各種圓定理總結(jié)(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓)

1、托勒密定理一些圓定理.doc定理圖定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。 從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì) 定理的提出一般幾何教科書(shū)中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書(shū)中摘出。證明一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意四邊形ABCD中，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD 因?yàn)锳BEACD

2、所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 而B(niǎo)AC=DAE，ACB=ADE 所以ABCAED相似. BC/ED=AC/AD即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因?yàn)锽E+EDBD （僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 復(fù)數(shù)證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長(zhǎng)度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c)

3、= (a c)(b d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。 等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 四點(diǎn)不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上，圓周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一點(diǎn)K，使得ABK = CBD； 因?yàn)锳BK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK與DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBD = AB

4、CD，且CKBD = BCDA； 兩式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABCD + BCDA。證畢。 三、 托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：ACBDABCDADBC 證明：如圖1，過(guò)C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。得 AC(BPD

5、P)=ABCDADBC即ACBD=ABCDADBC 推論1.任意凸四邊形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、 推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。 簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 注意： 1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-

6、d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 2.四點(diǎn)不限于同一平面。 歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則ADBC+ABCD=ACBD塞瓦定理簡(jiǎn)介 塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的直線論一書(shū)，也有書(shū)中說(shuō)塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。 具體內(nèi)容塞瓦定理 在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O， 直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡(jiǎn)介 （）本題可利用梅涅勞斯定理證明： ADC被直線BOE所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=

7、1 而由ABD被直線COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面積關(guān)系證明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*

8、ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。 可用塞瓦定理證明的其他定理; 三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因?yàn)锳F=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點(diǎn) 此外，可用定比分點(diǎn)來(lái)定義塞瓦定理： 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是=1。（注意

9、與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是=-1） 塞瓦定理推論1.設(shè)E是ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (sinBAD/sinDA

10、C)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 3.如圖，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長(zhǎng)與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。 4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn) 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB

11、)=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：設(shè)X、Y、Z分別在ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一：過(guò)點(diǎn)A作AGBC交DF的延長(zhǎng)線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(C

12、E/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 證明二：過(guò)點(diǎn)C作CPDF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在ABC的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。 梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三：過(guò)ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AABBCC， 所以AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FB)(BD/DC

13、)(CE/EA)=1 證明四：連接BF。 （AD：DB）（BE：EC）（CF:FA) =（SADF：SBDF）（SBEF：SCEF）（SBCF：SBAF） =（SADF：SBDF）（SBDF：SCDF）（SCDF：SADF） =1 此外，用定比分點(diǎn)定義該定理可使其容易理解和記憶： 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是=1。 第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBA/sinABE)=1 即圖中

14、的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合) 記憶ABC為三個(gè)頂點(diǎn)，DEF為三個(gè)分點(diǎn) (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 （頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1 空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 實(shí)際應(yīng)用為了說(shuō)明問(wèn)題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們

15、乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過(guò)”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。 例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。 另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過(guò)之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說(shuō)明： 方案 從A經(jīng)過(guò)B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過(guò)B（不停留）到C（停留），

16、再到E（停留），最后從E經(jīng)過(guò)C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。 按照這個(gè)方案，可以寫(xiě)出關(guān)系式： （AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫(xiě)“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有： 方案 可以簡(jiǎn)記為：ABFDECA，由此可寫(xiě)出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 方案 ACEDFBA，由此可寫(xiě)出公式： （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案： 方案 AECDBFA，由此寫(xiě)出公式： （AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 我們的直升機(jī)還可

17、以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。 不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。 還可以從逆時(shí)針來(lái)看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1. 現(xiàn)在是否可以說(shuō)，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫(xiě)錯(cuò)或是記不住吧。西姆松定理 西姆松定理圖示西

18、姆松定理是一個(gè)幾何定理。表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 西姆松定理說(shuō)明相關(guān)的結(jié)果有： （1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 （2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。 （3）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無(wú)關(guān)。 （4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 證明證明一： ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PEA

19、C于E，PFAB于F，PDBC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是FDP=ACP ，（都是ABP的補(bǔ)角） 且PDE=PCE 而ACP+PCE=180 FDP+PDE=180 即F、D、E共線. 反之，當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由可見(jiàn)A、B、P、C共圓. 證明二： 如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有 PBN = PLN = PLM = PCM. 故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。 若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則PBN = PCM。因PL垂直于BC，

20、PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有 PBN =PLN =PCM=PLM. 故L、M、N三點(diǎn)共線。 相關(guān)性質(zhì)的證明連AH延長(zhǎng)線交圓于G, 連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關(guān)線段 AHBC,PFBC=AG/PF=1=2 A.G.C.P共圓=2=3 PEAC,PFBC=P.E.F.C共圓=3=4 =1=4 PFBC =PR=RQ BHAC,AHBC=5=6 A.B.G.C共圓=6=7 =5=7 AGBC=BC垂直平分GH =8=2=4 8+9=90,10+4=90=9=10 =HQ/DF =PM=MH 第二個(gè)問(wèn)，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)O,G,

21、H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點(diǎn)。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個(gè)圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2 所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點(diǎn)圓)的反位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的兩邊),H 是正位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的同一邊). 所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上. 圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切

