機(jī)器人技術(shù)第七章機(jī)器人的軌跡規(guī)劃.ppt

1、1,第七章 機(jī)器人的軌跡規(guī)劃,7.1 機(jī)器人規(guī)劃的定義和作用,7.1.1 概述,機(jī)器人學(xué)中的一個(gè)基本問(wèn)題是為解決某個(gè)預(yù)定的任務(wù)而規(guī)劃?rùn)C(jī)器人的動(dòng)作，然后在機(jī)器人執(zhí)行完成那些動(dòng)作所需的命令時(shí)控制它。這里，規(guī)劃的意思就是機(jī)器人在行動(dòng)前確定一系列動(dòng)作(作決策)，這種動(dòng)作的確定可用問(wèn)題求解系統(tǒng)來(lái)解決，給定初始情況后，該系統(tǒng)可達(dá)到某一規(guī)定的目標(biāo)。因此，規(guī)劃就是指機(jī)器人為達(dá)到目標(biāo)而需要的行動(dòng)過(guò)程的描述。 規(guī)劃內(nèi)容可能沒有次序，但是一般來(lái)說(shuō)，規(guī)劃具有某個(gè)規(guī)劃目標(biāo)的蘊(yùn)含排序。例如，早晨起床后的安排。 缺乏規(guī)劃可能導(dǎo)致不是最佳的問(wèn)題求解，甚至得不到問(wèn)題的求解。,2,許多規(guī)劃所包的步驟是含糊的，而且需要進(jìn)一步說(shuō)明（

2、子規(guī)劃）。大多數(shù)規(guī)劃具有很大的子規(guī)劃結(jié)構(gòu)，規(guī)劃中的每個(gè)目標(biāo)可以由達(dá)到此目標(biāo)的比較詳細(xì)的子規(guī)劃所代替。因此，最終得到的規(guī)劃是某個(gè)問(wèn)題求解算符的線性或分部排序，但是由算符來(lái)實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)常常具有分層結(jié)構(gòu)。 把某些比較復(fù)雜的問(wèn)題分解為一些比較小的問(wèn)題的想法使我們應(yīng)用規(guī)劃方法求解問(wèn)題在實(shí)際上成為可能。 有兩條能夠?qū)崿F(xiàn)這種分解的重要途徑：第一條是當(dāng)從一個(gè)問(wèn)題狀態(tài)移動(dòng)到下一個(gè)狀態(tài)時(shí)，無(wú)需計(jì)算整個(gè)新的狀態(tài)，而只要考慮狀態(tài)中可能變化了的那些部分。第二條是把單一的困難問(wèn)題分割為幾個(gè)有希望的、較為容易解決的子問(wèn)題，這種分解能夠使困難問(wèn)題的求解變得容易些。,3,機(jī)器人規(guī)劃分為高層規(guī)劃和低層規(guī)劃。自動(dòng)規(guī)劃在機(jī)器人規(guī)劃中稱

3、為高層規(guī)劃。在無(wú)特別說(shuō)明時(shí)，機(jī)器人規(guī)劃都是指自動(dòng)規(guī)劃。自動(dòng)規(guī)劃是一種重要的問(wèn)題求解技術(shù)，它從某個(gè)特定的問(wèn)題狀態(tài)出發(fā)，尋求一系列行為動(dòng)作，并建立一個(gè)操作序列，直到求得目標(biāo)狀態(tài)為止。與一般問(wèn)題求解相比，自動(dòng)規(guī)劃更注重于問(wèn)題的求解過(guò)程，而不是求解結(jié)果。 我們?cè)陉U述機(jī)器人自動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，機(jī)器人一般配備有傳感器和一組能在某個(gè)易于理解的現(xiàn)場(chǎng)中完成的基本動(dòng)作。這些動(dòng)作可把該現(xiàn)場(chǎng)從一種狀態(tài)或布局變換為另一種狀態(tài)或布局。例如， “積木世界” 。,4,機(jī)器人能得到的一個(gè)解答是由下面的算符序列組成的：,機(jī)器人規(guī)劃是機(jī)器人學(xué)的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，也是人工智能與機(jī)器人學(xué)一個(gè)令人感興趣的結(jié)合點(diǎn)。,5,機(jī)器人的規(guī)劃程序只需要

