計算機算法設(shè)計與分析【王曉東-電子工業(yè)出版社-2版】-第3章.ppt

1、上海金融學院信息管理系,1,第3章 動態(tài)規(guī)劃,上海金融學院信息管理系,2,學習要點: 理解動態(tài)規(guī)劃算法的概念。 掌握動態(tài)規(guī)劃算法的基本要素 （1）最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì) （2）重疊子問題性質(zhì) 掌握設(shè)計動態(tài)規(guī)劃算法的步驟。 (1)找出最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。 (2)遞歸地定義最優(yōu)值。 (3)以自底向上的方式計算出最優(yōu)值。 (4)根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造最優(yōu)解。,上海金融學院信息管理系,3,通過應用范例學習動態(tài)規(guī)劃算法設(shè)計策略。 （1）矩陣連乘問題； （2）最長公共子序列； （3）最大子段和 （4）凸多邊形最優(yōu)三角剖分； （5）多邊形游戲； （6）圖像壓縮； （7）電路布線； （8）流水作

2、業(yè)調(diào)度； （9）背包問題； （10）最優(yōu)二叉搜索樹。,上海金融學院信息管理系,4,動態(tài)規(guī)劃算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題,算法總體思想,上海金融學院信息管理系,5,但是經(jīng)分解得到的子問題往往不是互相獨立的。不同子問題的數(shù)目常常只有多項式量級。在用分治法求解時，有些子問題被重復計算了許多次。,算法總體思想,上海金融學院信息管理系,6,如果能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，就可以避免大量重復計算，從而得到多項式時間算法。,算法總體思想,T(n),上海金融學院信息管理系,7,動態(tài)規(guī)劃基本步驟,找出最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。 遞歸地定義最

3、優(yōu)值。 以自底向上的方式計算出最優(yōu)值。 根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造最優(yōu)解。,上海金融學院信息管理系,8,（1）單個矩陣是完全加括號的； （2）矩陣連乘積 是完全加括號的，則 可 表示為2個完全加括號的矩陣連乘積 和 的乘積并加括號，即,16000, 10500, 36000, 87500, 34500,完全加括號的矩陣連乘積可遞歸地定義為： 設(shè)有四個矩陣 ，它們的維數(shù)分別是： 總共有五中完全加括號的方式,完全加括號的矩陣連乘積,上海金融學院信息管理系,9,3.1 矩陣連乘問題,給定n個矩陣 ， 其中 與 是可乘的， ?？疾爝@n個矩陣的連乘積 由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以計算矩陣的連乘可以

4、有許多不同的計算次序。這種計算次序可以用加括號的方式來確定。 若一個矩陣連乘積的計算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號，則可以依此次序反復調(diào)用2個矩陣相乘的標準算法計算出矩陣連乘積,上海金融學院信息管理系,10,矩陣連乘問題,給定n個矩陣A1,A2,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2，n-1。如何確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數(shù)乘次數(shù)最少。,窮舉法：列舉出所有可能的計算次序，并計算出每一種計算次序相應需要的數(shù)乘次數(shù)，從中找出一種數(shù)乘次數(shù)最少的計算次序。,算法復雜度分析： 對于n個矩陣的連乘積，設(shè)其不同的計算次序為P(n)。 由于每種加括號方式都

5、可以分解為兩個子矩陣的加括號問題：(A1.Ak)(Ak+1An)可以得到關(guān)于P(n)的遞推式如下：,上海金融學院信息管理系,11,矩陣連乘問題,窮舉法 動態(tài)規(guī)劃,將矩陣連乘積 簡記為Ai:j ，這里ij,考察計算Ai:j的最優(yōu)計算次序。設(shè)這個計算次序在矩陣 Ak和Ak+1之間將矩陣鏈斷開，ikj，則其相應完全 加括號方式為,計算量：Ai:k的計算量加上Ak+1:j的計算量，再加上 Ai:k和Ak+1:j相乘的計算量,上海金融學院信息管理系,12,特征：計算Ai:j的最優(yōu)次序所包含的計算矩陣子鏈 Ai:k和Ak+1:j的次序也是最優(yōu)的。 矩陣連乘計算次序問題的最優(yōu)解包含著其子問題的最優(yōu)解。這種性