22、割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。 1. 問(wèn)題1 2. 問(wèn)題2 3. 問(wèn)題3 4. 問(wèn)題4 定義圓冪=PO2-R2| 所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD。 進(jìn)一步升華（推論）

23、過(guò)任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過(guò)圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PAPB=PCPD。若圓半徑為r，則PCPD=(PO-r)(PO+r)=PO2-r2=|PO2-r2| （要加絕對(duì)值，原因見(jiàn)下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實(shí)上所有的過(guò)P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為r2-PO2=|PO2-r2| 故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過(guò)這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PAPB等于圓冪的絕對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來(lái)） 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定

24、理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問(wèn)題1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的乘積相等。 證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。 PACPDB，PA:PD=PC:PB，PAPB=PCPD 問(wèn)題2割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PAPB=PCPD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PA2=PCPD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以P

25、A/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 幾何語(yǔ)言：PT切O于點(diǎn)T，PBA是O的割線 PT2=PAPB（切割線定理） 推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 幾何語(yǔ)言：PBA、PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論） 問(wèn)題3過(guò)點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PAPB為定值（圓冪定理）。 證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為 (x-xO)2+(y-yO)2=a 過(guò)P的直線為 x=k1t y=k2t 則A、B的橫坐標(biāo)是方程 (k1t-xO)2+(k2t

26、-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0 的兩個(gè)根t1、t2。由韋達(dá)定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫(xiě)成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中a為圓的半徑的平方。所說(shuō)的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向

27、圓所引切線（長(zhǎng)）的平方。 這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。 在上面證明的過(guò)程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。 如果給定點(diǎn)O，未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓的冪（即OP2-r2），我們可以設(shè)直線AB的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn)與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理 是定值 是 關(guān)于的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是 ）它也可以寫(xiě)成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；P在圓上時(shí)，冪為0；P在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自P向圓所引切線長(zhǎng)的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用 問(wèn)題4自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn)，又作切線

28、、 ， 、 為切點(diǎn)， 與 相交于 ，如圖求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn) 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理 另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 代入得 因此，這個(gè)方程的根 滿足 綜合，結(jié)論成立。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 說(shuō)明：?jiǎn)栴}4的解決借用了問(wèn)題3的方法，同時(shí)我們也看到了問(wèn)題4與問(wèn)題1、問(wèn)題2的內(nèi)在聯(lián)系。圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。 1. 問(wèn)題1 2. 問(wèn)題2 3

29、. 問(wèn)題3 4. 問(wèn)題4 定義圓冪=PO2-R2| 所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD。 進(jìn)一步升華（推論）過(guò)任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過(guò)圓心的直線L2，L1與圓交于A

30、、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PAPB=PCPD。若圓半徑為r，則PCPD=(PO-r)(PO+r)=PO2-r2=|PO2-r2| （要加絕對(duì)值，原因見(jiàn)下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實(shí)上所有的過(guò)P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為r2-PO2=|PO2-r2| 故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過(guò)這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PAPB等于圓冪的絕對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來(lái)） 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問(wèn)題1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的

31、兩條線段長(zhǎng)的乘積相等。 證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。 PACPDB，PA:PD=PC:PB，PAPB=PCPD 問(wèn)題2割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PAPB=PCPD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PA2=PCPD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引

32、圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 幾何語(yǔ)言：PT切O于點(diǎn)T，PBA是O的割線 PT2=PAPB（切割線定理） 推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 幾何語(yǔ)言：PBA、PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論） 問(wèn)題3過(guò)點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PAPB為定值（圓冪定理）。 證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為 (x-xO)2+(y-yO)2=a 過(guò)P的直線為 x=k1t y=k2t 則A、B的橫坐標(biāo)是方程 (k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+

33、xO2+yO2-r2=0 的兩個(gè)根t1、t2。由韋達(dá)定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫(xiě)成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中a為圓的半徑的平方。所說(shuō)的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向圓所引切線（長(zhǎng)）的平方。 這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。 在上面證明的過(guò)程中，

34、我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。 如果給定點(diǎn)O，未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓的冪（即OP2-r2），我們可以設(shè)直線AB的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn)與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理 是定值 是 關(guān)于的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是 ）它也可以寫(xiě)成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；P在圓上時(shí)，冪為0；P在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自P向圓所引切線長(zhǎng)的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用 問(wèn)題4自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn)，又作切線 、 ， 、 為切點(diǎn)， 與 相交于 ，如圖求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：

35、設(shè)圓的方程為 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn) 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理 另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 代入得 因此，這個(gè)方程的根 滿足 綜合，結(jié)論成立。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 說(shuō)明：?jiǎn)栴}4的解決借用了問(wèn)題3的方法，同時(shí)我們也看到了問(wèn)題4與問(wèn)題1、問(wèn)題2的內(nèi)在聯(lián)系。四點(diǎn)共圓 四點(diǎn)共圓-圖釋如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)： （1）同弧所對(duì)的圓周角相等 （2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) （3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。 四點(diǎn)共圓證明四點(diǎn)共圓的基本方法證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法： 方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓 方法2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓 （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。） 方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角