概率論的基本概念(浙).ppt

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),席 雷 2013.02,教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（浙大 第三版） 課時(shí)：51學(xué)時(shí)（講課+習(xí)題） 預(yù)備知識(shí)：高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)。,序 言,1. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究什么的？ 它是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。,2. 什么是隨機(jī)現(xiàn)象？,客觀現(xiàn)象分為三類(lèi)： (1). 確定性現(xiàn)象：事前可預(yù)言的現(xiàn)象，即在準(zhǔn)確地重復(fù)某些條件下，它的結(jié)果是肯定的。 如：銀行利率，上課時(shí)間等,(2). 非確定性現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）：事前不可預(yù)言的現(xiàn)象，即在相同條件下重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每次結(jié)果未必相同；或知道事物過(guò)去的狀況，但未來(lái)的發(fā)展卻不能預(yù)見(jiàn)。 如：股票漲跌、等車(chē)時(shí)間、天氣狀況、足球比賽等。,(3). 模糊

2、現(xiàn)象：事物本身的含義不確定的現(xiàn)象。 如：“健康”與“不健康”、“年青”與“年老”、“網(wǎng)癮”的界定等。,3. 本課程內(nèi)容及其聯(lián)系：,1-5章為概率論的內(nèi)容。 6-8章是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容。 第9章之后為多元分析的內(nèi)容。,4. 常見(jiàn)應(yīng)用,人口普查；（普查 抽樣） 經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)； （統(tǒng)計(jì)模型） 氣象統(tǒng)計(jì)分析。（多元分析）,第一章 概率論的基本概念,第一節(jié) 隨機(jī)事件 一、基本概念 1. 試驗(yàn)（廣義）：觀察與實(shí)驗(yàn)。 一次試驗(yàn)：對(duì)某種現(xiàn)象的一次觀察、測(cè)量或進(jìn)行一次科學(xué)實(shí)驗(yàn)。,2. 隨機(jī)試驗(yàn)(E)：滿(mǎn)足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)： （1）試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行； （2）試驗(yàn)結(jié)果可能不止一個(gè)，但能確定所有的可能結(jié)果；

3、（3）試驗(yàn)前不能肯定哪個(gè)結(jié)果會(huì)發(fā)生。,例1： E1：拋一枚硬幣，分別用H和T表示出正面和反面； E2：擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； E3：記錄某網(wǎng)站一分鐘受到的點(diǎn)擊次數(shù)。 注：今后不特別注明，試驗(yàn)均指隨機(jī)試驗(yàn)。,3. 樣本空間: 隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合。常用符號(hào)S或 表示。 基本事件: 試驗(yàn)的每一個(gè)可能直接出現(xiàn)的結(jié)果。 （樣本空間亦可表述為基本事件的全體組成的集合）,4. 隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，一般定義為試驗(yàn)E的樣本空間的子集，簡(jiǎn)稱(chēng)為事件，常用英文大寫(xiě)字母A.B.C表示。,5. 基本事件與隨機(jī)事件的關(guān)系： 基本事件是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件；隨機(jī)事件由基本事件組成。,事件的兩種特殊

4、情況： （1）必然事件：每次試驗(yàn)一定發(fā)生的事件。也用 或S表示。 （2）不可能事件：每次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件，用表示。,例2 寫(xiě)出下列事件的樣本空間： E1：檢驗(yàn)產(chǎn)品是否合格； E2：袋中有編號(hào)為1，2，3，n的球，從中任取一個(gè)球，觀察球的號(hào)碼； E3：將一枚硬幣連拋三次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。,二. 事件的關(guān)系與運(yùn)算 1. 子事件：事件B發(fā)生導(dǎo)致事件A發(fā)生，則稱(chēng)B是A的子事件，記為BA 或 AB 2. 相等事件：若BA 且 AB，則稱(chēng)A與B是相等事件，記為A=B,3. 事件的積（交）： A與B同時(shí)發(fā)生的事件，記為AB 或 AB 4. 事件的和（并）：A發(fā)生或B發(fā)生的事件，記為AB 5. 事件

5、的差：A發(fā)生但B不發(fā)生的事件， 記為A-B,6. 互不相容事件： 若AB= ，則稱(chēng)A與B是互不相容事件，也稱(chēng)A與B互斥。 7. 對(duì)立事件：若AB= 且AB= ，則稱(chēng)A是B的對(duì)立事件，B是A的對(duì)立事件。 記A的對(duì)立事件為,三. 事件的性質(zhì) 1、交換律：ABBA，ABBA 2、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、對(duì)偶(De Morgan)律：,四. 從集合論觀點(diǎn)看事件 樣本空間全集 事件子集 基本事件單元素集 事件的運(yùn)算與集合的運(yùn)算一致 （文氏圖法 P5-6）,例3：一個(gè)工人生產(chǎn)了n個(gè)零件，以Ai表示他生產(chǎn)