6、質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法求解的顯著特征。,分析最優(yōu)解的結(jié)構(gòu),上海金融學院信息管理系,13,建立遞歸關(guān)系,設(shè)計算Ai:j，1ijn，所需要的最少數(shù)乘次數(shù)mi,j，則原問題的最優(yōu)值為m1,n 當i=j時，Ai:j=Ai，因此，mi,i=0，i=1,2,n 當ij時， 可以遞歸地定義mi,j為：,這里 的維數(shù)為,的位置只有 種可能,上海金融學院信息管理系,14,計算最優(yōu)值,對于1ijn不同的有序?qū)?i,j)對應于不同的子問題。因此，不同子問題的個數(shù)最多只有 由此可見，在遞歸計算時，許多子問題被重復計算多次。這也是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法求解的又一顯著特征。 用

7、動態(tài)規(guī)劃算法解此問題，可依據(jù)其遞歸式以自底向上的方式進行計算。在計算過程中，保存已解決的子問題答案。每個子問題只計算一次，而在后面需要時只要簡單查一下，從而避免大量的重復計算，最終得到多項式時間的算法,上海金融學院信息管理系,15,void MatrixChain(int *p，int n，int *m，int *s) for (int i = 1; i = n; i+) mii = 0; for (int r = 2; r = n; r+) for (int i = 1; i = n - r+1; i+) int j=i+r-1; mij = mi+1j+ pi-1*pi*pj; sij =

8、 i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj; if (t mij) mij = t; sij = k; ,算法復雜度分析： 算法matrixChain的主要計算量取決于算法中對r，i和k的3重循環(huán)。循環(huán)體內(nèi)的計算量為O(1)，而3重循環(huán)的總次數(shù)為O(n3)。因此算法的計算時間上界為O(n3)。算法所占用的空間顯然為O(n2)。,上海金融學院信息管理系,16,用動態(tài)規(guī)劃法求最優(yōu)解,上海金融學院信息管理系,17,#include stdafx.h #include void MatrixChain(int* p,i

9、nt n,int m7,int s7); void Traceback(int i,int j,int s7); int main(int argc, char* argv) int n=6; int m66; int s66; int p7; for (int i=0;ipi; MatrixChain(p,n,m,s); Traceback(1,n,s); return 0; ,上海金融學院信息管理系,18,void MatrixChain(int* p,int n,int m6,int s6) for (int i = 1; i = n; i+) mii = 0; for (int r =

10、 2; r = n; r+) for (int i = 1; i = n - r+1; i+) int j=i+r-1; mij = mi+1j+ pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj; if (t mij) mij = t; sij = k; ,上海金融學院信息管理系,19,void Traceback(int i,int j,int s6) if(i=j)return; Traceback(i,sij,s); Traceback(sij+1,j,s); coutMul

11、tiply Ai,sij; coutand Asij+1,jendl; ,上海金融學院信息管理系,20,#include stdafx.h #include void MatrixChain(int* p,int n,int m6,int s6); void Traceback(int i,int j,int s6); int main(int argc, char* argv) int n=6; int m66; int s66; int p7; for (int i=0;ipi; for (int ii=0;ii=n;ii+) coutpii ; coutendlendlendl; Mat

12、rixChain(p,n,m,s); /coutnendl; Traceback(1,6,s); return 0; ,void MatrixChain(int* p,int n,int m6,int s6) for (int i = 1; i = n; i+) mii = 0; sii = 0; for (int r = 2; r = n; r+) for (int i = 1; i = n - r+1; i+) int j=i+r-1; mij = mi+1j+ pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = mik + mk

13、+1j + pi-1*pk*pj; if (t mij) mij = t; sij = k; for (int ii = 1; ii = n; ii+) for (int jj = ii; jj = n; jj+) cout.width(10); coutmiijj; coutendl; coutendlendl; for (int iii = 1; iii = n; iii+) for (int jjj = iii; jjj = n; jjj+) cout.width(10); coutsiiijjj; coutendl; coutendlendl; void Traceback(int i

14、,int j,int s6) if(i=j)return; Traceback(i,sij,s); Traceback(sij+1,j,s); coutMultiply Ai,sij; coutand Asij+1,jendl; ,上海金融學院信息管理系,21,3.2 動態(tài)規(guī)劃算法的基本要素,一、最優(yōu)子結(jié)構(gòu),矩陣連乘計算次序問題的最優(yōu)解包含著其子問題的最優(yōu)解。這種性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。 在分析問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)時，所用的方法具有普遍性：首先假設(shè)由問題的最優(yōu)解導出的子問題的解不是最優(yōu)的，然后再設(shè)法說明在這個假設(shè)下可構(gòu)造出比原問題最優(yōu)解更好的解，從而導致矛盾。 利用問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，以自底

