中考幾何模型解題法

1、中考幾何模型解題法研修課論文 宋海平第一講 以中招真題為例講解在幾何題中，與角平分線的四類模型：夾角模型、角平分線加垂直模型、角平分線加平行線模型、四邊形對角互補角平分線模型。第二講 弦圖是證明勾股定理時所構造出來的圖形。本講將從弦圖出發(fā)，抽離出相似模型，及通過變形得到的高級相似模型，培養(yǎng)學生利用模型快速解決幾何證明題的能力。第三講 在熟悉a字型相似、8字型相似及各自變形的基礎上，培養(yǎng)學生從題目中尋找相似基本模型的能力，從而使其能夠靈活利用模型來解決幾何證明題。 第四講 中考數(shù)學題中，求線段和最大值、線段差最小值的題目出現(xiàn)頻率較高。本講通過作圖，利用軸對稱的性質(zhì)將線段進行轉(zhuǎn)移，利用奶站模型、天

2、橋模型幫助學生找到解題的突破口，提高做題效率。第五講 幾何題目中經(jīng)常會出現(xiàn)大角中間夾著一個半角的條件（如90度角，中間夾一個45度角），用來求線段或圖形的數(shù)量關系。本講把這一條件總結為大角夾半角模型，幫助學生從題目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的處理方法，快速找到題目的突破口，提升解題的效率。 第六講 本講重點講解根據(jù)題目條件，通過構造圓，把問題放到圓的背景下，利用圓的性質(zhì)解決問題。培養(yǎng)學生把幾何的三大板塊：三角形，四邊形和圓統(tǒng)一起來解決問題，做到融會貫通。一、角平分線模型一、 精講精練【模型一】夾角模型oa、oc分別是bac、bca的角平分線，則：aoc=90+b bp、cp分別是ab

3、c、acd的角平分線，則：p=aad、cd分別是eac、fca的角平分線，則： d=90-b1. 如圖，在abc中，b60，a、c的角平分線ae、cf相交于o求證：oeof2. （2011湖北黃岡）如圖，abc的外角acd的平分線cp與內(nèi)角abc平分線bp交于點p，若bpc=40，則cap=_.3. （2011年山東臨沂）如圖，abc中，ab=ac，ad、cd分別是兩個外角的平分線.（1）求證：ac=ad；（2）若b=60，求證：四邊形abcd是菱形.【模型二】角平分線加垂直abac，ab=ac，ce是acb的平分線，bece，則: be=cf4. （2011大連）在abc中，a90，點d在線

4、段bc上，edbc，bede，垂足為e，de與ab相交于點f（1）當abac時（如圖1），ebf_；探究線段be與fd的數(shù)量關系，并加以證明；（2）當abkac時（如圖2），求的值（用含k的式子表示）【模型三】角平分線加平行線op是mon的角平分線，abon，則：oa=ab5. （2011江蘇宿遷）如圖，在梯形abcd中，abdc，adc的平分線與bcd的平分線的交點e恰在ab上若ad7cm，bc8cm，則ab的長度是 _cm6. （2011山東濱州）如圖，在abc中，點o是ac邊上（端點除外）的一個動點，過點o作直線mnbc.設mn交bca平分線于點e，交bca的外角平分線于點f，連接ae、

5、af.那么當點o運動到何處時，四邊形aecf是矩形？并證明你的結論.【模型四】四邊形對角互補模型a+c=180，bd是abc的平分線，則:ad=cd7. （2011年山東臨沂前兩問）如圖1，將三角板放在正方形abcd上，使三角板的直角頂點e與正方形abcd的頂點a重合，三角板的一邊交cd于點f，另一邊交cb的延長線于點g.（1）求證：ef=eg；（2）如圖2，移動三角板，使頂點e始終在正方形abcd的對角線ac上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由弦圖模型n 。一、 知識提要1. 弦圖基本模型模型一： 模型二：2. 弦圖模型之變形 二、 專項訓練

6、【板塊一】弦圖基本模型1. 如圖，rtabc中，cdab，垂足為d，deac，垂足為e，求證：2. 如圖，梯形abcd中，ab/dc，b=90，e為bc上一點，且aeed若bc=12，dc=7，be：ec=1：2，則ab的長為_3. 在abc中，ab=，ac=4，bc=2，以ab為邊向abc外作abd，使abd為等腰直角三角形，求線段cd的長. 【板塊二】弦圖模型之變形4. （2011烏魯木齊）如圖，等邊三角形abc的邊長為3，點p為bc邊上一點，且bp=1，點d為ac邊上一點，若apd=60，則cd的長為 .5. （2011錦州）如圖，四邊形abcd，m為bc邊的中點若b=amd=c=45，

7、ab=8，cd=9，則ad的長為（）a3 b4 c5 d66. （2011荊州）如圖，p為線段ab上一點，ad與bc交干e，cpd=a=b，bc交pd于f，ad交pc于g，則圖中相似三角形有（）a1對b2對 c3對d4對7. 在abc中，ac=bc，acb=90，點m是ac上的一點，點n是bc上的一點，沿著直線mn折疊，使得點c恰好落在邊ab上的p點，求證：mc：nc=ap：pb相似基本模型三、 知識提要1. 相似基本模型1：“a” 字型相似及其變形2. 相似基本模型2：“8” 字型相似及其變形四、 專項訓練1. 四邊形efgh是abc內(nèi)接正方形，bc=21cm，高ad=15cm，則內(nèi)接正方形

