小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文 例談數(shù)學(xué)解題思路的生成

1、例談數(shù)學(xué)解題思路的生成解題的方法，不能全靠記、全靠蒙。方法的生成是有源頭的，發(fā)現(xiàn)解題方法的思路是有規(guī)律可循的，講評數(shù)學(xué)難題，關(guān)鍵之一是講清解題思路及其生成途徑。1 例把一個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)三角形，可以怎樣分？你能想到幾種分法（人教版數(shù)學(xué)五年級上冊多邊形的面積）【分析】把一個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)三角形，所得的每個(gè)小三角形的面積是大三角形面積的1/4.2 發(fā)現(xiàn)方法的途徑2.1 從知識到方法思路1 三角形面積的代數(shù)公式為sah2，把一個(gè)三角形分成面積相等的四個(gè)三角形，其實(shí)就是要對三角形的底邊a或（和）高h(yuǎn)進(jìn)行切分，高h(yuǎn)是頂點(diǎn)到對應(yīng)底邊的距離，為一定值，從“高”的概念首先容易想到對某一底邊

2、四等分（圖1）。解題思路首先是題中情境或條件或求解、求證目標(biāo)，初步激活思維實(shí)現(xiàn)知識鏈接而形成，進(jìn)而從包括概念、公式和定理在內(nèi)的知識出發(fā)去發(fā)現(xiàn)方法。解題思路的生成依賴于知識鏈接，知識鏈接是形成思路并發(fā)現(xiàn)方法的主要途徑。2.2 從數(shù)的角度切入生成方法思路2 形的問題即基礎(chǔ)的幾何問題的求解、求證，需要從數(shù)量關(guān)系的角度比較、判斷、分析，需要進(jìn)行量的替換。形的情境或問題需要從數(shù)的角度切入、推理并解決。本例拆分底邊a或（和）高h(yuǎn)的基本思路就是依據(jù)知識，從數(shù)的角度切入而生成的。另外，從數(shù)的角度稍做變換，可把本例的切分對象看做整體1，將一個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)三角形，就是把1拆分為兩個(gè)1/2，再把每個(gè)1/

3、2再均分，生成分步拆分底邊的方法。將大三角形先拆分為兩個(gè)面積相等的較小的三角形，即dcb和acd，再將這兩個(gè)較小的三角形，在不同的底邊上進(jìn)行平分（圖2），即對大三角形做兩次均等分割，有多種具體分法?；蛘?，先把1看做1/43/4，再把3/4看做1，把后面這個(gè)1看做1/32/3從數(shù)的角度切入形的情境，把數(shù)與形相結(jié)合、相印證是一種重要的數(shù)學(xué)解題思路與方法，在精講例（習(xí)）題時(shí)應(yīng)該給予關(guān)注。習(xí)題講評，不僅要起到對知識、方法加強(qiáng)記憶與理解的作用，更主要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。訓(xùn)練學(xué)生的思維，捕捉思維的目標(biāo)指向是關(guān)鍵之一，在解析或講評例、習(xí)題時(shí)，把數(shù)和形結(jié)合起來，從數(shù)的角度切入、推理，打開解決關(guān)于形的問題的

4、思路，或用形的方式表述、印證數(shù)量關(guān)系，可拓寬思維的視角，是發(fā)現(xiàn)思維目標(biāo)指向的有效途徑，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力很有效。從數(shù)的角度切入形的情境并解決問題，能夠拓展思維的深度。不過，小學(xué)生的抽象思維能力有限，講解數(shù)量關(guān)系及其變換，往往需要對照圖形呈現(xiàn)、分析。2.3 變換角度生成方法思路3 圖1所示的方法，從概念推知也好，憑直覺蒙也好，學(xué)生容易想到。從圖1的圖形來看，這一方法可看做用d點(diǎn)平分ab，再用g與k點(diǎn)分別平分bd與ad。換個(gè)角度也可看做先用g點(diǎn)分割出gcb和acg，再用d與k點(diǎn)對acg進(jìn)行三等分分割。即生成新的分切方法：按13切分某一底邊產(chǎn)生一小一大兩個(gè)三角形gcb和acg，再將較大的acg切分

