用割補(bǔ)法求面積

1、在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，為了計(jì)算它們的面積，常常需要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中，為了計(jì)算面積，有時(shí)也要用到割補(bǔ)的方法。例1求下列各圖中陰影部分的面積：分析與解：（1）如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置?？梢钥闯?，原題圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。444-442=4.56。（2）在題圖虛線分割的兩個(gè)正方形中，右邊正方形的陰

2、影部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓。如下圖所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中?？梢钥闯?，原題圖的陰影部分正好等于一個(gè)正方形的面積，為55=25。例2在一個(gè)等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段（見右圖），求圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾。分析與解：陰影部分是一個(gè)梯形。我們用三種方法解答。（1）割補(bǔ)法從頂點(diǎn)作底邊上的高，得到兩個(gè)相同的直角三角形。將這兩個(gè)直角三角（2）拼補(bǔ)法將兩個(gè)這樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形（下頁左上圖）。積和平行四邊行面積同時(shí)除以2，商不變。所以原題陰影部分占整個(gè)圖形面（3）等分法將原圖等分成

3、9個(gè)小三角形（見右上圖），陰影部分占3個(gè)小三角形，注意，后兩種方法對(duì)任意三角形都適用。也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。例3如左下圖所示，在一個(gè)等腰直角三角形中，削去一個(gè)三角形后，剩下一個(gè)上底長5厘米、下底長9厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個(gè)梯形的面積。分析與解：因?yàn)椴恢捞菪蔚母?，所以不能直接求出梯形的面積?？梢詮牡妊苯侨切闻c正方形之間的聯(lián)系上考慮。將四個(gè)同樣的等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形（上頁右下圖），圖中陰影部分是邊長9厘米與邊長5厘米的兩個(gè)正方形面積之差，也是所求梯形面積的4倍。所以所求梯形面積是（99-55）4=14（厘米2）。例4在左下

4、圖的直角三角形中有一個(gè)矩形，求矩形的面積。分析與解：題中給出了兩個(gè)似乎毫無關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，無法溝通與矩形的聯(lián)系。我們給這個(gè)直角三角形再拼補(bǔ)上一個(gè)相同的直角三角形（見右上圖）。因?yàn)锳與A，B與B面積分別相等，所以甲、乙兩個(gè)矩形的面積相等。乙的面積是46=24，所以甲的面積，即所求矩形的面積也是24。例5下圖中，甲、乙兩個(gè)正方形的邊長的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40厘米2。求乙正方形的面積。分析與解：如果從甲正方形中“挖掉”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（見左下圖）。把C割下，拼補(bǔ)到乙正方形的上面（見右上圖），這樣A，B，C三塊就合并成一個(gè)長20厘米

5、的矩形，面積是40厘米2，寬是4020=2（厘米）。這個(gè)寬恰好是兩個(gè)正方形的邊長之差，由此可求出乙正方形的邊長為（20-2）2=9（厘米），從而乙正方形的面積為99=81（厘米2）。練習(xí)221.求下列各圖中陰影部分的面積：（1） （2）2.以等腰直角三角形的兩條直角邊為直徑畫兩個(gè)半圓?。ㄒ娤聢D），直角邊長4厘米，求圖中陰影部分的面積。3.在左下圖所示的等腰直角三角形中，剪去一個(gè)三角形后，剩下的部分是一個(gè)直角梯形（陰影部分）。已知梯形的面積為36厘米2，上底為3厘米，求下底和高。4.在右上圖中，長方形AEFD的面積是18厘米2，BE長3厘米，求CD的長。5.下圖是甲、乙兩個(gè)正方形，甲的邊長比乙的

6、邊長長3厘米，甲的面積比乙的面積大45厘米2。求甲、乙的面積之和。6.求下圖（單位：厘米）中四邊形ABCD的面積。五年級(jí)奧數(shù)專題二十一:用等量代換求面積一個(gè)量可以用它的等量來代替；被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個(gè)數(shù)，它們的差不變。前者是等量公理，后者是減法的差不變性質(zhì)。這兩個(gè)性質(zhì)在解幾何題時(shí)有很重要的作用，它能將求一個(gè)圖形的面積轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)圖形的面積，或?qū)蓚€(gè)圖形的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個(gè)圖形的面積差，從而使隱蔽的關(guān)系明朗化，找到解題思路。例1兩個(gè)相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。分析與解：陰影部分是一個(gè)高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不

7、能直接求出它的面積。因?yàn)槿切蜛BC與三角形DEF完全相同，都減去三角形DOC后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形OEFC的面積。直角梯形OEFC的上底為10-3=7（厘米），面積為（7+10）22=17（厘米2）。所以，陰影部分的面積是17厘米2。例2在右圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10厘米2，求平行四邊形ABCD的面積。分析與解：因?yàn)殛幱安糠直热切蜤FG的面積大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個(gè)新圖

8、形的面積差不變，即平行四邊行ABCD比直角三角形ECB的面積大10厘米2，所以平行四邊形ABCD的面積等于1082+10=50（厘米2）。例3在右圖中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面積大18厘米2。求ED的長。分析與解：求ED的長，需求出EC的長；求EC的長，需求出直角三角形ECB的面積。因?yàn)槿切蜛FB比三角形EFD的面積大18厘米2，這兩個(gè)三角形都加上四邊形FDCB后，其差不變，所以梯形ABCD比三角形ECB的面積大18厘米2。也就是說，只要求出梯形ABCD的面積，就能依次求出三角形ECB的面積和EC的長，從而求出ED的長。梯形ABCD面積=（8+

9、4）62=36（厘米2），三角形ECB面積=36-18=18（厘米2），EC=1862=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。例4 下頁上圖中，ABCD是74的長方形，DEFG是102的長方形，求三角形BCO與三角形EFO的面積之差。分析：直接求出三角形BCO與三角形EFO的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)圖形的面積之差，而這兩個(gè)圖形的面積之差容易求出，那么問題就解決了。解法一：連結(jié)B，E（見左下圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形BEO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BEC與三角形BEF的面積之差。所求為4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法

10、二：連結(jié)C，F(xiàn)（見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形CFO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BCF與三角形ECF的面積之差。所求為4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法三：延長BC交GF于H（見下頁左上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形COFH，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BHF與矩形CEFH的面積之差。所求為（4+2）（10-7）2-2（10-7）=3。解法四：延長AB，F(xiàn)E交于H（見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形BHEO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求矩形BHEC與直角三角形BHF的面積之差。所求為4（10-7）-（10-7）（4+2）2=3。例5左下圖是由大、小

11、兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形ABC的面積。分析與解：這道題似乎缺少大正方形的邊長這個(gè)條件，實(shí)際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長沒關(guān)系。連結(jié)AD（見右上圖），可以看出，三角形ABD與三角形ACD的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等。因?yàn)槿切蜛FD是三角形ABD與三角形ACD的公共部分，所以去掉這個(gè)公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個(gè)部分，即三角形ABF與三角形 FCD面積仍然相等。根據(jù)等量代換，求三角形ABC的面積等于求三角形BCD的面積，等于442=8（厘米2）。練習(xí)211.左下圖中，等腰直角三角形ABC的腰為10厘米，以C為圓心、CF為半徑畫弧線EF，組成扇形CEF。如果圖中甲、乙兩部分的面積相等，那么扇形所在的圓的面積是多少？2.右上圖（單位：厘米）是兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。3.左下圖中，扇形ABD的半徑是4厘米，甲比乙的面