15、向上的方式遞歸地從子問題的最優(yōu)解逐步構(gòu)造出整個問題的最優(yōu)解。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)是問題能用動態(tài)規(guī)劃算法求解的前提。,同一個問題可以有多種方式刻劃它的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，有些表示方法的求解速度更快（空間占用小，問題的維度低）,上海金融學院信息管理系,22,動態(tài)規(guī)劃算法的基本要素,二、重疊子問題,遞歸算法求解問題時，每次產(chǎn)生的子問題并不總是新問題，有些子問題被反復計算多次。這種性質(zhì)稱為子問題的重疊性質(zhì)。 動態(tài)規(guī)劃算法，對每一個子問題只解一次，而后將其解保存在一個表格中，當再次需要解此子問題時，只是簡單地用常數(shù)時間查看一下結(jié)果。 通常不同的子問題個數(shù)隨問題的大小呈多項式增長。因此用動態(tài)規(guī)劃算法只需要多項式時間，從而獲

16、得較高的解題效率。,上海金融學院信息管理系,23,上海金融學院信息管理系,24,動態(tài)規(guī)劃算法的基本要素,三、備忘錄方法,備忘錄方法的控制結(jié)構(gòu)與直接遞歸方法的控制結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別在于備忘錄方法為每個解過的子問題建立了備忘錄以備需要時查看，避免了相同子問題的重復求解。,上海金融學院信息管理系,25,int LookupChain(int i，int j) if (mij 0) return mij; if (i = j) return 0; int u = LookupChain(i，i) + LookupChain(i+1，j) + pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k

17、= i+1; k j; k+) int t = LookupChain(i，k) + LookupChain(k+1，j) + pi-1*pk*pj; if (t u) u = t; sij = k; mij = u; return u; ,上海金融學院信息管理系,26,#include stdafx.h #include int LookupChain(int p,int i,int j,int m6,int s6); int MMatrixChain(int p,int n,int m6,int s6); void Traceback(int i,int j,int s6); int ma

18、in(int argc, char* argv) int n=6; int m66; int s66; int p7; for (int i=0;ipi; MMatrixChain(p,n,m,s); Traceback(1,6,s); return 0; int MMatrixChain(int p,int n,int m6,int s6) for (int i = 1; i = n; i+) for (int j = i; j = n; j+)mij = 0; return LookupChain(p,1,n,m,s); ,int LookupChain(int p,int i,int j

19、,int m6,int s6 ) if (mij 0) return mij; if (i = j) return 0; int u = LookupChain(p,i,i,m,s) + LookupChain(p,i+1,j,m,s) + pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = LookupChain(p,i,k,m,s) + LookupChain(p,k+1,j,m,s) + pi-1*pk*pj; if (t u) u = t; sij = k; mij = u; return u; void Traceback(

20、int i,int j,int s6) if(i=j)return; Traceback(i,sij,s); Traceback(sij+1,j,s); coutMultiply Ai,sij; coutand Asij+1,jendl; ,上海金融學院信息管理系,27,3.3 最長公共子序列,若給定序列X=x1,x2,xm，則另一序列Z=z1,z2,zk，是X的子序列是指存在一個嚴格遞增下標序列i1,i2,ik使得對于所有j=1,2,k有：zj=xij。例如，序列Z=B，C，D，B是序列X=A，B，C，B，D，A，B的子序列，相應的遞增下標序列為2，3，5，7。 給定2個序列X和Y，當另一序

21、列Z既是X的子序列又是Y的子序列時，稱Z是序列X和Y的公共子序列。,j,上海金融學院信息管理系,28,最長公共子序列,問題：給定2個序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找出X和Y的最長公共子序列。 例如：X=A,B,C,B,D,A,B, Y=B,D,C,A,B,A 則序列B,C,A是X和Y的一個公共子序列。但它不是X和Y的一個最長公共子序列。序列B,C,B,A是X和Y的一個公共子序列，它的長度是4，而且它是X和Y的一個最長公共子序列。因為，X和Y沒有長度大于4的公共子序列。它的另一個解是B,C,A,B。該問題的答案不唯一。,j,上海金融學院信息管理系,29,最長公共子序列的結(jié)構(gòu),設(shè)

