康托爾的集合論.ppt

1、康托爾與集合論,主要內(nèi)容,簡介 集合論誕生歷程 三次數(shù)學(xué)危機(jī) 集合論趨于完善 啟發(fā),簡介,格奧爾格康托爾,格奧爾格康托爾（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德國數(shù)學(xué)家，19世紀(jì)數(shù)學(xué)偉大成就之一集合論的創(chuàng)立人。生于俄國圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國的法蘭克福。先在一所中學(xué)，后在威斯巴登的一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)?？低袪栂群缶蛯W(xué)于蘇黎世大學(xué)、哥廷根大學(xué)、法蘭克福大學(xué)和柏林大學(xué)，主要學(xué)習(xí)哲學(xué)、數(shù)學(xué)和物理。,個人事跡,康托爾，1862年入蘇黎世大學(xué)學(xué)工,翌年轉(zhuǎn)入柏

2、林大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)和神學(xué)，受教于庫默爾（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克羅內(nèi)克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫默爾指導(dǎo)下以解決一般整系數(shù)不定方程ax2+by2+cz2=0求解問題的論文獲博士學(xué)位。畢業(yè)后受魏爾斯特拉斯的直接影響，由數(shù)論轉(zhuǎn)向嚴(yán)格的分析理論的研究，不久嶄露頭角。他在哈雷大學(xué)任教（1869-1913）的初期證明了復(fù)合變量

3、函數(shù)三角級數(shù)展開的唯一性，繼而用有理數(shù)列極限定義無理數(shù)。1872年成為該校副教授，1879年任教授。由于學(xué)術(shù)觀點上受到的沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂癥，雖在1887年恢復(fù)了健康，繼續(xù)工作，但晚年一直病魔纏身。1918年1月6日在德國哈雷（Halle）-維滕貝格大學(xué)附屬精神病院去世。 康托爾愛好廣泛，極有個性，終身信奉宗教。早期在數(shù)學(xué)方面的興趣是數(shù)論，1870年開始研究三角級數(shù)并由此導(dǎo)致19世紀(jì)末、20世紀(jì)初最偉大的數(shù)學(xué)成就集合論和超窮數(shù)理論的建立。除此之外，他還努力探討在新理論創(chuàng)立過程中所涉及的數(shù)理哲學(xué)問題.1888-1893年康托爾任柏林?jǐn)?shù)學(xué)會第一任會長，1890年領(lǐng)導(dǎo)創(chuàng)立德國數(shù)學(xué)家聯(lián)

4、合會并任首屆主席。,集合論誕生歷程,集合論研究的開端：十九世紀(jì)初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數(shù)點集。,1874年，德國數(shù)學(xué)家康托爾在著名的克雷爾數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了關(guān)于無窮集合論的第一章革命性文章。從1874年到1884年，康托爾的一系列關(guān)于集合的文章，奠定了集合論的基礎(chǔ)。他對集合所下的定義是：把若干確定的、有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，其中各事物稱為該集合的元素。,格奧爾格康托爾,集合是數(shù)學(xué)的一個基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比

5、作一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構(gòu)成這座大廈的基石，由此可見它在數(shù)學(xué)中的重要性。其創(chuàng)始人康托爾也以其集合論的成就被譽為對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一。,集合,集合論受排擠,如同每一個新事物的出現(xiàn)一樣，集合論一經(jīng)問世就遭到許多數(shù)學(xué)家及其他學(xué)者的激烈反對。當(dāng)時的權(quán)威數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Kronecker)非常敵視康托爾的集合論思想，時間達(dá)整整十年之久，法國數(shù)學(xué)大家龐加萊(Poincare)則預(yù)測后一代人將把集合論當(dāng)作一種疾病。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰。然而烏云遮不住太陽，經(jīng)歷二十余年后，集合論最終獲得了

6、世界公認(rèn)。,克羅內(nèi)克AND龐加萊,克羅內(nèi)克，德國數(shù)學(xué)家。對代數(shù)和代數(shù)數(shù)論，特別是橢圓函數(shù)理論有突出貢獻(xiàn)。他的主要貢獻(xiàn)在于努力統(tǒng)一數(shù)論、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)的研究。克羅內(nèi)克的數(shù)學(xué)觀對后世有極大影響。,亨利龐加萊，法國數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家。他被公認(rèn)是19世紀(jì)后四分之一和二十世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家，是對于數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用具有全面知識的最后一個人。,二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同。數(shù)學(xué)家們樂觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，只要借助集合論的概念，便可以建造起整個數(shù)學(xué)的大廈。在1900年第二次國際數(shù)學(xué)大會上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了。我們可以說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了

7、絕對的嚴(yán)格?！比欢@種自得的情緒并沒能持續(xù)多久。英國哲學(xué)家羅素(Russell)就很懷疑數(shù)學(xué)的這種嚴(yán)密性，他經(jīng)過三年的苦思冥想，于1902年找到了一個能證明自己觀點的簡單明確的“羅素悖論”。不久，集合論是有漏洞的消息迅速就傳遍了數(shù)學(xué)界。,集合論的漏洞,羅素,羅素（Russell），英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、歷史學(xué)家，無神論或者不可知論者，也是上世紀(jì)西方最著名、影響最大的學(xué)者和和平主義社會活動家之一，1950年諾貝爾文學(xué)獎得主，同時被認(rèn)為是與弗雷格、維特根斯坦和懷特海一同創(chuàng)建了分析哲學(xué)。,羅素悖論,羅素悖論還有一些較為通俗的版本，如理發(fā)師悖論。 在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的

8、：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。 理發(fā)師悖論號稱“天衣無縫”、“絕對嚴(yán)密”的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中。從此整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)被動搖了，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。,理發(fā)師悖論,三次數(shù)學(xué)危機(jī),第一次數(shù)學(xué)危機(jī)： 無理數(shù)的發(fā)

9、現(xiàn)第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 。希帕索斯提出一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少？他導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù) 的誕生。掀起當(dāng)時數(shù)學(xué)界上一場巨大風(fēng)暴。直接動搖畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。,第二次數(shù)學(xué)危機(jī),無窮小量取值大小 源于微積分工具的使用。微積分在很多疑難問題運用中及其簡單，但是不論是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都不是嚴(yán)格的。對于無窮小量是不是0的看法引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第二次危機(jī)。,第三次數(shù)學(xué)危機(jī),悖論的產(chǎn)生。在康托爾的集合論被公認(rèn)沒多久，1903年，一個震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論存在漏洞。這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。,公理化集合論的誕生,危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)

10、的工作中去。1908年，德國數(shù)學(xué)家策梅羅(E.Zermelo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化的方法來消除悖論。他認(rèn)為悖論的出現(xiàn)是由于康托爾沒有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的策梅羅希望簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質(zhì)更為顯然。策梅羅的公理化集合論后來演變成ZF或ZFS公理系統(tǒng)。從此原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn)。這就是集合論發(fā)展的第二個階段：公理化集合論。與此相對應(yīng)，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴(yán)格處理。它保留了樸素集合論的有價值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一