4、給定任務(wù)初始狀態(tài)和最終狀態(tài)的描述。這些規(guī)劃系統(tǒng)一般都不說(shuō)明為實(shí)現(xiàn)一個(gè)算符所需的詳細(xì)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)。任務(wù)規(guī)劃程序則把任務(wù)級(jí)的說(shuō)明變換成操作機(jī)級(jí)的說(shuō)明。為了進(jìn)行這種變換，任務(wù)規(guī)劃程序必須包含被操作物體、任務(wù)環(huán)境、機(jī)器人執(zhí)行的任務(wù)、環(huán)境的初始狀態(tài)和所要求的最終(目標(biāo))狀態(tài)等描述。任務(wù)規(guī)劃程序的輸出就是一個(gè)機(jī)器人程序，在指定的初始狀態(tài)下執(zhí)行該程序后，就能達(dá)到所要求的最終狀態(tài)。 任務(wù)規(guī)劃有三個(gè)階段：建立模型、任務(wù)說(shuō)明和操作機(jī)程序綜合。任務(wù)的世界模型應(yīng)含有如下的信息:(1)任務(wù)環(huán)境中的所有物體和機(jī)器人的幾何描述；(2)所有物體的物理描述；(3)所有連接件的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述，(4) 機(jī)器人和傳感器特性的描述。在世界

5、模型中，任務(wù)狀態(tài)模型還必包括全部物體和連接件的布局。,7.1.2 機(jī)器人任務(wù)規(guī)劃的作用,6,機(jī)器人軌跡規(guī)劃屬于機(jī)器人低層規(guī)劃，基本上不涉及人工智能問(wèn)題，而是在機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上，討論機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的規(guī)劃及其方法。所謂軌跡，就是指機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位移、速度和加速度。,軌跡規(guī)劃問(wèn)題通常是將軌跡規(guī)劃器看成“黑箱”，接受表示路徑約束的輸入變量，輸出為起點(diǎn)和終點(diǎn)之間按時(shí)間排列的操作機(jī)中間形態(tài)（位姿, 速度和加速度）序列。,7.2 機(jī)器人軌跡規(guī)劃的一般性問(wèn)題,由初始點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終止點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的由中間形態(tài)序列構(gòu)成的空間曲線稱為路徑。這些形態(tài)序列即是曲線上的“點(diǎn)”。,7,規(guī)劃操作機(jī)的軌跡有兩種常用的方法

6、： 第一種方法：要求使用者在沿軌跡選定的位置點(diǎn)上(稱為結(jié)節(jié)或插值點(diǎn))顯式地給定廣義坐標(biāo)位置、速度和加速度的一組約束(例如，連續(xù)性和光滑程度等)。然后，軌跡規(guī)劃器從插值和滿足插值點(diǎn)約束的函數(shù)中選定參數(shù)化軌跡。顯然，在這種方法中，約束的給定和操作機(jī)軌跡規(guī)劃是在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中進(jìn)行的。 第二種方法：使用者以解析函數(shù)顯式地給定操作機(jī)必經(jīng)之路徑，例如，笛卡爾坐標(biāo)中的直線路徑。然后，軌跡規(guī)劃器在關(guān)節(jié)坐標(biāo)或笛卡幾坐標(biāo)中確定一條與給定路徑近似的軌跡。在這種方法中，路徑約束是在笛卡爾坐標(biāo)中給定的。,8,在第一種方法中，約束的給定和操作機(jī)軌跡規(guī)劃在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中進(jìn)行。由于對(duì)操作機(jī)手部沒有約束，使用者難于跟蹤操作機(jī)手部運(yùn)

7、行的路徑。因此，操作機(jī)手部可能在沒有事先警告的情況下與障礙物相碰。 在第二種方法中，路徑約束在笛卡爾坐標(biāo)中給定，而關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器是在關(guān)節(jié)坐標(biāo)中受控制的。因此，為了求得一條逼近給定路徑的軌跡，必須用函數(shù)近似把笛卡爾坐標(biāo)中的路徑約束變換為關(guān)節(jié)坐標(biāo)中的路徑約束，再確定滿足關(guān)節(jié)坐標(biāo)路徑約束的參數(shù)化軌跡。 軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)變量空間中進(jìn)行，也可在笛卡爾空間進(jìn)行。對(duì)于關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃，要規(guī)劃關(guān)節(jié)變量的時(shí)間函數(shù)及其前二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，以便描述操作機(jī)的預(yù)定運(yùn)動(dòng)。在笛卡爾空間規(guī)劃中，要規(guī)劃操作機(jī)手部位置、速度和加速度的時(shí)間函數(shù)，而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度可根據(jù)手部信息導(dǎo)出。,9,面向笛卡爾空間方法的優(yōu)點(diǎn)是概念直觀

