分析動力學(xué)之約束理論(PPT 22頁).ppt

1、02.10.2020,Page 1,清華大學(xué)航天航空學(xué)院 王天舒（）,分析動力學(xué)之約束理論,02.10.2020,Page 2,本節(jié)內(nèi)容,內(nèi)容1：約束、廣義坐標(biāo),內(nèi)容2：約束的幾何意義,內(nèi)容3：約束對運(yùn)動的影響（位移、速度）。,虛位移是約束被“凍結(jié)”后此瞬時約束允許的無限小位移，與時間t的變化無關(guān) ( t 0)。,分析力學(xué)的基礎(chǔ)概念：虛位移,02.10.2020,Page 3,1.1 位形空間,對于物體運(yùn)動的客觀空間，引入笛卡兒坐標(biāo)系Oxyz。為描述一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，需考慮在每一時刻t的向徑r(t):,對于由N個質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的系統(tǒng)，則需要3N個數(shù)來表示質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的位置和形狀（位形）：,引入由這3N個

2、數(shù)張成的抽象空間來表示位形c，令該空間是由這3N個數(shù)構(gòu)成各維的正交歐氏空間C，稱為位形空間。,運(yùn)動的多維空間描述,02.10.2020,Page 4,系統(tǒng)每一時刻的位形唯一對應(yīng)于C空間的一個表現(xiàn)點(diǎn)c,C空間的一個點(diǎn)c對應(yīng)于系統(tǒng)的一個位形,當(dāng)系統(tǒng)的位形隨時間變化時，其位形表現(xiàn)點(diǎn)在C空間中畫出了一超曲線，即一維的軌跡，稱為系統(tǒng)的C軌跡。,C軌跡的一般性質(zhì)：,1. C軌跡是連續(xù)的；,2. C軌跡可以有重點(diǎn)；,3. C軌跡的拐點(diǎn)僅發(fā)生在如下情況；,a. 靜止點(diǎn)處；,b. 在有打擊作用的時刻；,位形空間的特點(diǎn),02.10.2020,Page 5,1.2 約束,約束：非自由質(zhì)點(diǎn)系在空間中的位置及其在運(yùn)動中

3、受到的限制,約束方程：用數(shù)學(xué)方程表達(dá)各質(zhì)點(diǎn)所受的限制條件,在由兩個或更多質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)中，不受約束的運(yùn)動是不存在的。,絕大多數(shù)的運(yùn)動都是約束運(yùn)動。,約束,02.10.2020,Page 6,具有如下形式或可以化為如下形式的約束稱為完整約束：,1.3 完整約束,完整約束(homonomic constraint),02.10.2020,Page 7,如約束表達(dá)式中不顯含時間 t ，則稱其為定常約束(scleronomic constraint)； 否則稱為非定常約束(rheonomic constraint) 。,定常約束和非定常約束,02.10.2020,Page 8,對于定常約束：,一個約束

4、方程構(gòu)成位形空間上的一個N-1維固定曲面。,對于非定常約束？,系統(tǒng)運(yùn)動的c軌跡必須位于該曲面內(nèi)。,約束方程的幾何解釋,02.10.2020,Page 9,1.4 廣義坐標(biāo),能夠唯一地確定質(zhì)點(diǎn)系可能位置的獨(dú)立參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。選定廣義坐標(biāo)后，系統(tǒng)內(nèi)笛卡兒坐標(biāo)可由廣義坐標(biāo)確定,廣義坐標(biāo)數(shù)為：,N 質(zhì)點(diǎn)總數(shù) r 完整約束的總數(shù)；,廣義坐標(biāo),02.10.2020,Page 10,取一組新的坐標(biāo)：,兩組坐標(biāo)之間的變換關(guān)系：,兩組坐標(biāo)均可以描述質(zhì)點(diǎn)的位形,考慮系統(tǒng)由一個質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成,約束方程為：x-y=0,廣義坐標(biāo),02.10.2020,Page 11,注意到完整約束關(guān)系:,則有：,即可以用兩個坐標(biāo)表示系統(tǒng)的

5、位形：廣義坐標(biāo),在廣義坐標(biāo)下系統(tǒng)的完整約束自然滿足，約束方程可不予考慮。,廣義坐標(biāo),02.10.2020,Page 12,設(shè)由N個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)包含獨(dú)立的r個完整約束,引入一組新的變量q：,令變換關(guān)系中的前r項為完整約束，其余部分任選，但要求變換式為無關(guān)組。,則可以得到從x到q的變換：,廣義坐標(biāo),02.10.2020,Page 13,注意到完整約束關(guān)系:,則有：,即笛卡兒坐標(biāo)可利用另一組坐標(biāo)表示,當(dāng)采用廣義坐標(biāo)時，完整約束自動滿足。,廣義坐標(biāo),02.10.2020,Page 14,假設(shè)約束曲面是光滑的，有：,在約束面上的任一點(diǎn)處的充分小臨域內(nèi)，約束方程要求所有的可能軌跡必須在其切平面內(nèi)，而不是

6、約束曲面內(nèi)。,虛位移在約束曲面的切平面內(nèi)。,約束對無窮小位移的影響（局部特性）,02.10.2020,Page 15,在光滑球面上運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，球面方程為：,約束方程：,無窮小的位移改變應(yīng)滿足：,約束對無窮小位移的影響（例）,02.10.2020,Page 16,設(shè)在無窮小位移上的約束為：,其中g(shù)(z)為z的已知函數(shù)，求加在有限位移上的約束,解：沒有加在有限位移上的約束。,若令加在有限位移上的約束為：,則有：,加在無窮小位移上的約束不一定會限制有限位移的運(yùn)動。,速度約束不一定對位移有限制。,約束與有限位移和無窮小位移（例）,02.10.2020,Page 17,不可化為完整約束形式的約束為非完整

7、約束。,大多數(shù)實際遇到的非完整約束問題，其約束方程為質(zhì)點(diǎn)速度的一次代數(shù)方程：,1.5 非完整約束,非完整約束,02.10.2020,Page 18,上述形式的微分約束稱為Pfaff約束。,將速度形式的約束方程寫成微分形式：,對于完整約束：,有：,則系統(tǒng)的約束方程可以統(tǒng)一表示為微分形式：,有關(guān)于Pfaff約束的可積性定理可見參考文獻(xiàn),Pfaff形式,02.10.2020,Page 19,完整約束限制系統(tǒng)的位形軌跡必須在約束曲面上。,非完整約束？,例：對于非完整約束：,可否由原點(diǎn)到達(dá)空間中的任一點(diǎn)(x1,y1,z1)？,在xy平面內(nèi)作函數(shù)y=f(x) ：,解：,定義質(zhì)點(diǎn)的軌跡為：,非完整約束的特點(diǎn)可達(dá)性,02.10.2020,Page 20,顯然質(zhì)點(diǎn)的軌跡滿足：,1. 過原點(diǎn),2. 過(x1