7.數(shù)學(xué)建模-差分方程法.ppt

1、8. 常見的數(shù)學(xué)建模方法(4)-差分方程法,(2) 差分運(yùn)算的基本性質(zhì) 如果A為常數(shù) , 則 A = 0 ; ( A yx ) = A yx ; (yx zx ) = yx zx .,差分與差分方程基本知識,(1) 差分的定義,給定函數(shù) y = f ( x ) , x 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .,簡記 f ( x ) = y x , x 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .,稱 yx+1 yx 為 y = f ( x ) 在 x 處的 一階差分 , 并記為 yx , 即,yx yx+1 yx = f ( x+1 ) - f ( x ) .,類似地, 可以規(guī)

2、定:,2 yx (yx ) = ( yx+1 yx ) = yx+2 2 yx+1 + yx = f ( x+2 ) - 2 f ( x+1 ) +f ( x ),稱之為 yx 的 二階差分 ;,n yx (n-1yx ) , 稱之為 yx 的 n 階差分 .,(3) 一階常系數(shù)線性差分方程 稱 yx+1 a yx = h ( x ) ( a 為常數(shù) , h ( x ) 為已知函數(shù) ) 為關(guān)于 yx 的 一階常系數(shù)線性差分方程 . 它的特征方程為: r a = 0 .,(ii) 當(dāng) a = 1 時(shí), 可取: y*x = h x .,特別地 , 當(dāng) h ( x ) h 為常數(shù)時(shí), 則 (i) 當(dāng)

3、 a 1 時(shí), 可取 :,這個(gè)差分方程的通解為: yx = A ax + y*x , 其中 y*x 是一個(gè)特解 , A 為任意常數(shù) .,求解一階差分方程時(shí)，為了確定一個(gè)具體的解，也就是爲(wèi)了確定 常數(shù) A , 還需 一個(gè)定解條件。通常的定解條件是 “ 初始條件 ” ， 即 y ( 0 ) = y0（ 已知常數(shù)）,類似于微分方程的穩(wěn)定性討論，也可討論一階常系數(shù)線性差分 方程 的穩(wěn)定性問題。,則 yx+1 a yx = h 可以化成 ux+1 a ux = 0 .,而對于差分方程 ux+1 a ux = 0 ， 其解為： u x = A ax .,當(dāng) a 1 時(shí), 如令,類似于微分方程 , 這個(gè)差分

4、方程的平衡點(diǎn)為關(guān)于 u 的代數(shù)方程 u a u = 0 的解 ， 即 u* = 0 .,因此，這個(gè)差分方程的平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定，就變成判斷 | a | 是否小 于 1 的問題了。也就是說，當(dāng)且僅當(dāng) | a | 1 時(shí)，差分方程 ux+1 a ux = 0 的平衡點(diǎn)，從而導(dǎo)致差分方程 yx+1 a yx = h 的平衡點(diǎn) ， 才是穩(wěn)定的。,對于一階非線性差分方程 yx+1 = f ( yx ) 的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的結(jié)論， 完全與微分方程情況中的結(jié)論類似，即此時(shí)的平衡點(diǎn)為 代數(shù)方程 y = f ( y ) 的解 ： y = y* ；,如將非線性函數(shù)f ( y ) 在點(diǎn)y = y* 處作泰勒展開： f (

5、y ) f ( y* ) ( y - y* ) + f ( y* ) ,于是 ，當(dāng) | f ( y* ) | 1 時(shí)，非線性差分方程 yx+1 = f ( yx ) 的平衡 點(diǎn) y = y* 是不穩(wěn)定的 。,(4 ) 二階常系數(shù)線性差分方程,稱 a yx+2 + b yx+1 + c yx = h ( x ) ( a 0 , b , c0 為常數(shù), h ( x ) 為已知函數(shù) ),為關(guān)于 yx 的 二階常系數(shù)線性差分方程 . 它的特征方程為: a r 2 + b r + c = 0 .,這個(gè)差分方程的通解為:,(i)當(dāng) b 2 4ac 0 時(shí), yx = A1 r1x + A2 r2x + y