8、，而且沿預(yù)定直線路徑可達(dá)到相當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確性?？墒怯捎诂F(xiàn)代還沒有可用笛卡爾坐標(biāo)測(cè)量操作機(jī)手部位置的傳感器，所有可用的控制算法都是建立在關(guān)節(jié)坐標(biāo)基礎(chǔ)上的。因此，笛卡爾空間路徑規(guī)劃就需要在笛卡爾坐標(biāo)和關(guān)節(jié)之間進(jìn)行實(shí)時(shí)變換，這是一個(gè)計(jì)算量很大的任務(wù)，常常導(dǎo)致較長(zhǎng)的控制間隔。 由笛卡爾坐標(biāo)向關(guān)節(jié)坐標(biāo)的變換是病態(tài)的，因而它不是一一對(duì)應(yīng)的映射。 如果在軌跡規(guī)劃階段要考慮操作機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性，就要以笛卡爾坐標(biāo)給定路徑約束，同時(shí)以關(guān)節(jié)坐標(biāo)給定物理約束(例如，每個(gè)關(guān)節(jié)電機(jī)的力和力矩、速度和加速度權(quán)限)。這就會(huì)使最后的優(yōu)化問(wèn)題具有在兩個(gè)不同坐標(biāo)系中的混合約束。,在笛卡爾空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃的特點(diǎn)：,10,在關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃

9、有三個(gè)優(yōu)點(diǎn)： 直接用運(yùn)動(dòng)時(shí)的受控變量規(guī)劃軌跡； 軌跡規(guī)劃可接近實(shí)時(shí)地進(jìn)行； 關(guān)節(jié)軌跡易于規(guī)劃。 伴隨的缺點(diǎn)是難于確定運(yùn)動(dòng)中各桿件和手的位置，但是，為 了避開軌跡上的障礙常常又要求知道一些桿件和手位置。,由于面向笛卡爾空間的方法有前述鐘種缺點(diǎn)，使得面向關(guān)節(jié)空間的方法被廣泛采用。它把笛卡爾結(jié)點(diǎn)變換為相應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)，并用低次多項(xiàng)式內(nèi)插這些關(guān)節(jié)結(jié)點(diǎn)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算較快，而且易于處理操作機(jī)的動(dòng)力學(xué)約束。但當(dāng)取樣點(diǎn)落在擬合的光滑多項(xiàng)式曲線上時(shí)，面向關(guān)節(jié)空間的方法沿笛卡爾路徑的準(zhǔn)確性會(huì)有損失。,11,一般說(shuō)來(lái)，生成關(guān)節(jié)軌跡設(shè)定點(diǎn)的基本算法是很簡(jiǎn)單的：,循環(huán)：等待下一個(gè)控制間隔； 時(shí)刻操作機(jī)關(guān)節(jié)所處的位

10、置； 若 ，則退出循環(huán)； 轉(zhuǎn)向循環(huán)。,從上述算法可以看出，要計(jì)算的是在每個(gè)控制間隔中必須更新的軌跡函數(shù)(或軌跡規(guī)劃器)h(t)。因此，對(duì)規(guī)劃的軌跡要提出四個(gè)限制。第一，必須便于用迭代方式計(jì)算軌跡設(shè)定點(diǎn)；第二，必須求出并明確給定中間位置；第三，必須保證關(guān)節(jié)變量及其前二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，使得規(guī)劃的關(guān)節(jié)軌跡是光滑的；最后，必須減少額外的運(yùn)動(dòng) (例如，“游移” )。,7.3 關(guān)節(jié)插值軌跡,12,若某關(guān)節(jié)(例如關(guān)節(jié) i )的關(guān)節(jié)軌跡使用 p 個(gè)多項(xiàng)式，則要滿足初始和終止條件(關(guān)節(jié)位置、速度和加速度)，并保證這些變量在多項(xiàng)式銜接處的連續(xù)性，因而需要確定 3( p十1)個(gè)系數(shù)。 若給定附加的中間條件(例如