22、序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn的最長公共子序列為Z=z1,z2,zk ，則 (1)若xm=yn，則zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最長公共子序列。 (2)若xmyn且zkxm，則Z是xm-1和Y的最長公共子序列。 (3)若xmyn且zkyn，則Z是X和yn-1的最長公共子序列。,由此可見，2個序列的最長公共子序列包含了這2個序列的前綴的最長公共子序列。因此，最長公共子序列問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。,上海金融學院信息管理系,30,子問題的遞歸結(jié)構(gòu),由最長公共子序列問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)建立子問題最優(yōu)值的遞歸關(guān)系。用cij記錄序列Xi和Yj的最長公共子序列的長度。其中

23、， Xi=x1,x2,xi；Yj=y1,y2,yj。當i=0或j=0時，空序列是Xi和Yj的最長公共子序列。故此時Cij=0。其它情況下，由最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)可建立遞歸關(guān)系如下：,上海金融學院信息管理系,31,計算最優(yōu)值,由于在所考慮的子問題空間中，總共有(mn)個不同的子問題，因此，用動態(tài)規(guī)劃算法自底向上地計算最優(yōu)值能提高算法的效率。,上海金融學院信息管理系,32,void LCSLength(int m，int n，char *x，char *y，int *c，int *b) int i，j; for (i = 1; i =cij-1) cij=ci-1j; bij=2; else cij=c

24、ij-1; bij=3; ,上海金融學院信息管理系,33,構(gòu)造最長公共子序列 void LCS(int i，int j，char *x，int *b) if (i =0 | j=0) return; if (bij= 1) LCS(i-1，j-1，x，b); coutxi; else if (bij= 2) LCS(i-1，j，x，b); else LCS(i，j-1，x，b); ,上海金融學院信息管理系,34,例如：設(shè)所給的2個序列為X=A,B,C,B,D,A,B和Y=B,D,C,A,B,A 由算法LCSLength和LCS計算出的結(jié)果如圖3-3所示。,上海金融學院信息管理系,35,計算最優(yōu)

25、值,LCS： 另一個解B,C,A,B,上海金融學院信息管理系,36,#include stdafx.h #include void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int c7,int b7); void LCS(int i,int j,char *x,int b7); int main(int argc, char* argv) int m=7; int n=6; char x8= ,A,B,C,B,D,A,B; char y7= ,B,D,C,A,B,A; /coutx0endly0endl; int c87; int b87; LCSLengt

26、h(m,n,x,y,c,b); cout序列x為：endl; for (int i=1; i= m; i+) coutxi; coutendl; cout序列y為：endl; for (int j=1; j= n; j+) coutyj; coutendl; cout序列x和y的最長公共子序列為：endl; LCS(7,6,x,b); coutendl; cout矩陣c為：endl; for (int ii = 0; ii = m; ii+) for (int jj = 0; jj = n; jj+) cout.width(2); coutciijj; coutendl; cout矩陣b為：e

27、ndl; for (int iii = 0; iii = m; iii+) for (int jjj = 0; jjj = n; jjj+) cout.width(2); coutbiiijjj; coutendl; return 0; , void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int c7,int b7) int i,j; for (i = 0; i =cij-1) cij=ci-1j; bij=2; else cij=cij-1; bij=3; void LCS(int i,int j,char *x,int b7) if (i=0|j=0)

28、 return; if (bij=1) LCS(i-1,j-1,x,b); coutxi; else if (bij=2) LCS(i-1,j,x,b); else LCS(i,j-1,x,b); ,上海金融學院信息管理系,37,算法的改進,在算法lcsLength和lcs中，可進一步將數(shù)組b省去。事實上，數(shù)組元素cij的值僅由ci-1j-1，ci-1j和cij-1這3個數(shù)組元素的值所確定。對于給定的數(shù)組元素cij，可以不借助于數(shù)組b而僅借助于c本身在時間內(nèi)確定cij的值是由ci-1j-1，ci-1j和cij-1中哪一個值所確定的。,上海金融學院信息管理系,38,算法的改進,如果只需要計算最長

