高考數(shù)學(xué)專題5_1 平面向量的概念及線性運算、平面向量的基本定理試題 理(含解析)

1、專題5.1 平面向量的概念及線性運算、平面向量的基本定理【三年高考】1. 【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)，是向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由，故是既不充分也不必要條件，故選D.2【2016高考天津理數(shù)】已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】設(shè)，故選B.3【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.【答案】【解析】由,得,所以,解得.4【2016高考

2、江蘇卷】如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，則的值是 . 【答案】5【2015高考新課標(biāo)1，理7】設(shè)為所在平面內(nèi)一點，則（ ）（A） (B) （C） (D) 【答案】A【解析】由題知=，故選A.6.【2015高考北京，理13】在中，點，滿足，若，則；【答案】7.【2015高考新課標(biāo)2，理13】設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)_ 【答案】【解析】因為向量與平行，所以，則所以8.【2015江蘇高考，6】已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 則的值為_.【答案】【解析】由題意得：9.【2015高考浙江，理15】已知是空間單位向量，若空間向量滿足，且對于任意，則 ， ， 【答案】，.【解

3、析】問題等價于當(dāng)且僅當(dāng)，時取到最小值1，兩邊平方即在，時，取到最小值1，.10.【2014福建,理8】在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（ ）A. B . C. D. 【答案】B【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共線的向量都可與作為基底.只有成立.11. 【2014陜西，理13】設(shè)，向量，若，則_.【答案】12.【2014陜西，理18】在直角坐標(biāo)系中，已知點，點在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上（1）若，求；（2）設(shè)，用表示，并求的最大值.【解析】（1）因為，所以，即得，最后求得；（2）因為，所以，即，兩式相減得：令，點在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，當(dāng)直線過點時，取得最大值1，故的最大值為1

4、.【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題, 對平面向量概念及線性運算、平面向量基本定理的考查重點為平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要條件、平面向量加減法及其幾何意義、實數(shù)與向量積的運算概念及運算性質(zhì)、平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)運算，特別是平面向量平行的充要條件、運用平面向量的加減法、實數(shù)與向量數(shù)量積及平面向量基本定理將未知向量用已知向量表示出來是考查的重點中的重點，題型既有選擇題、填空題，有時也涉及解答題，往往和解析幾何結(jié)合出題，函數(shù)等結(jié)合出題，與三角結(jié)合出大題在新課標(biāo)卷中還沒涉及，向量作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時經(jīng)常用到整個命題過程緊扣課本，重

5、點突出，有時考查單一知識點；有時通過知識的交匯與鏈接，全面考查向量的運算律等內(nèi)容【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】由前三年的高考命題形式可以看出 ,高考對平面向量概念及線性運算、平面向量基本定理的考查重點仍為平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要條件、平面向量加減法及其幾何意義、實數(shù)與向量積的運算概念及運算性質(zhì)、平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)運算，特別是平面向量平行的充要條件、運用平面向量的加減法、實數(shù)與向量數(shù)量積及平面向量基本定理將未知向量用已知向量表示出來是考查的重點中的重點，向量作為工具與其他知識交會處命題會增加，應(yīng)予以關(guān)注，單獨考查形式為選擇題或填空題，分值為5分，難度

6、為多為容易題或中檔題.故2017高考復(fù)習(xí)，要熟記平面向量的有關(guān)概念，熟練掌握平面向量共線的充要條件的兩種形式，并會應(yīng)用之解決三點共線問題，掌握平面向量加法與減法的三角形法則與平行四邊形法則，會結(jié)合圖形運用通過構(gòu)造三角形、平行四邊形、多邊形運用平面向量實數(shù)與向量積、平面向量基本定理用待定系數(shù)法將未知向量用已知向量表示出來.從2016年高考試題來看，特別是新課標(biāo)1卷考查向量的線性運算幾乎沒涉及，故預(yù)測2017年高考可能以向量的坐標(biāo)運算、向量共線的坐標(biāo)表示，向量的平行為主要考點，出一道小題.【2017年高考考點定位】高考對向量的概念及線性運算、平面向量基本定理的考查主要有三種形式：一是直接考查平面向

