1 + 2+ -1=(n-1)2+3(n-1)(nN*),兩式相減得 =2n+2,所以 an=4(n+1)2(n2).又 1 =4,a1=16,所以 a1 適合上式,所以 an=4(n+1)2.答案解析微點(diǎn)評：已知 S

3、n 求 an 的三個(gè)步驟:(1)先利用 a1=S1 求出 a1.(2)用 n-1 替換 Sn 中的 n 得到一個(gè)新的關(guān)系,利用 an=Sn-Sn-1(n2)便可求出當(dāng) n2 時(shí) an 的表達(dá)式.(3)對 a1 進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合當(dāng) n2 時(shí) an 的表達(dá)式,若符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫;若不符合,則應(yīng)該分 n=1 與 n2 兩段來寫. 【微點(diǎn)練】1. 已知 Sn 為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,且 log2(Sn+1)=n+1,求 an.解析由 log2(Sn+1)=n+1,得 Sn+1=2n+1.當(dāng) n=1 時(shí),a1=S1=3;當(dāng) n2 時(shí),an=Sn-Sn-1=2n. 因?yàn)?a1=32,

4、 ,.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an= 3, = 1,2 2解析-2(2-1), = 3-2 或 = 3-1,*, 2.若數(shù)列an滿足 a1cos 2+a2cos 4+ancos 2=n2,則 an= 2-1, = 3,*.333解析由 a cos 2=1,解得 a =-2.由 a cos 2+a cos 4+a cos 2=n2,1311323n3得當(dāng) n2 時(shí),acos 2+a cos 4+acos2(-1)=(n-1)2,1323n-13兩式相減得 ancos 2=2n-1(n2).3所以當(dāng) n=3k-2 或 n=3k-1,kN*時(shí),an=-2(2n-1);答案解析當(dāng) n=3k,kN*時(shí)

5、,an=2n-1.綜上所述,an= -2(2-1), = 3-2 或 = 3-1,*, 2-1, = 3,*.2. 構(gòu)造法求通項(xiàng)例 2已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 a1=2,an+1+2n=2Sn+2,求 an.解析an+1+2n=2Sn+2,當(dāng) n2 時(shí),an+2(n-1)=2Sn-1+2,兩式相減得an+1-an+2=2an,即 3an=an+1+2,an+1-1=3(an-1)(n2),又 a2=2S1+2-21=4,滿足2 -1=3,數(shù)列an-1是以 1 為首項(xiàng),3 為公比的等比數(shù)列,an-1=3n-1,即1 -1an=3n-1+1.解析微點(diǎn)評：對形如 an=kan-1+m(

6、k1)形式的遞推關(guān)系,常構(gòu)造成na + -1=k -1+-1 的形式,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列間接求通項(xiàng). 【微點(diǎn)練】1. 已知數(shù)列an滿足 a1=1,an+1=2an+3,求 an.解析設(shè)遞推公式 an+1=2an+3 可以轉(zhuǎn)化為 an+1-t=2(an-t),則 an+1=2an-t,解得 t=-3.故 an+1+3=2(an+3),令 bn=an+3,則 b1=a1+3=4,且 +1 = +1 +3=2, +3所以bn是以 4 為首項(xiàng),2 為公比的等比數(shù)列,則 bn=42n-1=2n+1,所以 an=2n+1-3.9解析2. 已知數(shù)列an滿足 a1=1,3an+1+an-7=0,求數(shù)列an的通項(xiàng)公

7、式.解析由 3an+1+an-7=0 得 an+1=-1an+7,設(shè) an+1+k=-1(an+k),比較333系數(shù)得-k-=7,解得 k=-7. - 7 是以 a1-7=1-7=-3為首項(xiàng),-1為公比10解析33444443的等比數(shù)列,an-7=-3 - 1 -1, 即 a =7-3 - 1-1 .n4434 433. 累加法求通項(xiàng)對形如 an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系,可用累加法求通項(xiàng).例 3在數(shù)列an中,已知 a1=-2,an=an-1+2n-1(n2,且 nN*),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解析a1=-2,a2-a1=3,a3-a2=5,an-an-1=2n-1,當(dāng) n2 時(shí),an=(

8、a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)+a1=-2+(3+5+2n-1)=-3+(1+3+5+2n-1)=n2-3.a1=-2 滿足上式,an=n2-3.解析微點(diǎn)評：合理利用數(shù)列的遞推公式,選用累加法求解是解答的關(guān)鍵. 11【微點(diǎn)練】已知數(shù)列an滿足 a1=1,若1- 1 =4n(nN*),則數(shù)列an的通項(xiàng) an=314 -. +1解析因?yàn)?1- 1 =4n, +1所以當(dāng) n2 時(shí), 1 = 1-1 +1-1+ 1- 1 + 1 -1 -1 -2211=4n-1+4n-2+4+1=1-4 =4 -1.1-43因?yàn)?a1也滿足上式,所以數(shù)列an的通項(xiàng)為 an= 3.4 -1答案解析4.

9、 累乘法求通項(xiàng)對形如 an+1=f(n)an 的遞推關(guān)系,可用累乘法求通項(xiàng).例 4已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,首項(xiàng) a1=1,且滿足 3Sn=(n+2)an,則( + 1)an=2.解析當(dāng) n2 時(shí),3Sn-1=(n+1)an-1,所以 3an=(n+2)an-(n+1)an-1,所以 -1=+1,-1所以當(dāng) n2 時(shí),a= -1 -22 a=+1 -131 =(+1),n -1 -2 -311-1-2-312因?yàn)?a1 也滿足 an=(+1),所以 an=(+1)(nN*).22答案解析微點(diǎn)評：已知 a1 且 an+1=f(n)an,可用累乘法求 an. 【微點(diǎn)練】1.已知數(shù)列an滿足 a1=2,an+1=an,求 an.14解析3+1解析由題意知 +1 = ,+1當(dāng) n2 時(shí),2 3 4 =123-1, =1,123 -12341a1=2,an= 2 (n2).33經(jīng)檢驗(yàn),a1 滿足上式,an= 2 (nN*).32.已知數(shù)列an滿足 a2=6, +1 -=n(nN*),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解析a2=6