11、位置)，則對(duì)每個(gè)中間條件需要增加一系數(shù)。通常，可以給定兩個(gè)中間位置，一個(gè)靠近初始位置；另一個(gè)靠近終止位置。這樣做，除了可以較好地控制運(yùn)動(dòng)外，還能保證操作機(jī)末端以適當(dāng)?shù)姆较螂x開起點(diǎn)和接近終點(diǎn)。 因此，對(duì)于連接初始位置和終止位置的每個(gè)關(guān)節(jié)變量，一個(gè)七次多項(xiàng)式就足夠了，或者用兩段四次軌跡加一段三次軌跡 （434），也可以用兩段三次軌跡加一段五次軌跡（353），或五段三次軌跡（33333）。,由約束條件數(shù)所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)的個(gè)數(shù)確定多項(xiàng)式的次數(shù),13,為了控制操作機(jī)，在規(guī)劃運(yùn)動(dòng)軌跡之前，需要給定機(jī)器人在初始點(diǎn)和終止點(diǎn)的手臂形態(tài)。在規(guī)劃?rùn)C(jī)器人關(guān)節(jié)插值運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，需要注意下述幾點(diǎn)： 1、抓住一個(gè)物體時(shí)，手

12、的運(yùn)動(dòng)方向應(yīng)該指向離開物體支承表面的方向。否則，手可能與支承面相碰。 2、若沿支承面的法線方向從初始點(diǎn)向外給定一個(gè)離開位置(提升點(diǎn))，并要求手(即手部坐標(biāo)系的原點(diǎn))經(jīng)過(guò)此位置，這種離開運(yùn)動(dòng)就是允許的。如果還給定由初始點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到離開位置的時(shí)間，我們就可以控制提起物體運(yùn)動(dòng)的速度。 3、對(duì)于手臂運(yùn)動(dòng)提升點(diǎn)的要求同樣也適用于終止位置運(yùn)動(dòng)的下放點(diǎn)(即必須先運(yùn)動(dòng)到支承表面外法線方向上的某點(diǎn)，再慢慢下移至終止點(diǎn))。這樣，可獲得和控制正確的接近方向。 4、對(duì)手臂的每一次運(yùn)動(dòng)，都設(shè)定上述四個(gè)點(diǎn)：初始點(diǎn)，提升點(diǎn)，下放點(diǎn)和終止點(diǎn)。,14,5、位置約束 (a) 初始點(diǎn)：給定速度和加速度(一般為零)； (b) 提升點(diǎn)：中

13、間點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)； (c) 下放點(diǎn)：同提升點(diǎn)； (d) 終止點(diǎn)：給定速度和加速度(一般為零)。,15,6、除上述約束外，所有關(guān)節(jié)軌跡的極值不能超出每個(gè)關(guān)節(jié)變量的物理和幾何極限。 7、時(shí)間的考慮 (a) 軌跡的初始段和終止段：時(shí)間由手接近和離開支承表面的速率決定；也是由關(guān)節(jié)電機(jī)特性決定的某個(gè)常數(shù)。 (b) 軌跡的中間點(diǎn)或中間段：時(shí)間由各關(guān)節(jié)的最大速度和加速度決定，將使用這些時(shí)間中的一個(gè)最長(zhǎng)時(shí)間(即用最低速關(guān)節(jié)確定的最長(zhǎng)時(shí)間來(lái)歸一化)。,在關(guān)節(jié)軌跡的典型約束條件之下，我們所要研究的是選擇一種 n 次(或小于 n 次)的多項(xiàng)式函數(shù)，使得在各結(jié)點(diǎn)(初始點(diǎn)，提升點(diǎn)，下放點(diǎn)和終止點(diǎn))上滿足對(duì)位置、速度和加速

14、度的要求，并使關(guān)節(jié)位置、速度和加速度在整個(gè)時(shí)間間隔 t0, tf 中保持連續(xù)。,16,規(guī)劃關(guān)節(jié)插值軌跡的約束條件：,17,一種方法是為每個(gè)關(guān)節(jié)規(guī)定一個(gè)七次多項(xiàng)式函數(shù),式中，未知系數(shù) aj 可由已知的位置和連續(xù)條件確定。但用這種高次多項(xiàng)式內(nèi)插給定的結(jié)點(diǎn)也許不能令人滿意，因?yàn)樗臉O值難求，而且容易產(chǎn)生額外的運(yùn)動(dòng)。 另一種辦法是將整個(gè)關(guān)節(jié)空間軌跡分割成幾段，在每段軌跡中用不同的低次多項(xiàng)式來(lái)插值。有幾種分割軌跡的方法，每種方法的特性各不相同。,434 軌跡 每個(gè)關(guān)節(jié)有下面三段軌跡：第一段由初始點(diǎn)到提升點(diǎn)的軌跡用四次多項(xiàng)式表示。第二段(或中間段）由提升點(diǎn)到下放點(diǎn)的軌跡用三次多項(xiàng)式表示。最后一段由下放點(diǎn)到