5、為3個(gè)面積相等的小三角形，可以直接將某個(gè)底邊三等分或分步切分，也生成許多具體分法。變換角度是形成新的思路的有效途徑，能夠生成相關(guān)聯(lián)的新方法，能夠拓展思維的視野。2.4 從方法到方法思路4 關(guān)注圖2中d、f分別是ab、bc的中點(diǎn)和dbf的面積是abc的面積的1/4，在小學(xué)生沒有三角形的中位線定理作支撐的情況下，可生成取各個(gè)底邊的中點(diǎn)相互連接的切分方法（圖3），還可以生成關(guān)于三角形中位線的探究問題。一種解題方法可以生成另一條思路、另一種方法，當(dāng)一題有多解時(shí)，先讓學(xué)生試解，再組織討論或評析學(xué)生的普通解法，引導(dǎo)未發(fā)現(xiàn)其他方法的同學(xué)借鑒思路或關(guān)注普通方法所得解答中的特點(diǎn)，去發(fā)現(xiàn)“新”的方法，例如由本例的

6、思路1生成思路2與思路3、思路2生成思路4，可以引導(dǎo)學(xué)生在合作與分享中生成新思路發(fā)現(xiàn)新方法。2.5 置疑與探究中生成方法思路5 方法1、2、3是對底邊進(jìn)行分割，能對高h(yuǎn)進(jìn)行分割嗎？如果拆分高h(yuǎn)，底邊的位置和長度就會發(fā)生變化。雖然單獨(dú)拆分高h(yuǎn)行不通，但可以啟示同時(shí)拆分底邊a和高h(yuǎn)。這一思路與思路4相關(guān)聯(lián)且殊途同歸，得到同樣的分切圖形。大三角形的面積為ah2，把底邊a和高h(yuǎn)分別平分得到的小三角形的面積為：a/2 h/2 2 ah/4 2正好是大三角形面積的1/4。先作平行于ab的de線段垂直平分高h(yuǎn)，得到ade，再平分底邊bc得到點(diǎn)f，連接d和f、e和f，可得另外三個(gè)小三角形（圖3）。圖3中的db

7、f、efc的面積為abc面積的1/4，分別為dcb、ebc面積的一半；所以，dcb、ebc面積為abc面積的一半，dcb、acd面積相等，以c為頂點(diǎn)，dcb和acd的底邊ad與db相等，d為ab的中點(diǎn)，同理e為ac的中點(diǎn)。ade、dfe的面積之和為abc面積的一半，ade和dfe同底等高，與dbf、efc面積相等且等高，故這四個(gè)面積相等的等高三角形的底邊等長，即de等于bf與fc，等于ab的一半。直接走到同時(shí)拆分底邊a和高h(yuǎn)的思路上來是困難的，因?yàn)樾W(xué)生沒有三角形的中位線定理做支撐，在引導(dǎo)學(xué)生做單獨(dú)切分高h(yuǎn)的可行性分析時(shí)，不少學(xué)生難以做出（正確）判斷。雖然有的難點(diǎn)在某些教學(xué)環(huán)境中可以淡化或放棄，但突破難點(diǎn)的方法不過是一個(gè)“巧”字，巧生于“拙”，由拙生巧突破難點(diǎn)是重要的技巧。由知識鏈接形成思路發(fā)現(xiàn)方法并完成求解、求證，平淡無“巧”似于“拙”，笨拙的思路與方法有時(shí)不能快速或完全解決問題，但對多數(shù)學(xué)生管用，還可生成新的思路與方法。例如，不經(jīng)過明顯的知識鏈接過程，大多數(shù)學(xué)生能夠想到或“蒙”到直接將一條底邊4等分的方法，此法雖然普通，卻能通過變換角度產(chǎn)生分步切分底邊的思路而發(fā)現(xiàn)新方法，能產(chǎn)生值得關(guān)注的d、f點(diǎn)和dbf生成思路4.有些習(xí)題，可以展示參考答案給學(xué)生自己去核對、去領(lǐng)悟，有些習(xí)題則可精心講評。依據(jù)新課程理念，設(shè)