6、*x , 其中 r1 , r2 為特征 方程的兩個(gè)不 等的 實(shí)根：,(iii) 當(dāng)b 2 4ac 0 時(shí), yx = ( A1 sinkx + A2coskx ) q x + y*x ,其中 cosk =,( 以上 A1 , A2 為兩個(gè)任意常數(shù) ).,2) 當(dāng)a + b + c = 0 , 且 2 a + b 0 時(shí) , y*x =,3)當(dāng)a + b + c = 0 , 且 2 a + b = 0 時(shí) , y*x =,特別地 , 當(dāng) h ( x ) h 為常數(shù)時(shí), 則 1) 當(dāng) a + b + c 0 時(shí), y*x =,(ii) 當(dāng)b 2 4ac = 0 時(shí), yx = ( A1 + A2x

7、 ) r1x + y*x , 其中 r1 為特征 方程的重根：,求解二階差分方程時(shí)，為了確定一個(gè)具體的解，也就是爲(wèi)了確定 常數(shù) A1 和 A2 , 還需兩個(gè)定解條件。通常的定解條件是 “ 初始條 件 ” , 即,y ( 0 ) = y0（ 已知常數(shù)） 和 y ( 1 ) = y1（ 已知常數(shù)）.,2. 實(shí)例 銀行按揭住房貸款問題 問題(1) 購房人欲向銀行申請按揭住房貸款 60000 元. 貸款的月利率為 0.01 , 期 限為 25 年. 如果購房人每月只可節(jié)余 700 元. 問他是否有能力按揭購房? 模型建立: 設(shè) yx 為第 x 個(gè)月欠銀行的錢數(shù), b為每月還銀行的錢數(shù), r = 0.0

8、1為月利率, 則 yx = yx-1 ( 1 + r ) b , y0 = 60000 .,模型求解:,令 y300 = 0 （25年 = 300月）, 可得 :,解得,故問題 (1) 的解答是 : 該購房人有能力按揭購房.,問題(2) 如果社會上有一還貸公司向購房人提出一個(gè)優(yōu)惠方案: 銀行的貸款由還貸公司償還, 購房人只需向還貸公司每半月付款316元, 還款期限只要22年即可。不過需先預(yù)付三個(gè)月的款. 此方案對還貸公司而言是否有利可圖?,問題求解: 因?yàn)?在 y0 = 60000 , r = 0.012 = 0.005 , b = 631.93 2 316 的情況 下, 由,解出 x , 可

9、以求得還貸公司需要 :,還清銀行的債務(wù), 也就是還貸公司可以提前 25 24.93 = 0.07 年 = 0.84 個(gè)月還清銀行的債務(wù). 如果考慮到購房人開始還預(yù)交了三個(gè)月 的還款, 也就是初值應(yīng)是:,y0 = 60000 - 3631.93 58104.21 ,這表明還貸公司只用 21 年就可還清銀行的債務(wù), 由此 , 還貸公司賺 了購房人 一年的錢: 24 316 = 7584 ( 元 ) . 故問題 (2) 的解答是 : 此方案對還貸公司而言是有利可圖的 。,這時(shí)還貸公司需要還清銀行的債務(wù)的時(shí)限變?yōu)?,3. 實(shí)例 動態(tài)均衡價(jià)格模型 ( 價(jià)格的蛛網(wǎng)模型數(shù)量化分析 ),模型I . 模型假設(shè):

