固體物理基礎(chǔ)教學(xué)課件第3章

1、第3章 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì),3-1 一維單原子鏈模型 3-2 一維雙原子鏈模型 3-3 確定晶格振動譜的實驗方法 3-4 晶體熱容的量子理論 3-5 非諧作用產(chǎn)生的晶體熱學(xué)性質(zhì),掌握 了解,3-1 一維單原子鏈模型,一維單原子鏈模型 格波及其色散關(guān)系 簡約布里淵區(qū) 長波極限下的格波 聲子,3-1 一維單原子鏈模型,一維單原子鏈：最簡單的晶格模型 晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式 格波 格波的研究方法： 計算原子之間的相互作用力 根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，并求解方程 一維單原子鏈模型： 平衡時相鄰原子間距為a（即原胞體積為a） 原子質(zhì)量為m 原子限制在沿鏈方向運動 原子n離開平衡

2、位置位移n 原子n和原子n+1間相對位移,3-1 原子作用力的處理：簡諧近似,忽略高階項，簡諧近似考慮原子振動，相鄰原子間相互作用勢能 相鄰原子間作用力 只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力 第n個原子的運動方程,3-1 格波的物理意義,上式的解（原子振動位移）具有平面波的形式 naq是第n個原子的振動位相因子 A是原子振動振幅，為常數(shù) 是格波的角頻率，為常數(shù)；q是格波的波數(shù) 和q滿足以下的色散關(guān)系 連續(xù)介質(zhì)中的波（如聲波）可表示為，則可看出 格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式 一個格波表示的是所有原子同時做頻率為的振動 aq取值任意加減2的整數(shù)倍對所有原子的振動沒有影響，所以可將波數(shù)

3、q取值限制為,3-1 簡約布里淵區(qū),aq取值任意加減2的整數(shù)倍對所有原子的振動沒有影響 紅線：q=/2a 綠線：q=5/2a 將波數(shù)q取值限制為 即波數(shù)q取值在簡約布里淵區(qū)（第一布里淵區(qū)）中 第一章內(nèi)容：簡約布里淵區(qū)內(nèi)的全部波矢代表了晶體中所有的狀態(tài)，區(qū)外的波矢都可通過平移倒格矢在該區(qū)內(nèi)找到等價狀態(tài)點；討論固體性質(zhì)時，可以只考慮第一布里淵區(qū)。,3-1 邊界條件,一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個原子的振動形式都一樣 實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運動方程來描述 但如果用與其它原子不同的運動方程描述兩端的少數(shù)原子，則會導(dǎo)致相互聯(lián)立的方程求解更加復(fù)

4、雜 采用玻恩卡曼周期性邊界條件避免這種情況 含義：原子鏈首尾的振動情況必須復(fù)原 玻恩卡曼周期性邊界條件限制波數(shù)在簡約布里淵區(qū)內(nèi)取均勻分布的N個分立值,3-1 格波的色散關(guān)系,取正值，則有 頻率是波數(shù)的偶函數(shù) 色散關(guān)系曲線具有周期性，僅取簡約布里淵區(qū)的結(jié)果即可 由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，只有滿足的格波才能在一維單原子鏈晶體中傳播，其它頻率的格波將被強烈衰減,3-1 格波取值的長波極限,長波極限情況 一維單原子格波相當(dāng)于波速為的連續(xù)介質(zhì)波 相鄰兩個原子之間的位相差趨于0，晶體內(nèi)所有原子振動情況相同,3-1 聲子,晶格振動 可通過引入簡正坐標進行量子化處理，其結(jié)論可用“聲子”描述 振動能量的本征值為，其

5、中為nq聲子數(shù) 聲子含義：晶格振動（格波）的能量量子 聲子是一種元激發(fā)，可與電子或光子發(fā)生作用 聲子具有能量、動量，看作是“準粒子” 晶格振動的問題轉(zhuǎn)化為聲子系統(tǒng)問題的研究,20赫茲-20000赫茲，高于20000赫茲的叫超聲波,聲子,能量(eV),1,100,10000,0.01,0.1,3-2 一維雙原子鏈模型,一維雙原子鏈模型 聲學(xué)波與光學(xué)波 聲學(xué)波與光學(xué)波的長波極限 長光學(xué)波的特性,3-2 一維雙原子鏈模型,兩種原子m和M (M m) 構(gòu)成一維復(fù)式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 m原子位于2n, 2n+2, 2n+4 晶格常數(shù)、同種原子間的距離：2a 第2n+1個M原