29、公共子序列的長度，則算法的空間需求可大大減少。事實上，在計算cij時，只用到數(shù)組c的第i行和第i-1行。因此，用2行的數(shù)組空間就可以計算出最長公共子序列的長度。進一步的分析還可將空間需求減至O(min(m,n)。,上海金融學院信息管理系,39,3.4 最大子段和,上海金融學院信息管理系,40,3.5 凸多邊形最優(yōu)三角剖分,用多邊形頂點的逆時針序列表示凸多邊形，即P=v0,v1,vn-1表示具有n條邊的凸多邊形。 若vi與vj是多邊形上不相鄰的2個頂點，則線段vivj稱為多邊形的一條弦。弦將多邊形分割成2個多邊形vi,vi+1,vj和vj,vj+1,vi。,上海金融學院信息管理系,41,多邊形的

30、三角剖分是將多邊形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。,上海金融學院信息管理系,42,三角剖分的結(jié)構(gòu)及其相關(guān)問題,一個表達式的完全加括號方式相應于一棵完全二叉樹，稱為表達式的語法樹。例如，完全加括號的矩陣連乘積(A1(A2A3)(A4(A5A6)所相應的語法樹如圖 (a)所示。 凸多邊形v0,v1,vn-1的三角剖分也可以用語法樹表示。例如，圖 (b)中凸多邊形的三角剖分可用圖 (a)所示的語法樹表示。,上海金融學院信息管理系,43,三角剖分的結(jié)構(gòu)及其相關(guān)問題,矩陣連乘積中的每個矩陣Ai對應于凸(n+1)邊形中的一條邊vi-1vi。三角剖分中的一條弦vivj，ij，對應于矩陣連乘積Ai+1:j

31、。,上海金融學院信息管理系,44,最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì),凸多邊形的最優(yōu)三角剖分問題有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。 事實上，若凸(n+1)邊形P=v0,v1,vn-1的最優(yōu)三角剖分T包含三角形v0vkvn，1kn-1，則T的權(quán)為3個部分權(quán)的和：三角形v0vkvn的權(quán)，子多邊形v0,v1,vk和vk,vk+1,vn的權(quán)之和。可以斷言，由T所確定的這2個子多邊形的三角剖分也是最優(yōu)的。因為若有v0,v1,vk或vk,vk+1,vn的更小權(quán)的三角剖分將導致T不是最優(yōu)三角剖分的矛盾。,上海金融學院信息管理系,45,最優(yōu)三角剖分的遞歸結(jié)構(gòu),定義tij，1ijn為凸子多邊形vi-1,vi,vj的最優(yōu)三角剖分所對應的權(quán)函數(shù)值，即

32、其最優(yōu)值。為方便起見，設(shè)退化的多邊形vi-1,vi具有權(quán)值0。據(jù)此定義，要計算的凸(n+1)邊形P的最優(yōu)權(quán)值為t1n。 tij的值可以利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)遞歸地計算。當j-i1時，凸子多邊形至少有3個頂點。由最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，tij的值應為tik的值加上tk+1j的值，再加上三角形vi-1vkvj的權(quán)值，其中ikj-1。由于在計算時還不知道k的確切位置，而k的所有可能位置只有j-i個，因此可以在這j-i個位置中選出使tij值達到最小的位置。由此，tij可遞歸地定義為：,上海金融學院信息管理系,46,3.6 多邊形游戲,多邊形游戲是一個單人玩的游戲，開始時有一個由n個頂點構(gòu)成的多邊形。每個頂點被賦予

33、一個整數(shù)值，每條邊被賦予一個運算符“+”或“*”。所有邊依次用整數(shù)從1到n編號。 游戲第1步，將一條邊刪除。 隨后n-1步按以下方式操作： (1)選擇一條邊E以及由E連接著的2個頂點V1和V2； (2)用一個新的頂點取代邊E以及由E連接著的2個頂點V1和V2。將由頂點V1和V2的整數(shù)值通過邊E上的運算得到的結(jié)果賦予新頂點。 最后，所有邊都被刪除，游戲結(jié)束。游戲的得分就是所剩頂點上的整數(shù)值。 問題:對于給定的多邊形，計算最高得分。,上海金融學院信息管理系,47,多邊形游戲,例如：四邊形 設(shè)-7為1號頂點，4為2號頂點，2為3號頂點，5為4號頂點。 按游戲規(guī)則，該四邊形的游戲結(jié)果為：得分最高是33