15、終止點(diǎn)的軌跡由四次多項(xiàng)式表示。,18,353 軌跡 與434軌跡相同，但每段所用多項(xiàng)式次數(shù)與前種不同。第一段用三次多項(xiàng)式，第二段用五次多項(xiàng)式，最后一段用三次多項(xiàng)式。 (33333) 軌跡 對(duì)五段軌跡都使用三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)。 注意，上述討論對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)軌跡都是有效的，即每個(gè)關(guān)節(jié)軌跡可分割成三段或五段。,7.3.1 434 關(guān)節(jié)軌跡的計(jì)算,對(duì)于N個(gè)關(guān)節(jié), 在每段軌跡規(guī)劃中就要確定 N 條關(guān)節(jié)軌跡，引用歸一化時(shí)間變量 是方便的，它使我們能用同樣的方法處理每個(gè)關(guān)節(jié)每段軌跡的方程。時(shí)間變化范圍均由 (各段軌跡的初始時(shí)間)變到 (各段軌跡的終止時(shí)間)。,19,定義下列變量：,軌跡是由多項(xiàng)式序列hi(t)構(gòu)

16、成的，這些多項(xiàng)式合起來(lái)形成關(guān)節(jié) j 的軌跡。在每段軌跡中關(guān)節(jié)變量的多項(xiàng)式用歸一化時(shí)間表示為:,20,這些關(guān)節(jié)軌跡分段多項(xiàng)式所應(yīng)滿足的邊界條件為:,21,434關(guān)節(jié)軌跡的邊界條件如圖示。,22,這些多項(xiàng)式對(duì)實(shí)際時(shí)間 t 的一階和二階導(dǎo)數(shù)?？蓪懗?第一段軌跡的基本多項(xiàng)式是四次的,23,對(duì)于t =0(這段軌跡的初始位置)，要滿足此位置的邊界條件，則,24,用求出的這些未知量得到,對(duì)于t=1(這段軌跡的終點(diǎn))，在此位置，我們放寬插值多項(xiàng)式必須準(zhǔn)確通過(guò)該點(diǎn)的要求，僅要求在此位置的速度和加速度必須和下一段軌跡起點(diǎn)的速度和加速度連續(xù)。此處的速度和加速度為,第二段軌跡的基本多項(xiàng)式是三次的,25,對(duì)于t=0(提

17、升點(diǎn))，此點(diǎn)的速度和加速度分別為,由于此點(diǎn)的速度相加速度必須分別和前一段軌跡終點(diǎn)的速度和加速度連續(xù)，故可得,26,或,或,對(duì)于t=1(下放點(diǎn))，該點(diǎn)的速度相加速度必須與下一段軌跡起點(diǎn)處的速度和加速度連續(xù)?？煞謩e求得此位置的速度和加速度為,27,末段軌跡的基本多項(xiàng)式是四次的,如果在上式中以 代替 t ，我們就把歸一化時(shí)間 t 由 移至 。,28,可得,對(duì)于 (這段軌跡的終點(diǎn))，要滿足軌跡終點(diǎn)的邊界條件，即,對(duì)于 (這段軌跡的起點(diǎn))，要滿足軌跡起點(diǎn)的邊界條件，即,29,在此下放點(diǎn)的速度和加速度連續(xù)性條件是：,或,30,可以求出相連軌跡段間關(guān)節(jié)角之差為,軌跡多項(xiàng)式其余七個(gè)未知系數(shù)可由以上的速度、加速

18、度連續(xù)約束條件的聯(lián)立方程解出，用矩陣矢量符號(hào)改寫這些方程，可得,其中,31,或,C 矩陣的結(jié)構(gòu)便于計(jì)算未知系數(shù)，若時(shí)間間隔 ti 為正值， C 的逆矩陣總是存在的。則關(guān)節(jié)各段關(guān)節(jié)軌跡多項(xiàng)式系數(shù)即可全部求得。,32,同樣，我們可用此方法可計(jì)算353 關(guān)節(jié)軌跡。,對(duì)于末段軌跡，把歸一化時(shí)間 t 由-1，0重新變回0, 1，可求出 hn(t),33,4-3-4 關(guān)節(jié)軌跡多項(xiàng)式,34,35,3-5-3 關(guān)節(jié)軌跡多項(xiàng)式,36,7.3.2 三次樣條軌跡（五段三次多項(xiàng)式）,用一組三次多項(xiàng)式插補(bǔ)給定的函數(shù)并保證插補(bǔ)點(diǎn)處一階和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的方法，稱為三次樣條函數(shù)法。所能達(dá)到的近似程度和光滑程度是相當(dāng)好的。 一般