8、邊長ef=_. 2. 如圖，在abc中，aed=b，de=6，ab=10，ae=8，則bc的長度為（）a.b. c.3d.3. 如圖，直角梯形abcd中，bcd=90，adbc，bc=cd，e為梯形內(nèi)一點，且bec=90，將bec繞c點旋轉(zhuǎn)90使bc與dc重合，得到dcf，連接ef交cd于m已知bc=5，cf=3，則dm：mc的值為（）a.5：3b.3：5 c.4：3d.3：44. 如圖，在平行四邊形abcd中，m，n為bd的三等分點，連接cm并延長交ab于e點，連接en并延長交cd于f點，則df：ab等于（）a.1：3b.1：4 c.2：5d.3：85. 如圖，半圓o的直徑ab=7，兩弦ac

9、、bd相交于點e，弦cd=，且bd=5，則de等于_.6. 已知：如圖，abc中，aece，bccd，求證：ed3ef. 7. 已知：如圖，梯形abcd中，abdc，e是ab的中點，直線ed分別與對角線ac和bc的延長線交于m、n點，求證：md：mend：ne.巧用軸對稱解線段和差最值【板塊一】線段和最小1. 如圖，正方形abcd的面積為12，abe是等邊三角形，點e在正方形abcd內(nèi)，在對角線ac上有一點p，使pd+pe的和最小，則這個最小值為（ ） a b c3 dadepbcadepbcadepbcadepbc2. 如圖，在五邊形abcde中，bae=120，b=e=90，ab=bc，a

10、e=de，在bc，de上分別找一點m，n，使得amn周長最小時，則amn +anm的度數(shù)為（ ）a. 100 b. 110 c. 120 d. 1303. 如圖， 在銳角abc中， ab=，bac=45,bac的平分線交bc于點d，m，n分別是ad，ab上的動點，則bm+mn的最小值是_.4. （2011福州）已知，如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為h，與x軸交于a、b兩點（b在a點右側），點h、b關于直線對稱.（3）過點b作直線bkah交直線于k點，m、n分別為直線ah和直線上的兩個動點，連接hn、nm、mk，求hn+nm+mk的最小值. 5. 已知四邊形pabq在坐標系中的位置如圖所示，則當四邊形

11、pabq的周長最小時，a= 【板塊二】線段差最大6. （2009四川眉山）如圖，已知直線與軸交于點a，與x軸交于點d，拋物線與直線交于a、e兩點，與x軸交于b、c兩點，且b點坐標為 (1，0) (3)在拋物線的對稱軸上找一點m，使的值最大，求出點m的坐標大角夾半角模型原題剖析： 如圖，已知在正方形abcd中，e、f分別是bc、cd上的點，若有eaf=45，求證：be+df=ef模型提?。侯}型對比：1.（2008天津）已知rtabc中，有一個圓心角為，半徑的長等于的扇形繞點c旋轉(zhuǎn)，且直線ce，cf分別與直線交于點m，ncabefmn圖（）當扇形繞點c在的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖，求證：；cabefmn圖

12、（）當扇形cef繞點c旋轉(zhuǎn)至圖的位置時，關系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由實戰(zhàn)訓練2. （2010重慶改編）邊長為2的等邊abc的兩邊ab、ac上有兩點m、n，d為abc外一點，且mdn=60，bdc=120，bd=dc. 探究：當m、n分別在ab、ac上移動時，amn的周長是否為定值？典型特例：3.如圖，點c、d在線段ab上，pcd是等邊三角形，且apb=120，cd=3，設ac=x、bd=y，求y關于x的表達式4.如圖，在abc中，ab=ac=2，bac=20動點p、q分別在直線bc上運動，且始終保持paq=100設bp=x，cq=y ， 求y與x之間的函數(shù)關系式.5

13、.如圖，將兩個全等的等腰直角三角形abc與afg擺放在一起，a為公共端點，bac=agf=90，它們的斜邊長為2，若abc固定不動，afg繞點a旋轉(zhuǎn)，af、ag與邊bc的交點分別為d、e（d、e不與b、c重合），設be=m，cd=n.（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一組進行證明；（2）求m與n的函數(shù)關系式，直接寫出自變量的取值范圍6. 如圖，在abc中，已知bac=45，adbc于d，bd=2，dc=3，求abc的面積四點共圓【板塊一】對角互補1. 如圖，在abc中，adbc于d，dnac于n，dmab于m，求證：anm=b2. 如圖，在四邊形abcd中，已知bad=60，abc=90，bcd=120，對角線ac，bd交于點s，且ds=2sb，p為ac的中點求證：（1）pbd=30；（2）ad=dc【板塊二】同線段同側所張的角相等3. 如圖，在四邊形abcd中，bcab，a在bc的垂直平分線上，d在ac的垂直平分線上，且cad=abd，則abc+