34、。首次被刪去的邊為1號邊和2號邊。,上海金融學院信息管理系,48,上海金融學院信息管理系,49,上海金融學院信息管理系,50,上海金融學院信息管理系,51,上海金融學院信息管理系,52,上海金融學院信息管理系,53,上海金融學院信息管理系,54,最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì),在所給多邊形中，從頂點i(1in)開始，長度為j(鏈中有j個頂點)的順時針鏈p(i，j) 可表示為vi，opi+1，vi+j-1。 如果這條鏈的最后一次合并運算在opi+s處發(fā)生(1sj-1)，則可在opi+s處將鏈分割為2個子鏈p(i，s)和p(i+s，j-s)。 設(shè)m1是對子鏈p(i，s)的任意一種合并方式得到的值，而a和b分別是在

35、所有可能的合并中得到的最小值和最大值。m2是p(i+s，j-s)的任意一種合并方式得到的值，而c和d分別是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。依此定義有am1b，cm2d (1)當opi+s=+時，顯然有a+cmb+d (2)當opi+s=*時，有minac，ad，bc，bdmmaxac，ad，bc，bd 換句話說，主鏈的最大值和最小值可由子鏈的最大值和最小值得到。,上海金融學院信息管理系,55,構(gòu)造遞歸函數(shù),由前面的分析可知，為了求鏈合并的最大值，必須同時求子鏈合并的最大值和最小值。因此，在整個計算過程中，應同時計算最大值和最小值。,上海金融學院信息管理系,56,構(gòu)造遞歸函數(shù),設(shè)mij0

36、 是鏈p(i,j)合并的最小值，而mij1是最大值。若最優(yōu)合并在 opi+s 處將p(i,j)分為2個長度小于j的子鏈 p(i,s)和 p(i+s,j-s)，且從頂點i開始的長度小于j的子鏈的最大值和最小值均已計算出。為敘述方便，記 a=mis0,b=mis1, c=i+sj-s0,d=i+sj-s1,上海金融學院信息管理系,57,構(gòu)造遞歸函數(shù),(1)當opi+s=+時， mij0=a+c mij1=b+d (2)當opi+s=*時， mij0=minac,ad,bc,bd mij1=maxac,ad,bc,bd 綜合（1）和（2），將 p(i,j)在opi+s出斷開的最大值記為maxf(i,

37、j,s)，最小值記為minf(i,j,s)，則 minf(I,j,s)有兩種可能： opi+s=+時，a+c opi+s=* 時，minac,ad,bc,bd maxf(I,j,s) 有兩種可能： opi+s=+時, b+d opi+s=*時， maxac,ad,bc,bd,上海金融學院信息管理系,58,構(gòu)造遞歸函數(shù),由于最優(yōu)斷開位置s有1n時，頂點i+s實際編號為（i+s）mod n。按上述遞推式計算出的min1即為游戲首次刪去第i條邊后得到的最大得分。,上海金融學院信息管理系,59,計算最優(yōu)值及構(gòu)造最優(yōu)解,Void Min_Max (int n, int i,int s,int j,int

38、 ,上海金融學院信息管理系,60,計算最優(yōu)值及構(gòu)造最優(yōu)解,Int Poly_Max(int n) int minf,maxf; for(int j=2;jminf) mij0=minf; If(mij1maxf) mij1=maxf; int temp=m1n1; for(int i=1;i=n;i+) if(tempmin1) temp=min1; return temp; ,上海金融學院信息管理系,61,#include stdafx.h #include void Min_Max(int n, int i,int s,int j,int ,上海金融學院信息管理系,62,void Min_

39、Max (int n, int i,int s,int j,int ,上海金融學院信息管理系,63,int Poly_Max(int n,int m52,char op) int i,j,s,minf,maxf,k; for(j=2;jminf) mij0=minf; if(mij1maxf) mij1=maxf; k=s; coutm(i,j,0)=mij0, m(i,j,1)=mij1endl; coutkendl; int temp=m1n1; k=1; for(int ii=2;ii=n;ii+) if(tempmiin1) temp=miin1; k=ii; coutkendl; r