7、量的概念與線性運算，二是考查平面向量共線的充要條件，三是考查平面向量基本定理，題型為選擇題，難度容易題或中檔題，有時與線性規(guī)劃、平面解析幾何知識結(jié)合，以向量形式給出題中的條件或利用向量共線的充要條件處理涉及的共線問題.【考點1】向量的概念【備考知識梳理】1.向量：既有大小又有方向的量，兩個向量不能比較大小.2.零向量：模為0的向量，記作，其方向為任意的，所以與任意向量平行，其性質(zhì)有：=0，+=.3.單位向量：模為1個長度單位的向量，與方向相同的單位向量為.4.相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作=.5.相反向量：長度相等且方向相反的兩個向量，的相反向量為-，有-(- )= .【規(guī)律方法技巧

8、】1.判定兩向量的關(guān)系式時，特別注意以下兩種情況：（1）零向量的方向及與其他向量的關(guān)系.(2)單位向量的長度與方向.2.對任意向量可以自由移動，且任意一組平行向量都可平移到一條直線上.3.向量不能比較大小，但它的模可以比較大小.【考點針對訓(xùn)練】1.設(shè)向量，, 若方向相反, 則實數(shù)的值是（ ）A B C D【答案】D【解析】由題意得：，解得：，當(dāng)時，此時，方向相同，不符合題意，舍去；當(dāng)時，此時，方向相反，符合題意所以實數(shù)的值是，故選D2.已知向量，若，則實數(shù)的值為（ ）A B C D【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以，解得：，故選D【考點2】向量的線性運算【備考知識梳理】1.向量加法:平行

9、四邊形法則：平移，使其由公共的起點，以、為領(lǐng)邊做平行四邊形，則以共同起點為起點的對角線對應(yīng)的向量就是與的和向量.三角形法則：要注意“首尾相連”兩個向量的和向量仍為向量當(dāng)兩個向量共線時，三角形法則適合，平行四邊形法則不適合.2向量減法應(yīng)注意：向量減法實質(zhì)是加法的逆運算，其差仍是向量；用三角形法則作向量減法時，牢記“起點相同，連結(jié)兩個向量的終點，箭頭指向被減向量終點”.3.向量數(shù)乘運算實數(shù)與的積仍是向量，|=，當(dāng)0時，與方向相同，當(dāng)0時，與方向相反，當(dāng)=0時，=.向量數(shù)乘的特殊情況：=充要條件是=或=0.實數(shù)與向量可以求積，但可以求和、差.熟練掌握向量的線性運算的運算律是正確化簡向量式的關(guān)鍵，要正

10、確區(qū)分向量數(shù)量積與實數(shù)向量積的運算律.4.平面向量基本定理平面向量基本定理：若、是平面內(nèi)不共線的向量，向量是平面內(nèi)任意一個向量，則存在唯一實數(shù)對，使.平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定義向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，是將平面內(nèi)任意向量用不共線的平面向量即基底表示出來的基礎(chǔ).5.平面向量的基本運算若=（，），=（，），則=（，），=（，），若A（，），B（，），則=（-，-）.【規(guī)律方法技巧】1在進行向量的線性運算要能的轉(zhuǎn)化到三角形法、多邊形或平行四邊形中，運用三角形法則構(gòu)成“首尾相連”回路，或平行四邊形法則，利用三角形中的中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何知識，結(jié)合實數(shù)與向量的積，逐步將未知向