6、的第i個(gè)零件是合格品(i=1,2,n)，試用Ai表示下列事件： （1）沒(méi)有一個(gè)零件是不合格品； （2）至少有一個(gè)零件是不合格品； （3）恰有一個(gè)零件是不合格品； （4）至少有兩個(gè)零件是合格品。,第二節(jié) 頻率與概率,拋一枚硬幣，考察幣值面向上的概率是多少？（P8 表二） 用試驗(yàn)來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，首先要定義頻率的概念。,一. 頻率的概念 1. 定義：設(shè)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了nA次，則 稱(chēng)為A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為,二. 頻率的性質(zhì) 1. 隨機(jī)波動(dòng)性 2. 穩(wěn)定性 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，頻率常在一個(gè)確定的數(shù)p(0p1)附近波動(dòng)，這個(gè)規(guī)律稱(chēng)為頻率的穩(wěn)定性。,三. 概率的定義 1. 描述性定義：A發(fā)生

7、的可能性大小的度量稱(chēng)為A發(fā)生的概率，記為P(A) 2. 統(tǒng)計(jì)定義：當(dāng)n較大時(shí)， P(A)=f n(A),3. 概率的公理化定義： 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為 ，事件的函數(shù) 滿(mǎn)足下面三個(gè)條件： （1） 0P(A)1 （2） （3）對(duì)于兩兩互不相容事件，A1，A2， 則稱(chēng) 為概率函數(shù)，稱(chēng)P(A)為A發(fā)生的概率。,四. 概率的性質(zhì) 1. 2. 若A1，A2， An兩兩互不相容，則 特例，若A，B互不相容，則P(AB)=P(A)+P(B),3. 設(shè) 是A的對(duì)立事件，則有若 4. 設(shè)AB，則有P(A) P(B)， P(B-A)= P(B)- P(A) 5. P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 推廣 P(

8、AB C)= P(A)+P(B) +P(C)- P(AB)- P(AC)- P(BC)+P(ABC),例1：某市有甲、乙、丙三種報(bào)紙，訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民總數(shù)的30%，其中有10%的人同時(shí)定甲、乙兩種報(bào)紙，沒(méi)有人同時(shí)訂甲、丙或乙、丙報(bào)紙。求：從該市任選一人，他至少訂有一種報(bào)紙的概率。,例2：在110這10個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求 （1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率； （2）取到的數(shù)既不能被2也不能被3整除的概率； （3）取到的數(shù)能被2 整除而不能被3整除的概率。,第三節(jié) 古典概型,一、定義： 若某試驗(yàn)E滿(mǎn)足 1. 有限性：樣本空間只包含有限個(gè)元素，即 S=e1,e2,en； 2. 等可

9、能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，即P(e1)= P(e2)= P(en) 則稱(chēng)E為古典概型，也叫等可能概型。,二. 古典概型中的概率計(jì)算 N(A): 事件A所含的基本事件數(shù)。 N(S): 樣本空間S中的事件總數(shù)。 則 P(A)= N(A)/ N(S),例1：有三個(gè)子女的家庭，設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等，則至少有一個(gè)男孩的概率是多少？,解：設(shè)A表示至少有一個(gè)是男孩， m表示男孩，n表示女孩 則事件總數(shù) N(S)=mmm,mmn,mnm,mnn,nmm,nnm,nmn,nnn 事件A所包含的基本事件數(shù) N(A)=mmm,mmn,mnm,mnn,nmm,nnm,nmn 故P(A)= N(A)/

10、 N(S)=7/8,例2：袋中有a個(gè)紅球，b個(gè)白球，依次從袋中摸球，每次摸一個(gè)，若采用不放回和有放回兩種方式摸球，分別求第k次摸出紅球的概率。 該例題可說(shuō)明抽簽原理：即抽簽順序與中簽的概率無(wú)關(guān)。,例3：某批產(chǎn)品有a件正品和b件次品，從中用有放回和不放回抽樣方式抽取n件產(chǎn)品，問(wèn)恰有k件次品的概率是多少？,完成一件事，有n類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有 m1種不同的方法，在第2類(lèi)辦法中有m2 種不同的方法，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法,解排列組合問(wèn)題的一般方法,1.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理(加法原理),完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2

11、種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法,2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）,分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件,3.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別,分類(lèi)計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。,例：n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌就座，求其中兩個(gè)人一定坐在一起（即座位相鄰）的概率。,第四節(jié) 條件概率,問(wèn)題：考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率一樣，則兩個(gè)孩子（依大到?。┑男詣e（男，男）、 （男，女）、 （女，男）、 （女，女）的可能性一樣，記A=“家庭中有一男一女孩”，B=“家庭中至少有一女孩”。 求：已知家庭中有一