19、來(lái)說(shuō)，樣條曲線是在插值點(diǎn)具有 k-1 階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的 k次多項(xiàng)式。對(duì)于三次樣條函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)代表速度的連續(xù)性，二階導(dǎo)數(shù)代表加速度的連續(xù)性。 三次樣條函數(shù)有某些優(yōu)點(diǎn)。首先，它是使速度和加速度連續(xù)的最低次多項(xiàng)式函數(shù)。其次，低次多項(xiàng)式減少了計(jì)算量和數(shù)值不穩(wěn)定的可能性。,每段關(guān)節(jié)軌跡的五段三次多項(xiàng)式的通式為,其中,37,在應(yīng)用五段三次多項(xiàng)式插值時(shí)，需要有五段軌跡和六個(gè)插值點(diǎn)。但是，在前面的討論中只有四個(gè)插值點(diǎn)，即初始點(diǎn)、提升點(diǎn)、下放點(diǎn)和終止點(diǎn)。所以，必須選擇另外兩個(gè)插值點(diǎn)，以便有足夠多的邊界條件求解各多項(xiàng)式系數(shù)?？梢栽谔嵘c(diǎn)和下放點(diǎn)之間選取這兩個(gè)額外的結(jié)點(diǎn)。 沒有必要知道這兩個(gè)點(diǎn)的確切位置，只要知道時(shí)

20、間間隔，以及必須滿足這兩點(diǎn)速度和加速度的連續(xù)性條件。因此，這組關(guān)節(jié)軌跡分段多項(xiàng)式必須滿足的邊界條件是： (1) 在初始點(diǎn)、提升點(diǎn)、下放點(diǎn)和終止點(diǎn)的位置約束； (2) 在所有插值點(diǎn)的速度和加速度的連續(xù)性。,38,五段三次關(guān)節(jié)軌跡的邊界條件示于中。其中有下劃線的變量是在計(jì)算五段三次多項(xiàng)式之前的已知量。,39,這些多項(xiàng)式對(duì)實(shí)際時(shí)間的一階和二階導(dǎo)數(shù)為：,式中，tj 是通過(guò)第 j 段軌跡所需的實(shí)際時(shí)間。給定了初始點(diǎn)和終止點(diǎn)的位置、速度和加速度，第一段軌跡和末段軌跡的多項(xiàng)式 h1 (t) 和hn (t) 就完全確定了。旦算出這兩個(gè)多項(xiàng)式，就可用位置約束和連續(xù)條件求出h2 (t)、 h3 (t) 和 h4

21、(t) 。,第一段軌跡，基本多項(xiàng)式為,當(dāng) t=0 時(shí)，由該位置的邊界條件，可得,(給定),40,由此可得：,當(dāng) t=1 時(shí)，由此位置的邊界條件，可得：,可得,其中，i= i i-1 。第一段軌跡的多項(xiàng)式就完全確定了。,(給定),41,由上式可求出 t1時(shí)的速度和加速度：,此速度相加速度必須與下一段軌跡起點(diǎn)的速度和加速度連續(xù)。,末段軌跡的多項(xiàng)式為（仍做類似代換 ）,當(dāng)t0 和t1時(shí)（對(duì)應(yīng) 和 ），由邊界條件，有,42,由上述方程解出未知系數(shù)，最后得到：,給定初始點(diǎn)、提升點(diǎn)、下放點(diǎn)和終止點(diǎn)的位置以及通過(guò)每段軌跡所需要的時(shí)間 (tj ) 后，五段三次多項(xiàng)式即可唯一地確定，滿足所有位置約束和連續(xù)條件。

22、,算出以上個(gè)多項(xiàng)式，就可用位置約束和連續(xù)條件求出h2 (t)、 h3 (t) 和 h4 (t) 。,43,對(duì)于較復(fù)雜的機(jī)器人系統(tǒng)，為了控制操作機(jī)完成作業(yè)而設(shè)計(jì)了編程語(yǔ)言。在這種系統(tǒng)中，作業(yè)通常是用操作機(jī)手部(或末端執(zhí)行器)必須通過(guò)的笛卡爾結(jié)點(diǎn)序列給定的。因此，描述操作機(jī)在作業(yè)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們就更關(guān)心描述操作機(jī)手部要達(dá)到的目標(biāo)位置及通過(guò)的笛卡爾空間曲線(或路徑)的形式。,7.4 笛卡爾路徑軌跡規(guī)劃,一般，實(shí)現(xiàn)笛卡爾路徑規(guī)劃可采用下述兩個(gè)相連的步驟：(1)沿笛卡爾路徑，按照某種規(guī)則以笛卡爾坐標(biāo)生成或選擇一組結(jié)點(diǎn)或插值點(diǎn)；(2)規(guī)定一種函數(shù)，按某些準(zhǔn)則連接這些結(jié)點(diǎn)(或逼近分段的路徑)。 對(duì)于第二步，