40、eturn temp; ,上海金融學院信息管理系,64,課后作業(yè),習題 3-1，3-2，3-3,上海金融學院信息管理系,65,3.7 圖像壓縮,圖象的變位壓縮存儲格式將所給的象素點序列p1,p2,pn,0pi255分割成m個連續(xù)段S1,S2,Sm。第i個象素段Si中(1im)，有l(wèi)i個象素,且該段中每個象素都只用bi位表示。設(shè) 則第i個象素段Si為 設(shè) ，則hibi8。因此需要用3位表示bi,如果限制1li255，則需要用8位表示li。因此，第i個象素段所需的存儲空間為li*bi+11位。按此格式存儲象素序列p1,p2,pn，需要 位的存儲空間。 圖象壓縮問題要求確定象素序列p1,p2,pn的

41、最優(yōu)分段，使得依此分段所需的存儲空間最少。每個分段的長度不超過256位。,上海金融學院信息管理系,66,圖像壓縮,設(shè)li，bi，是p1,p2,pn的最優(yōu)分段。顯而易見，l1，b1是p1,pl1的最優(yōu)分段，且li，bi，是pl1+1,pn的最優(yōu)分段。即圖象壓縮問題滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。 設(shè)si，1in，是象素序列p1,pn的最優(yōu)分段所需的存儲位數(shù)。由最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)易知： 其中,算法復雜度分析： 由于算法compress中對k的循環(huán)次數(shù)不超這256，故對每一個確定的i，可在時間O(1)內(nèi)完成的計算。因此整個算法所需的計算時間為O(n)。,上海金融學院信息管理系,67,3.8 電路布線,在一塊電路板的

42、上、下2端分別有n個接線柱。根據(jù)電路設(shè)計，要求用導線(i,(i)將上端接線柱與下端接線柱相連，如圖所示。其中(i)是1,2,n的一個排列。導線(i,(i)稱為該電路板上的第i條連線。對于任何1i(j)。 電路布線問題要確定將哪些連線安排在第一層上，使得該層上有盡可能多的連線。換句話說，該問題要求確定導線集Nets=(i,(i),1in的最大不相交子集。,上海金融學院信息管理系,68,記 。N(i,j)的最大不相交子集為MNS(i,j)。Size(i,j)=|MNS(i,j)|。 (1)當i=1時， (2)當i1時， 2.1 j(i)。此時， 。故在這種情況下，N(i,j)=N(i-1,j)，從

43、而Size(i,j)=Size(i-1,j)。 2.2 j(i)，(i,(i)MNS(i,j) 。 則對任意(t,(t) MNS(i,j)有ti且(t)(i)。在這種情況下MNS(i,j)-(i,(i)是N(i-1,(i)-1)的最大不相交子集。 2.3 若 ，則對任意(t,(t) MNS(i,j)有 ti。從而 。因此，Size(i,j)Size(i-1,j)。 另一方面 ，故又有Size(i,j)Size(i-1,j)， 從而Size(i,j)=Size(i-1,j)。,電路布線,(1)當i=1時 (2)當i1時,上海金融學院信息管理系,69,3.9 流水作業(yè)調(diào)度,n個作業(yè)1，2，n要在由

44、2臺機器M1和M2組成的流水線上完成加工。每個作業(yè)加工的順序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作業(yè)i所需的時間分別為ai和bi。 流水作業(yè)調(diào)度問題要求確定這n個作業(yè)的最優(yōu)加工順序，使得從第一個作業(yè)在機器M1上開始加工，到最后一個作業(yè)在機器M2上加工完成所需的時間最少。,分析： 直觀上，一個最優(yōu)調(diào)度應使機器M1沒有空閑時間，且機器M2的空閑時間最少。在一般情況下，機器M2上會有機器空閑和作業(yè)積壓2種情況。 設(shè)全部作業(yè)的集合為N=1，2，n。SN是N的作業(yè)子集。在一般情況下，機器M1開始加工S中作業(yè)時，機器M2還在加工其它作業(yè)，要等時間t后才可利用。將這種情況下完成S中作業(yè)所需的

45、最短時間記為T(S,t)。流水作業(yè)調(diào)度問題的最優(yōu)值為T(N,0)。,上海金融學院信息管理系,70,流水作業(yè)調(diào)度,設(shè)是所給n個流水作業(yè)的一個最優(yōu)調(diào)度，它所需的加工時間為 a(1)+T。其中T是在機器M2的等待時間為b(1)時，安排作業(yè)(2)，(n)所需的時間。 記S=N-(1)，則有T=T(S,b(1)。,證明：事實上，由T的定義知TT(S,b(1)。若TT(S,b(1)，設(shè)是作業(yè)集S在機器M2的等待時間為b(1)情況下的一個最優(yōu)調(diào)度。則(1)， (2)， (n)是N的一個調(diào)度，且該調(diào)度所需的時間為a(1)+T(S,b(1)a(1)+T。這與是N的最優(yōu)調(diào)度矛盾。故TT(S,b(1)。從而T=T(