12、女孩的條件下，另一個(gè)是男孩的概率。,分析：該問(wèn)題等價(jià)于求已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率。記為P(AB) 由于AB 故P(AB)= P(A)=1/2 P(B)=3/4 因總事件為3（除去兩個(gè)男孩的情況），基本事件為2（一男一女）， 所以 P(AB)=2/3， 正好等于P(AB)/ P(B)的值。,一. 條件概率的定義 若P(B)0 ,稱(chēng)P(AB)= P(AB)/ P(B)為已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。 注：條件概率也具備概率的所有性質(zhì)。,例1：m件產(chǎn)品中包含n件廢品，今在其中任取兩件，試求：在已知取出的兩件中有一件是廢品的條件下，計(jì)算另一件也是廢品的條件概率。,方法一(定義)：

13、設(shè)A=“兩件產(chǎn)品中至少有一件廢品” B=“兩件產(chǎn)品均是廢品” BA， P(AB)= P(B)= P(A)= 故P(BA)= P(AB)/ P(A)=,方法二(縮減的樣本空間)： *樣本空間*含有的總事件數(shù)= 故P(BA)=,二. 推論（乘法定理） P(AB) = P(B)P(AB) =P(A) P(BA) 推廣： P(ABC)=P(A) P(BA) P(CAB),例2：盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次，試求第1，2次取得白球，第3，4次取得紅球的概率。,解：設(shè)第Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則本題即求 的值。

14、 故,三. 全概率公式與貝葉斯公式 1. 劃分的定義：設(shè) 為試驗(yàn)E的樣本空間，A1,A2,An為E的一組事件，若它們滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件： (1) (2) 則稱(chēng)A1,A2,An 為樣本空間的一個(gè)劃分。,例3：市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠(chǎng)生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠(chǎng)的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠(chǎng)的次品率分別為2%、1%、3%，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。,解：設(shè)B：買(mǎi)到一件次品 A1：買(mǎi)到一件甲廠(chǎng)的產(chǎn)品 A2：買(mǎi)到一件乙廠(chǎng)的產(chǎn)品 A3：買(mǎi)到一件丙廠(chǎng)的產(chǎn)品 故,2. 全概率公式：設(shè) A1,A2,An 為樣本空間S的一個(gè)劃分。且P(Ai)0，則對(duì)任何事件BS，有,例4：有甲乙兩

15、個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，一個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球。這六個(gè)球的質(zhì)感相同。 （1） 今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)此球是紅球的概率。 （2）若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少。,解：（1）設(shè)B：從乙袋任取一球是紅球 A1：從甲袋放入乙袋的是白球 A2：從甲袋放入乙袋的是紅球 因P(A1)=2/3 P(A2)=1/3 所以A1 , A2是一劃分 則,（2） 由上一問(wèn)中假設(shè)，即求P(A1B)的值,3. 貝葉斯公式：設(shè)事件 A1,A2,An 為樣本空間S的一個(gè)劃分。且P(Ai)0，B為S內(nèi)的任一事件， P(B)0 ，則有,例5：商店論箱出售玻

16、璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，（1）若選中的一箱中有一個(gè)次品，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，問(wèn)這一概率是多少？（2）若任選一箱，檢查了4只都是合格的，便買(mǎi)下了這一箱，問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？,解： （1）設(shè)A：從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0 , B1 , B2：分別表示每箱含0，1，2個(gè)次品 已知 P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1， 則,（2） 由已知， 由貝葉斯公式,第五節(jié) 事件的獨(dú)立性,一、兩個(gè)事件獨(dú)立性的定義： 若A、B滿(mǎn)足P(AB) = P(A) P(B)，則稱(chēng)A

17、與B互相獨(dú)立。 注：必然事件或不可能事件與任何事件獨(dú)立。,定理1 A與B獨(dú)立的充要條件是 P(AB) P(A)或 P(BA)=P(B),定理2 若A與B獨(dú)立，則 與，A與 ， 與 也都相互獨(dú)立。 注：實(shí)際問(wèn)題根據(jù)實(shí)際意義判別獨(dú)立性，互不影響的事件獨(dú)立。,二、n個(gè)事件獨(dú)立性的定義： n個(gè)事件中任意多積事件的概率等于各個(gè)事件概率的積，則稱(chēng)這n個(gè)事件互相獨(dú)立。,如三個(gè)事件的情形： P(AB) = P(A) P(B) P(AC) = P(A) P(C) P(BC) = P(B) P(C) P(ABC) = P(A) P(B) P(C) 則稱(chēng)A，B，C互相獨(dú)立。 注：互相獨(dú)立能推出兩兩獨(dú)立，反之未必成立。,定理3 若A1,A2,An 互相獨(dú)立，則A1,A2,An 中的任意多個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件，則所得的n個(gè)事件仍然獨(dú)立。,定理4 若A1,A2,An 互相獨(dú)立。則,例1：在如圖所示的開(kāi)關(guān)電路中