有限元理論與技術(shù)-習(xí)題-有限元法

1、填空題：1、利用有限單元法求解彈性力學(xué)問題時，簡單來說包含 結(jié)構(gòu)離散化 、 單元分析 、 整體分析 三個主要步驟。2、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為 離散化結(jié)構(gòu) ，然后再用 結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法 進(jìn)行求解。其具體步驟分為 單元分析 和 整體分析 兩部分。3、每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由 本單元的形變 引起的，另一部分是由于 其他單元發(fā)生了形變 而連帶引起的。4、每個單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點不相同的，即所謂 變量應(yīng)變 ；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點相同的，即所謂 常量應(yīng)變 。5、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須

2、能反映單元的 剛體位移 和 常量應(yīng)變 ，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的 位移連續(xù)性 。6、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為 坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù) ，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們在 公共結(jié)點處 具有相同的位移時，也能在 整個公共邊界上 具有相同的位移。7、在有限單元法中，單元的形函數(shù)Ni在 i 結(jié)點Ni= 1 ；在其他結(jié)點Ni= 0 及Ni= 1 。8、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是 將單元的尺寸減小 ，以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是 采用包含更高次項的位移模式 ，使位移和應(yīng)力的精度提高。9、在有限單元法中，結(jié)點力是指結(jié)點對單元的作

3、用力。（）10、在平面三結(jié)點三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。（ ）11、形函數(shù)Ni(xi,yi)= (i=j) Ni(xi,yi)= (ij) 簡答題：1、有限元分析的基本思路答：首先，將物體或求解域離散為有限個互不重疊僅通過節(jié)點互相連接的子域（即單元），原始邊界條件也被轉(zhuǎn)化為節(jié)點上的邊界條件，此過程稱為離散化。其次，在單元內(nèi)，選擇簡單近似函數(shù)來分片逼近未知的求解函數(shù)，即分片近似。具體做法是在單元上選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，這是有限元法的創(chuàng)意和精華所在。而整體區(qū)域上的解函數(shù)就是這些單元上

4、的簡單近似函數(shù)的組合。最后，基于與原問題數(shù)學(xué)模型（基本方程和邊界條件）等效的變分原理或加權(quán)殘值法，建立有限元方程（即剛度方程），從而將微分方程轉(zhuǎn)化為一組變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值為未知量的代數(shù)方程組。從而借助矩陣表示和計算機(jī)求解代數(shù)方程組得到原問題的近似解。2、簡述有限元法求解中離散處理所遵循原則。答：（1）幾何逼真，（2）受力真實，（3）計算準(zhǔn)確，（4）計算量少，（5）單元編號遵循右手準(zhǔn)則（相鄰單元編號差值最?。?。3、 針對附圖所示的有限元結(jié)構(gòu)，組集出整體剛度矩陣K。(單元剛度矩陣用Ke表示，單元剛度矩陣元素用 表示)。5 4單元剛度矩陣：1 2 3 2 4 3 K=4 6 3 2 5 4K= K

5、=單元剛度貢獻(xiàn)矩陣： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6K= K=1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6K= K=整體剛度矩陣：1 2 3 4 5 6K=3、用有限元法分析實際工程問題有哪些基本步驟？需要注意什么問題？答：1.結(jié)構(gòu)的離散化，2 單元分析2.1 選擇位移函數(shù)2.2 載荷等效2.3 單元剛度矩陣3 整體分析3.1 集成等效節(jié)點載荷3.2 集成整體剛度矩陣3.3 約束邊界條件1）建立實際工程問題的計算模型 利用幾何、載荷的對稱性簡化模型 建立等效模型2）選擇適當(dāng)?shù)姆治龉ぞ邆?cè)重考慮以下幾個方面： 多物理場耦合問題 大變形 網(wǎng)格重劃分3）前處理（Preprocessi

6、ng） 建立幾何模型（Geometric Modeling，自下而上，或基本單元組合） 有限單元劃分（Meshing）與網(wǎng)格控制4）求解（Solution） 給定約束（Constraint）和載荷（Load） 求解方法選擇 計算參數(shù)設(shè)定5）后處理（Postprocessing）后處理的目的在于分析計算模型是否合理，提出結(jié)論。 用可視化方法（等值線、等值面、色塊圖）分析計算結(jié)果，包括位移、應(yīng)力、應(yīng)變、溫度等； 最大最小值分析； 特殊部位分析。4、在有限單元法中，位移模式應(yīng)滿足哪些基本條件。答：（1）位移模式必須包含單元剛體位移；（2）位移模式必須包含單元的常應(yīng)變；（3）位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)，且