46、S,b(1)。這就證明了流水作業(yè)調(diào)度問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。,由流水作業(yè)調(diào)度問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，,上海金融學院信息管理系,71,Johnson不等式,對遞歸式的深入分析表明，算法可進一步得到簡化。 設(shè)是作業(yè)集S在機器M2的等待時間為t時的任一最優(yōu)調(diào)度。若(1)=i, (2)=j。則由動態(tài)規(guī)劃遞歸式可得: T(S,t)=ai+T(S-i,bi+maxt-ai,0)=ai+aj+T(S-i,j,tij) 其中，,如果作業(yè)i和j滿足minbi,ajminbj,ai，則稱作業(yè)i和j滿足Johnson不等式。,上海金融學院信息管理系,72,流水作業(yè)調(diào)度的Johnson法則,交換作業(yè)i和作業(yè)j的加

47、工順序，得到作業(yè)集S的另一調(diào)度，它所需的加工時間為T(S,t)=ai+aj+T(S-i,j,tji) 其中， 當作業(yè)i和j滿足Johnson不等式時，有,上海金融學院信息管理系,73,流水作業(yè)調(diào)度的Johnson法則,由此可見當作業(yè)i和作業(yè)j不滿足Johnson不等式時，交換它們的加工順序后，不增加加工時間。對于流水作業(yè)調(diào)度問題，必存在最優(yōu)調(diào)度 ，使得作業(yè)(i)和(i+1)滿足Johnson不等式。進一步還可以證明，調(diào)度滿足Johnson法則當且僅當對任意ij有 由此可知，所有滿足Johnson法則的調(diào)度均為最優(yōu)調(diào)度。,上海金融學院信息管理系,74,算法描述,流水作業(yè)調(diào)度問題的Johnson算

48、法 (1)令 (2)將N1中作業(yè)依ai的非減序排序；將N2中作業(yè)依bi的非增序排序； (3)N1中作業(yè)接N2中作業(yè)構(gòu)成滿足Johnson法則的最優(yōu)調(diào)度。,算法復雜度分析： 算法的主要計算時間花在對作業(yè)集的排序。因此，在最壞情況下算法所需的計算時間為O(nlogn)。所需的空間為O(n)。,上海金融學院信息管理系,75,3.10 0-1背包問題,給定n種物品和一背包。物品i的重量是wi，其價值為vi，背包的容量為C。問應如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大? 0-1背包問題是一個特殊的整數(shù)規(guī)劃問題。,上海金融學院信息管理系,76,0-1背包問題,設(shè)所給0-1背包問題的子問題,的

49、最優(yōu)值為m(i，j)，即m(i，j)是背包容量為j，可選擇物品為i，i+1，n時0-1背包問題的最優(yōu)值。由0-1背包問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以建立計算m(i，j)的遞歸式如下。,算法復雜度分析： 從m(i，j)的遞歸式容易看出，算法需要O(nc)計算時間。當背包容量c很大時，算法需要的計算時間較多。例如，當c2n時，算法需要(n2n)計算時間。,上海金融學院信息管理系,77,算法改進,由m(i,j)的遞歸式容易證明，在一般情況下，對每一個確定的i(1in)，函數(shù)m(i,j)是關(guān)于變量j的階梯狀單調(diào)不減函數(shù)。跳躍點是這一類函數(shù)的描述特征。在一般情況下，函數(shù)m(i,j)由其全部跳躍點唯一確定。如圖所示。,對每一個確定的i(1in)，用一個表pi存儲函數(shù)m(i，j)的全部跳躍點。表pi可依計算m(i，j)的遞歸式遞歸地由表pi+1計算，初始時pn+1=(0，0)。,上海金融學院信息管理系,78,一個例子,n=3，c=6，w=4，3，2，v=5，2，1。,上海金融學院信息管理系,79,函數(shù)m(i,j)是由函數(shù)m(i+1,j)與函數(shù)m(i+1,j-wi)+vi作max運算得到的。因此，函數(shù)m(i,j)的全部跳躍點包含于函數(shù)m(i+1，j)的跳躍點集pi+1與函數(shù)m(i