OPT3優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型.ppt

1、第三章 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型,3-1 設(shè)計(jì)變量 3-2 約束條件 3-3 目標(biāo)函數(shù) 3-4 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 3-5 數(shù)學(xué)模型的幾何描述 3-6 優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過程及終止準(zhǔn)則,優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。,3-1設(shè)計(jì)變量,一、設(shè)計(jì)變量 設(shè)計(jì)變量：在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中是變化的，需要優(yōu)選的 量。 設(shè)計(jì)參數(shù)：在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中保持不變或預(yù)先確定 數(shù)值。 可以是幾何參數(shù)：例，尺寸、形狀、位置 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)： 例，位移、速度、加速度 動(dòng)力學(xué)參數(shù)： 例，力、力矩、應(yīng)力 其它物理量： 例，質(zhì)量、

2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、頻率、撓度 非物理量： 例，效率、壽命、成本 設(shè)計(jì)向量：用 X =x1, x2 , ,x nT 表示， 是定義在 n 維歐氏空間中的一個(gè)向量。,二、設(shè)計(jì)點(diǎn)與設(shè)計(jì)空間 設(shè)計(jì)點(diǎn): X(k)（x1(k), x2 (k), ,x n(k)）： 是設(shè)計(jì)向量X(k)的端點(diǎn)，代表設(shè)計(jì)空間中的一個(gè)點(diǎn)，也代表第 k 個(gè)設(shè)計(jì)方案?？赡苁强尚蟹桨?、也可能不是可行方案。 設(shè)計(jì)空間 Rn ： 以x1, x2 , ,xn 為坐標(biāo)軸，構(gòu)成 n 維歐氏實(shí)空間Rn。它包含了所有可能的設(shè)計(jì)點(diǎn)，即所有設(shè)計(jì)方案。,維歐氏空間: 由于工程設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量都是實(shí)數(shù)，所以稱這種設(shè)計(jì)空間為歐式空間,三、連續(xù)量與離散量 一般來說，設(shè)

3、計(jì)變量大多是一些連續(xù)變化的量。 但在機(jī)械設(shè)計(jì)中，有些變量也可能是跳躍式的量。例如齒輪的齒數(shù)必須為整數(shù)，模數(shù)必須符合國家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的值，軸承的尺寸必須符合產(chǎn)品樣本中所規(guī)定的值等。凡屬這類跳躍式的量稱為離散量。 對于離散設(shè)計(jì)變量，在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中常常把它們視作連續(xù)量，在求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個(gè)實(shí)用的最優(yōu)方案。,3-2 約束條件,設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計(jì)。 一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。,一、設(shè)計(jì)約束的類型 (1) 約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)

4、形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。 (2) 根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成： 性能約束針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性等要求； 邊界約束只是對設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。,(3) 顯式約束 隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式 ,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計(jì)算求得。,可行域： 在可行域內(nèi)任意一點(diǎn)稱為可行設(shè)計(jì)點(diǎn)（內(nèi)點(diǎn)），代表一個(gè)可行方案,

5、 可行設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合D稱為可行設(shè)計(jì)區(qū)域。 非可行域： 在可行域外的點(diǎn)稱為非可行設(shè)計(jì)點(diǎn)（外點(diǎn)），代表不可采用的設(shè)計(jì)方案，這種設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合為非可行域。,二、可行域和非可行域,3-3 目標(biāo)函數(shù),為了對設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。,在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計(jì)變量的不斷向F(X)值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得F(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量，所有的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束函數(shù)中。,在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度最高、振幅或噪聲最小

6、、成本最低、耗能最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。,在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。,3-4 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型,綜上所述，最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型一般表示如下： 對于無約束最優(yōu)化問題：,式中， 表示n維實(shí)歐氏空間。,對于約束最優(yōu)化問題：,式中D表示由p個(gè)不等約束條件和q個(gè)等約束條件所規(guī)定的可行域。,通過最優(yōu)化方法求得的一組最優(yōu)設(shè)計(jì)變量：,表示了一個(gè)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案，稱為最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)。對應(yīng)于該設(shè)計(jì)方案的目標(biāo)函數(shù)為：,稱為最優(yōu)化值。 最優(yōu)點(diǎn)和最優(yōu)值兩者構(gòu)成了一個(gè)優(yōu)化問題的