7、唯一在相鄰單元之間要協(xié)調(diào)。5、簡述有限單元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點。答：（1）對稱性；（2）奇異性；（3）主對角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素帶狀分布。6、簡述有限單元法中單元剛度矩陣的性質(zhì)。答：（1）單元剛度矩陣為對稱矩陣；（2）單元剛度矩陣為奇異矩陣；（3）單元剛度矩陣主對角線元素恒為正值；（4）單元剛度矩陣僅與單元本身有關(guān)。7、簡述有限單元法中形函數(shù)的性質(zhì)。答：（1）形函數(shù)Ni在節(jié)點i處的值為1，在其他兩個節(jié)點j，m處的值為0；（2）在單元上任意一點處，3個形函數(shù)的和都等于1。8、簡述有限元法中選取單元位移函數(shù)（多項式）的一般原則。答：一般原則：（1）廣義坐標(biāo)的個數(shù)應(yīng)該與結(jié)點自由度數(shù)相

8、等；（2）選取多項式時，常數(shù)項和坐標(biāo)的一次項必須完備；（3）多項式的選取應(yīng)由低階到高階；（4）盡量選取完全多項式以提高單元的精度。9、要保證有限單元法計算結(jié)果的收斂性，位移函數(shù)必須滿足那些條件？答：（1）位移函數(shù)必須能夠反映單元的常量應(yīng)變；（2）位移函數(shù)必須能夠反映單元的剛性位移；（3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須是連續(xù)函數(shù)；（4）位移函數(shù)必須保證相鄰單元間唯一協(xié)調(diào)。10、為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足哪些條件？答：為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足下列條件：（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移；（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變；（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連

9、續(xù)性。11、以三節(jié)點三角形單元為例，簡述有限單元法求解離散化結(jié)構(gòu)的具體步驟。答：（1）取三角形單元的結(jié)點位移為基本未知量。（2）應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點位移求出單元的位移函數(shù)。（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)求出單元的應(yīng)變。（4）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力。（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力出單元的結(jié)點力。（6）應(yīng)用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結(jié)點移置，求出單元的結(jié)點荷載。（7）列出各結(jié)點的平衡方程，組成整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。12、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的剛體位移？答：每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是

10、本單元的形變無關(guān)的，即剛體位移，它是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。甚至在彈性體的某些部位，例如在靠近懸臂梁的自由端處，單元的形變很小，單元的位移主要是由于其他單元發(fā)生形變而引起的剛體位移。因此，為了正確反映單元的位移形態(tài)，位移模式必須能反映該單元的剛體位移。13、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變？答：每個單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點相同的，即所謂常量應(yīng)變。而且，當(dāng)單元的尺寸較小時，單元中各點的應(yīng)變趨于相等，也就是單元的應(yīng)變趨于均勻，因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變

11、的主要部分。因此，為了正確反映單元的形變狀態(tài)，位移模式必須能反映該單元的常量應(yīng)變。14、采用有限單元法怎么樣求解彈性力學(xué)問題(基本思路和基礎(chǔ)步驟)？ 答：基本思想：根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個單元的組合，研究每個單元的特性，組裝各單元，通過變分原理，把問題化成線性代數(shù)方程組求解?；静襟E：（1）將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，包括單元劃分、結(jié)點編號、單元編號、結(jié)點坐標(biāo)計算、位移約束條件確定；（2）等效結(jié)點力的計算；（3）剛度矩陣的計算（先逐個計算單元剛度，再組裝成整體剛度矩陣）；（4）建立整體平衡方程，引入約束條件，求解結(jié)點位移；（5）應(yīng)力計算。15、簡述有限單元法常分析的問題。答：（1）靜力學(xué)分析，（2）模態(tài)分析，（3）動力學(xué)分析，（4）熱力學(xué)分析，（5）其他：接觸分析、壓桿穩(wěn)定性分析、結(jié)構(gòu)-流體耦合分析等。16、有限元法的單元分析中如何導(dǎo)出單元剛度矩陣?17、在有限元方法中如何形成整體剛度矩陣？如何進(jìn)行載荷的等效處理？18、 單元節(jié)點數(shù)目、位移函數(shù)、計算精度三者之間存在何種關(guān)系？19、 什么是等參變換單元？為什么要采用等參變化？答：(1) 是在取位移模式和進(jìn)行圖形變換時所取變換參數(shù)相同，叫做等參變換單元