10、,t 時(shí)刻的商品價(jià)格 pt 是現(xiàn)時(shí)期商品數(shù)量 xt 的直線下降函數(shù) ( 價(jià)格上升，需求下跌 ；價(jià)格下跌，需求上升 ) : pt = pM - a xt ;,這一時(shí)期的商品數(shù)量 xt 是上一時(shí)期的商品價(jià)格 pt-1 的直線上升函數(shù)（價(jià)格上升，供應(yīng)上升；價(jià)格下跌，供應(yīng)下跌）: xt = xm + b p t-1 .,模型建立: pt + ab p t-1 = pM a xm , （一階線性常系數(shù)差分方程） p ( 0 ) = p0 ( 初始價(jià)格 ) . 模型求解: pt = ( p0 - p*) ( - ab ) t + p* , 其中 p* =,模型分析: 當(dāng)且僅當(dāng) ab 1 ( 邊際需求絕對值

11、大于邊際供應(yīng) ) 時(shí), pt p* ( t + ) .,( 均衡價(jià)格 ) .,模型II . 模型假設(shè): t 時(shí)刻的商品價(jià)格 pt 是商品數(shù)量 xt 的直線下降函數(shù): pt = pM - a xt ;,.,它的判別式,(1) 當(dāng) ab 8 時(shí), pt = A1 r1t + A2 r2t + p* , 其中,模型建立:,p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始價(jià)格 ) .,模型求解: 特征方程為,這一時(shí)期的商品數(shù)量 xt 是前兩個(gè)時(shí)期的商品價(jià)格 pt-1 與 pt-2 的算術(shù)平均值的直線上升函數(shù)（企業(yè)對市場的分析、判斷應(yīng)更成熟一些）:,（二階線性常系數(shù)差分方程）,(2) 當(dāng) ab

12、= 8 時(shí),模型分析:,(1) 當(dāng) ab 8 時(shí),pt + ( t + ), 即 pt 動態(tài)發(fā)展不穩(wěn)定 ;,(3) 當(dāng) ab 8 時(shí),其中 cosk =,pt = A1 r1t + A2 r2t + p* ,(2) 當(dāng) ab = 8 時(shí),pt + ( t + ), 即 pt 動態(tài)發(fā)展仍不穩(wěn)定 ;,(3) 當(dāng) 2 ab 8 時(shí),pt + ( t + ) , 即 pt 動態(tài)發(fā)展還是不穩(wěn)定；,(5) 當(dāng) 0 ab 2 ,為衰減因子,pt p* ( t + ) , pt 動態(tài)發(fā)展趨于穩(wěn)定 .,(4) 當(dāng) ab = 2 時(shí),pt 發(fā)生動態(tài)等幅振蕩;,5差分形式的生物數(shù)量 Logistic（阻滯增長）模型

13、及其穩(wěn)定性研究 描述生物生長受到環(huán)境約束的微分方程模型是 Logistic（阻滯增 長）模型 。其形式是 ：,這個(gè)模型也可用差分形式表示：,如果令 b = r + 1 ,這是個(gè)一階非線性差分方程。在實(shí)際應(yīng)用中沒有必要找出它的解析 解，可以很方便地利用計(jì)算機(jī)的迭代算法求出 xk 任意精確度的解。 我們更為關(guān)心的是迭代算法是否有收斂性，或者說，當(dāng) k + 時(shí)， yk 或 xk 的收斂性 , 也就是差分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定 性問題。,則上面的差分方程可簡化為：,對于 Logistic 微分方程,故 y = 0 是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；,故 y = N 是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。,它有兩個(gè)平衡點(diǎn)： y = 0 與 y =