23、所選用的準(zhǔn)則可以采用兩種控制算法，以保證跟蹤給定的路徑。,44,(1) 面向笛卡爾空間的方法。在此方法中，大部分計(jì)算和優(yōu)化是以笛卡爾坐標(biāo)完成的，然后，在手部這一級(jí)上進(jìn)行控制。按固定的取樣間隔在預(yù)定路徑上選擇伺服取樣點(diǎn)，在控制操作機(jī)時(shí)實(shí)時(shí)地把它們轉(zhuǎn)換為與之相應(yīng)的關(guān)節(jié)變量。所得到的軌跡是分段直線。 (2) 面向關(guān)節(jié)空間的方法。這種方法用關(guān)節(jié)變量空間中的低次多項(xiàng)式函數(shù)迫近直線路徑上的兩相鄰結(jié)點(diǎn)間的一段路徑，而控制是在關(guān)節(jié)這一級(jí)上進(jìn)行的。所得到的笛卡爾路徑是不分段的直線。,Paul 敘述了用一系列直線段構(gòu)成操作機(jī)手部笛卡爾路徑的設(shè)計(jì)方法。把手部在這些直線段中的速度和加速度轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)坐標(biāo)，并用二次插值進(jìn)

24、行平滑連接，從而實(shí)現(xiàn)了手部的規(guī)劃運(yùn)動(dòng)控制。我們將學(xué)習(xí)如何用該方法設(shè)計(jì)笛卡爾直線路徑。,45,對(duì)于笛卡爾路徑控制，軌跡設(shè)定點(diǎn)算法為：,循環(huán)：等待下一個(gè)控制間隔； 時(shí)刻操作機(jī)末端所處的位置； 相應(yīng)于 的關(guān)節(jié)變量解； 若 ，則退出循環(huán)； 轉(zhuǎn)向循環(huán)。,這里，除了需要計(jì)算每一控制間隔中操作機(jī)手部軌跡函數(shù) 外，還需把笛卡爾位置變換為相應(yīng)的關(guān)節(jié)變量 。矩陣函數(shù) 表示操作機(jī)手部在 時(shí)刻的預(yù)定位置。可用44齊次變換矩陣表示。,46,在可編程機(jī)器人系統(tǒng)中，預(yù)定的運(yùn)動(dòng)可用笛卡爾結(jié)點(diǎn)序列給定，每個(gè)結(jié)點(diǎn)可用聯(lián)系操作機(jī)手部坐標(biāo)系和工作空間坐標(biāo)系的齊次變換來(lái)描述。相應(yīng)于這些笛卡爾結(jié)點(diǎn)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)可用運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題求解程序算出，

25、并用二次多項(xiàng)式平滑關(guān)節(jié)坐標(biāo)中兩個(gè)相鄰的關(guān)節(jié)結(jié)點(diǎn)，以利于控制，從而，控制操作機(jī)手部沿連接這些結(jié)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是，它使我們能控制操作機(jī)手部跟蹤運(yùn)動(dòng)的物體。雖然目標(biāo)位置是用變換描述的，但它們并不規(guī)定操作機(jī)手部怎樣由一個(gè)變換運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)變換。 Paul 用一個(gè)直線平移和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)完成兩相鄰笛卡爾結(jié)點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)。第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)是繞單位矢量 k 進(jìn)行的，把工具或末端執(zhí)行器的軸線調(diào)整到預(yù)定的接近方向；而第二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)則繞工具軸調(diào)整工具的方向。,7.4.1 齊次變換矩陣法,47,一般來(lái)說(shuō)，操作機(jī)的目標(biāo)位置可用如下基本矩陣方程表示：,其中，0T6 為描述操作機(jī)手部相對(duì)于機(jī)座坐標(biāo)系位姿的齊次變換矩陣； 6Tt