6、子的方程 第2n個m原子的方程 解也具有平面波的形式 兩種原子振動的振幅（m取A，M取B）一般來說是不同的,3-2 聲學(xué)波與光學(xué)波,色散關(guān)系有不同的兩種 即一維復(fù)式晶格中存在兩種獨立的格波： 聲學(xué)波（頻率較低） 光學(xué)波（頻率較高） 命名主要根據(jù)兩種格波在長波極限 ( q0 ) 的性質(zhì),3-2 聲學(xué)波的長波極限,頻率 兩種原子振幅比值 兩種原子的振幅和位相趨于一致，運動方式?jīng)]有差別 長聲學(xué)波代表原胞質(zhì)心（原胞整體）振動,3-2 光學(xué)波的長波極限,頻率 兩種原子振幅比值 同種原子振動位相一致，相鄰原子振動相反 長光學(xué)波代表原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞中不同原子做相對運動,3-2 長光學(xué)波的特性,長

7、聲學(xué)波的頻率正比于波數(shù)，相當(dāng)于把一維原子鏈看做連續(xù)介質(zhì)時的彈性波，類似于聲波 長光學(xué)波代表晶格的高頻振動，實際晶體中在10131014Hz，對應(yīng)于遠紅外光波 電磁波只與波數(shù)相同的格波發(fā)生相互作用 長聲學(xué)波的頻率太低，無法與電磁波作用 長光學(xué)波可與遠紅外光作用 離子晶體中光學(xué)波的共振能引起對遠紅外光的強烈吸收，可應(yīng)用于紅外光譜學(xué),3-3 確定晶格振動譜的實驗方法,中子的非彈性散射 可見光的非彈性散射拉曼光譜 X射線的非彈性散射,3-3 確定晶格振動譜的實驗方法,晶格振動譜可以利用中子、可見光光子或X光光子受晶格的非彈性散射來測定。 中子（或光子）與晶格的相互作用即中子（或光子）與晶體中聲子的相互

8、作用。中子（或光子）受聲子的非彈性散射表現(xiàn)為中子吸收或發(fā)射聲子的過程。 以下只討論單聲子過程。,3-3 中子的非彈性散射,中子的非彈性散射是確定晶格振動譜最有效的實驗方法 中子經(jīng)晶格散射后，能量（德布羅意波頻率）和動量（德布羅意波數(shù)）發(fā)生變化，分別滿足能量守恒和準動量守恒 “+”：吸收聲子的散射過程；“-”：發(fā)射聲子散射過程 準動量守恒：晶格周期性的平移對稱性不如空間均勻性高，所以發(fā)生在晶格中的中子散射的變換規(guī)則不如動量守恒嚴格，允許相差，其中Gn為某一倒格子矢量。 慢中子的能量：0.020.04 eV，與聲子的能量同數(shù)量級；中子的德布羅意波長：2310-10 m（23 ），與晶格常數(shù)同數(shù)量級

9、；可直接準確地給出晶格振動譜的信息 局限性：不適用于原子核對中子有強俘獲能力的情況,3-3 典型晶格振動譜,Pb,Cu,3-3 典型晶格振動譜,Si,GaAs,3-3 典型晶格振動譜,金剛石,NaI,3-3 可見光的非彈性散射,發(fā)射或吸收光學(xué)聲子的散射稱為拉曼散射發(fā)射或吸收聲學(xué)聲子的散射稱為布里淵散射 入射光和散射光遵循能量守恒和準動量守恒 拉曼散射：入射光感應(yīng)產(chǎn)生的偶極矩將向空間輻射電磁波，形成散射光；而偶極矩會被晶格振動所調(diào)制，從而導(dǎo)致頻率改變的非彈性散射 C.V.Rman (1888-1970), 印度物理學(xué)家，因研究光的散射并發(fā)現(xiàn)拉曼效應(yīng)獲得1930年諾貝爾物理學(xué)獎,3-3 各種光散射