14、 N ，可以通過解代數(shù)方程得到它們：,是否也是這個(gè)結(jié)論？ 即當(dāng) k + 時(shí)，yk N ?,得到解 N ，也就是說 ，它是這個(gè)差分方程的平衡點(diǎn) ）,（當(dāng) k 很大時(shí)， yk+1 = yk = y , 解 代數(shù)方程,對于差分形式的 Logistic 方程,代替差分方程,我們討論化簡的差分方程,解代數(shù)方程,得到該方程的平衡點(diǎn),可以驗(yàn)證,為了分析 x* 的穩(wěn)定性，經(jīng)計(jì)算得：,根據(jù)非線性差分方程穩(wěn)定性結(jié)論，當(dāng),即 1 b 3 時(shí)，x* 是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。 這個(gè)條件相當(dāng)于 r 2 , 也就是僅當(dāng) r 2 時(shí)， y = N 才是差分形式的 Logistic 方程,的穩(wěn)定平衡點(diǎn)。,這個(gè)結(jié)論與 Logistic

15、微分方程的穩(wěn)定性結(jié)論: “ 不論 r 0 多大 ， y = N 都是它的穩(wěn)定平衡點(diǎn) ” , 是不同的 。,（1）在條件 1 b 3 下， xk 可以收斂于 x* 。 這時(shí)的情況， 可以通過差分方程,的圖解法表示出來，有一種情況中，這個(gè)圖示法十分類似于一個(gè) 蛛網(wǎng)模型。,i）單調(diào)收斂情況,b = 1.5,ii）非單調(diào)收斂情況 ( 蛛網(wǎng)模型）,b = 2.8,（2）在條件 b 3 下， xk 不收斂于 x* 。 這時(shí)的情況，也可以 通過 圖示看出：,b = 3.3,十分有趣的是，在不收斂的情況中，有時(shí)會發(fā)生倍周期現(xiàn)象！,例如，當(dāng) (a) 3 b = 3 . 3 1 +6 時(shí) ：,發(fā)生 2 倍周期現(xiàn)象

16、！,當(dāng) (a) 1+6 b = 3.5 3.544 時(shí) ：,發(fā)生 22 = 4 倍周期現(xiàn)象！,（1）即在條件 1 b b0 = 3 下 ( 即 r = b - 1 = 2 ) ，xk 收斂于 x* ，或者說 ， x* 是穩(wěn)定的平衡點(diǎn) 。,（2）即在條件 b0 = 3 b b1 = 1 +6 3.449 下， xk 不收斂， 但發(fā) 生 21 = 2 倍周期現(xiàn)象 。,（3）類似研究可得: 當(dāng) b1 = 1 +6 b b2 時(shí), xk 發(fā)生 22 倍周期 現(xiàn)象 ； 當(dāng) b2 b b3 時(shí), xk 發(fā)生 23 倍周期現(xiàn)象 ； 當(dāng) bn-1 b bn 時(shí) , xk 發(fā)生 2n 倍周期 現(xiàn)象等等。,因?yàn)?

17、因?yàn)?從程序畫出的圖像還可觀察到，當(dāng) b b* = 3.57 后，xk 的趨勢呈現(xiàn)一片混亂， 即發(fā)生所謂的 “ 混沌現(xiàn)象 ” ( Chaos ) .,以上發(fā)生收斂 ，2 倍周期現(xiàn)象，4 倍周期現(xiàn)象，. , 可以編寫 一個(gè) Math 程序來觀察這些現(xiàn)象 ：,（4）進(jìn)一步研究可得:,即當(dāng) b b* = 3.57 后，就不再存在任何 2n 倍周期收斂 現(xiàn) 象， xk 的趨勢呈現(xiàn)一片混亂。這就是所謂的 “ 混沌現(xiàn)象 ” ( Chaos ),問題1: (斐波那契問題) 小兔一年后可變成大兔 , 大兔一年后可生一 小兔 . 如果兔子不會死亡, 如此繼續(xù)下去 , 問第 t 年時(shí), 共有多少兔子 xt ? 試用差分方程來研究并建立起模型 , 然后求解此模型. （ 提示：xt+1 = xt + （ xt+1 - xt ），其中 xt 是上一年的兔數(shù)，這一年 均成為大兔，這一年與上一年的兔數(shù)差（ xt+1 - xt ）應(yīng)是這一年 的小兔，由此，下一年的兔