26、ool 為描述工具相對(duì)于手部坐標(biāo)系位姿的齊次變換矩陣，它描述了受控制的工具端點(diǎn)； 0Cbase(t) 為描述物體位姿的工作坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)座坐標(biāo)系的齊次變換矩陣； basePobj 為描述末端執(zhí)行器相對(duì)于工作坐標(biāo)系預(yù)定抓取物體的位姿的齊次變換矩陣。,左邊的矩陣描述操作機(jī)抓取位姿，而右邊的矩陣描述了我們要讓操作機(jī)工具抓握物體特征部位的位姿。,48,我們可以解出0T6 ，它描述了以正確和預(yù)定的方式抓取物體時(shí)操作機(jī)應(yīng)有的形態(tài)。,如果計(jì)算0T6 的速度足夠高，并轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的關(guān)節(jié)角，那么就可控制操作機(jī)沿預(yù)定的軌跡運(yùn)動(dòng) 利用前式，確定一項(xiàng)作業(yè)的 N個(gè) 目標(biāo)位置的序列可表示為,49,由Ci(t) Pi確定的位

27、置，可求得相鄰點(diǎn)之間的距離。若進(jìn)一步給定線速度和角速度，即可求得由位置i 到 i+1所需的時(shí)間。,以上位置的工具和運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系都是相對(duì)于機(jī)座坐標(biāo)系給定的。從一個(gè)位置移向下一個(gè)位置最好是相對(duì)于目標(biāo)坐標(biāo)系給定位置和工具。這樣，從運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系觀察，工具是靜止的。為了做到這一點(diǎn)，需要相對(duì)于后續(xù)的坐標(biāo)系重新定義當(dāng)前的位置和工具。利用雙下標(biāo)符號(hào) Pij 重新定義Pi變換，就不難做到這一點(diǎn)。 Pij是在第 j 個(gè)工作坐標(biāo)系中表示的位置Pi。則在位置1，將它在目標(biāo)坐標(biāo)系中表示，可得,將它用位置2時(shí)的坐標(biāo)系表示，則有,50,由以上兩個(gè)方程即可求得,上述方程的目的是耍在已知 P11時(shí) 求得P12 。因此，在任意二相鄰

28、位置 I 和 i+1 之間的運(yùn)動(dòng)有,其中Pi,i+11 和Pi+1,i+1 為上面所討論過(guò)的變換。 Paul 使用了一種簡(jiǎn)單的方法，以控制操作機(jī)手部從一個(gè)變換運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)變換。此法包括一個(gè)平移運(yùn)動(dòng)和一個(gè)繞空間某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)以及另一個(gè)繞工具軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，以便形成操作機(jī)受控的線速度和角速度運(yùn)動(dòng)。第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)使工具軸與預(yù)定的接近方向?qū)?zhǔn)，第二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)使工具軸與方向矢量對(duì)準(zhǔn)。,51,由位置 i 到 i+1的運(yùn)動(dòng)可用“驅(qū)動(dòng)”變換D()表示，它是歸一化時(shí)間 的函數(shù),其中，,可得,于是有,52,用位置 i 和 i+1各自的齊次變換矩陣表示它們，可得,利用前式，求 Pi,i+1的逆并乘以Pi+1,i+1 ，得到,53,

29、若驅(qū)動(dòng)函數(shù)由一個(gè)平移運(yùn)動(dòng)和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，那么這些平移和轉(zhuǎn)動(dòng)量將直接同成正比。若隨時(shí)間線性地變化，則 D() 所代表的合成運(yùn)動(dòng)將相應(yīng)于一個(gè)不變的線速度和兩個(gè)角速度。 平移運(yùn)動(dòng)可由齊次變換矩陣L()表示；第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)可用齊次變換矩陣RA()表示，它的作用是把Pi位置的接近矢量轉(zhuǎn)向Pi+1位置的接近矢量；第二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)可用RB()表示，它的作用是把Pi 位置的方向矢量繞工具軸轉(zhuǎn)向Pi+1位置的方向矢量。因此，驅(qū)動(dòng)函數(shù)可表示為,54,其中，,旋轉(zhuǎn)矩陣RA() 表示繞 Pi 的接近矢量（zi 軸）轉(zhuǎn)動(dòng)了角，又繞方向矢量（yi 軸）轉(zhuǎn)動(dòng)了角； RB() 表示繞工具的接近矢量轉(zhuǎn)動(dòng) 角的旋轉(zhuǎn)。,55,其中，,56,操作機(jī)經(jīng)常要沿相連的直線段軌跡運(yùn)動(dòng)，以滿足作業(yè)運(yùn)動(dòng)的要求