10、現(xiàn)象的比較,Rayleigh散射：彈性散射光的頻率不發(fā)生變化 Raman散射：入射光與晶格振動的光學(xué)波相互作用，導(dǎo)致非彈性散射光的頻率改變 Stokes散射：原子內(nèi)部的無輻射躍遷導(dǎo)致散射光頻率減小 Anti-Stokes散射：原子內(nèi)部的熱激發(fā)導(dǎo)致散射光頻率增加 Brillouin散射：晶格振動的聲學(xué)波使晶體的折射率n發(fā)生周期性變化，從而使入射光發(fā)生非彈性散射,3-3 X射線的非彈性散射,X光光子的波長約為10-8 cm的數(shù)量級，其波矢與整個布里淵區(qū)的范圍相當(dāng)，原則上說，用X光的非彈性散射可以研究整個晶格振動譜。 缺點：一個典型X光光子的能量約為104 eV，一個典型聲子的能量約為10-2 eV

11、。一個X光光子吸收（或發(fā)射）一個聲子而發(fā)生非彈性散射時，X光光子能量的相對變化為10-6，在實驗上要分辨這么小的能量改變是非常困難的。相比較而言，可見光的能量約為1eV，采用拉曼散射能量的相對變化為10-2，有利于降低誤差。,3-4 晶體熱容的量子理論,晶體熱容的經(jīng)典理論 晶體熱容的量子理論 愛因斯坦模型 德拜模型,3-4 晶體熱容的經(jīng)典理論,固體定容熱容的定義，其中為固體的平均內(nèi)能 固體內(nèi)能包括晶格振動的能量和電子熱運動的能量 溫度不是太低的情況，電子對比熱的貢獻很小，可忽略 根據(jù)實驗結(jié)果，只考慮晶格振動對比熱的貢獻，有 經(jīng)典理論（杜隆珀替定律）： 一個簡諧振動平均能量為 kBT N個原子總

12、的平均能量為 熱容 高溫時與實驗很好符合 實驗表明在低溫時，熱容量隨溫度迅速趨于零，無法解釋！,3-4 晶體熱容的量子理論,單個振動模的振動能量量子化 子系處于量子態(tài) nj 的概率 單個振動模的平均能量 單個振動模的熱容,3-4 晶體熱容的量子理論,對于高溫極限狀況， 與經(jīng)典理論符合 對于低溫極限狀況， 與實驗結(jié)果相符合 量子理論表明，晶體熱容與晶格振動頻率和溫度有關(guān)系,3-4 愛因斯坦模型,愛因斯坦模型的晶格振動假設(shè)方案： N個原子構(gòu)成的晶體，各原子的振動視作相互獨立 所有的原子以相同的頻率0振動（忽略了各格波頻率差別） 每個原子可沿三個方向振動，共有3N個頻率0的振動 直接得到 能夠反映出

13、溫度下降時熱容變化的趨勢（右圖：金剛石） 局限：低溫時隨溫度呈指數(shù)下降與三次方關(guān)系不符,3-4 德拜模型,德拜模型的晶格振動假設(shè)方案： 以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，即 q 格波包含有1個縱波和2個獨立的橫波 三種格波的波矢 q 在倒易空間均勻（準連續(xù)）分布 假設(shè)晶體中只存在小于某一m的長波以保證結(jié)果收斂 得到 定義德拜溫度，并令 有,3-4 德拜模型,高溫極限下 晶體總的熱容 低溫極限下 晶體總的熱容 均與實驗結(jié)果符合 溫度愈低時，德拜模型近似計算結(jié)果愈好，因為溫度很低時，主要的只有長波格波的激發(fā)，而對于長波，晶格可被看作是連續(xù)介質(zhì)，這正是德拜模型的假設(shè)之一 局限：實驗表明德拜溫度隨溫度變化而改變，對同一種材料并不是一個常數(shù),3-5 非諧作用產(chǎn)生的晶體熱學(xué)性質(zhì),晶體的熱膨脹 晶體的熱傳導(dǎo),3-5 晶體的熱膨脹,討論晶格振動時，用到了簡諧近似，忽略了勢能表達式中三次及以上的高次項（又稱非諧作用） 如果考慮非諧作用： 溫度從T1升高到T2，原子能量上升，晶格振動增強 0，V斜率較小，吸引力較弱 振動平衡位置改變，向右移動 原子間距增加，晶體體積增大 非諧作用使得原子在振動時會產(chǎn)生一定的相互排斥力，從而引起熱膨脹現(xiàn)象,3-5 晶體的熱傳導(dǎo),絕緣體和半導(dǎo)體中的熱傳導(dǎo)主要依靠聲子來完成 借助氣體導(dǎo)