7、最優(yōu)解。,在數(shù)學(xué)模型中，若目標(biāo)函數(shù)F（X）和約束函數(shù) 和 都是設(shè)計(jì)變量 的線性函數(shù)， 這樣的優(yōu)化問題常稱為線性規(guī)劃問題，否則稱為非線性規(guī)劃問題。,3-5數(shù)學(xué)模型的幾何描述,為了進(jìn)一步說明最優(yōu)化問題的一些基本概念，下面再對它作必要的幾何描述，以便比較直觀地、形象化地理解它。先以一個(gè)二維優(yōu)化問題為例。,設(shè)有一個(gè)約束最優(yōu)化問題，數(shù)學(xué)模型如下：,對于這樣一個(gè)優(yōu)化問題，可用下圖的幾何圖形來說明幾個(gè)基本概念。,3-6 優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過程 及終止準(zhǔn)則,一 、迭代過程與迭代格式,為了適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)，要求最優(yōu)化方法具有下列性質(zhì)：,數(shù)值計(jì)算，而不是解析方法； 具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)，并能進(jìn)行反復(fù)的運(yùn)算過程：

8、 不要求獲得精確解，而只要求有足夠精度的近似解。,滿足上述要求的計(jì)算過程或計(jì)算方法就是所謂的數(shù)值迭代過程 或 數(shù)值迭代方法。,數(shù)值迭代的基本思想是：從某一個(gè)選定的初始點(diǎn) 出發(fā)，按照某種最優(yōu)化方法所規(guī)定的原則，確定適當(dāng)?shù)姆较蚝筒介L，獲得第一個(gè)新的修改設(shè)計(jì)點(diǎn) ，計(jì)算此點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值 使?jié)M足：,最終達(dá)到與理論最優(yōu)點(diǎn)X*非常逼近的近似最優(yōu)點(diǎn)X*,。,式中的 就是以 為新起始點(diǎn)，沿著一定的方向 以一定的步長 確定下一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn) 的改進(jìn)迭代矢量。由此可知，每一步迭代格式可寫作：,第n步迭代計(jì)算的步長。,二、優(yōu)化方法的分類,目前已有的最優(yōu)化方法很多，各種方法的區(qū)別就在于確定方向S和步長a的方法不同。這些方法可

9、大致歸納為兩大類：,1直接搜索法 這種方法只需要進(jìn)行函數(shù)的計(jì)算與比較來確定優(yōu)化的方向和步長。,2間接法 這種方法需要利用函數(shù)的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣來確定優(yōu)化方向和優(yōu)化步長。,由于大多數(shù)工程設(shè)計(jì)問題的設(shè)計(jì)變量比較多，函數(shù)形式也比較復(fù)雜，不易求得一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，因此在實(shí)際應(yīng)用中，直接搜索法更受工程界的歡迎。,但不論何種具體的優(yōu)化算法，它們在確定方向和步長時(shí)都應(yīng)具有以下共同之點(diǎn)：,（1）所選擇的優(yōu)化方向S是比較容易計(jì)算的； （2）所選擇的優(yōu)化方向應(yīng)盡可能指向目標(biāo)函數(shù)F（X）的極小點(diǎn)， 至少在每一個(gè)迭代點(diǎn) 附近是指向F（X）的極小點(diǎn)； （3）所選的步長a應(yīng)在已定方向上使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小，或者至 少使

10、目標(biāo)函數(shù)值肴所下降。,三、迭代點(diǎn)列的收斂條件和終止準(zhǔn)則,1點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則 若某種迭代過程所選擇的設(shè)計(jì)點(diǎn)序列為： 若點(diǎn)列是收斂的，即存在極限： 點(diǎn)列 收斂的必要與充分條件是，對于任意指定的足夠小的正數(shù)，存在著自然數(shù)N，使得當(dāng)兩個(gè)自然數(shù)m和p大于N時(shí)滿足： 滿足上述條件的點(diǎn)列稱為基本序列，這個(gè)條件叫做點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則。收斂條件（式也可寫作：,2、優(yōu)化計(jì)算的終止準(zhǔn)則,通常采用的計(jì)算終止準(zhǔn)則有以下幾種形式：,（1）當(dāng)兩相鄰的迭代點(diǎn) 和 之間的距離足夠小時(shí)用矢量的長度來表示，即為： 也可以用矢量長度在各坐標(biāo)軸上的分量來表示，即：,（2）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的下降量已達(dá)到充分小時(shí)，即： 也可以用目標(biāo)函數(shù)值的相對下降量達(dá)到充分小時(shí)來表示，即：,（3）當(dāng)?shù)c(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)梯度達(dá)到充分小時(shí)，即： 但是這種判別準(zhǔn)則很可能把駐點(diǎn)作為最優(yōu)值點(diǎn)輸出，這是它的缺點(diǎn)。,在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，只要滿足以上諸式中之一，就可算作目標(biāo)函數(shù)值 已收斂于函數(shù)F（X）