11、量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的斜率求解.2當(dāng)是線段AB的中點時，則=是中點公式的向量形式，應(yīng)當(dāng)做公式記憶.3當(dāng)已知向量的坐標(biāo)或易建立坐標(biāo)系時，常用向量的坐標(biāo)運算解向量的線性運算問題.【考點針對訓(xùn)練】1. 【2016屆河南省禹州市名校高三三?！咳鐖D所示，已知，點在線段上，且，設(shè)，則等于（ ）A B C D【答案】B【解析】依題意可知,且,故,.2. 【2016屆天津市和平區(qū)高三三?！吭谄叫兴倪呅沃? 為的中點，為的中點，若 ,則的值為 【答案】【考點3】平面向量共線問題【備考知識梳理】1. 共線向量的概念:若兩個非零向量、的方向相同或相反，則稱與共線，也叫與平行，規(guī)定零向量與任意向量共線.兩個向

12、量共線其所在的直線可能重合也可能平行.向量共線的充要條件:共線向量定理：（）存在唯一實數(shù)，使得=.若=（，），=（，），則-=0.【規(guī)律方法技巧】1.向量共線的充要條件中，要注意當(dāng)兩個向量共線時，通常只有非零向量才可以表示與之共線的其它向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的應(yīng)用.2.對三點共線問題，可以用向量共線來解決，但要注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩個向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.3.若A、B、C三點共線且，則=1.【考點針對訓(xùn)練】1. 【2016屆淮南市高三第二?！吭谥校c在線段的延長線上，且，點在線段上（與點不重合），若，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解

13、析】由題意得，在線段上且不與端點重合，所以存在，使，又，所以,所以，又，所以，所以，故選C2. 【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研】已知點，線段的中點的坐標(biāo)為若向量與向量共線，則 _【答案】【解析】由題設(shè)條件，得，所以因為向量與向量共線，所以，所以【應(yīng)試技巧點撥】1.向量與平行四邊形相關(guān)的結(jié)論向量的加法的幾何意義是通過平行四邊形法則得到，其應(yīng)用非常廣泛.在平行四邊形中，設(shè)，則有以下的結(jié)論：通過這個公式可以把共同起點的兩個向量進行合并；若,可判斷四邊形為平行四邊形；若對角線相等或鄰邊垂直，則平行四邊形為矩形；對角線垂直.則平行四邊形為菱形；說明平行四邊形的四邊的平方和等于對角線的平方和；

14、，特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實數(shù)比較類似).2. 向量平行的重要應(yīng)用向量平行的重要應(yīng)用,是高考的熱點.命題方向有兩點：一是利用已知條件去判斷平行；二是利用平行的條件去確定參數(shù)的值.需牢固掌握判斷的充要條件.向量平行(共線)的充要條件：0;3.向量運算問題的兩大處理思路向量運算包括幾何運算和坐標(biāo)運算.利用幾何運算就是充分利用加法和減法的幾何含義，以及一些具有幾何含義的式子，進行化簡、轉(zhuǎn)化向量的計算.利用坐標(biāo)運算，實際上就是轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，即向量問題坐標(biāo)化.樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系時，要正確運用共線向

15、量和平面向量的基本定理，去計算向量的模、兩點的距離等.由于向量作為工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何等結(jié)合起來進行綜合考查，是知識的交匯點.4.如何判斷三角形形狀給出三角形邊相關(guān)的向量關(guān)系式，判斷三角形的形狀是一個熱點題型.此類題的關(guān)鍵是對給定的關(guān)系式恰當(dāng)?shù)娜セ?，變形，整?最終能夠說明三角形的形狀.常用的技巧有：（1）利用向量加減法的運算可以合并或分解.（2）利用拆、添、減項等技巧,對式子進行變形化簡.（3）利用一些常見的結(jié)論進行判斷. 二年模擬1. 【2016年廈門一中第三次聯(lián)考】已知為同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，且，若，向量，則（ ）A或 B或 C D【答案】D【解析】由

16、，得，則，解得或，又當(dāng)時，共線，則，所以. 2. 【2017屆廣州省惠州市高三第一次調(diào)研】若向量和向量平行，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】依題意得，得x3，又,所以，故選C.3. 【2016屆陜西洛南永豐中學(xué)高三考前最后一卷】如圖所示，已知，點在線段上，且，設(shè)，則等于（ ）A B C D【答案】B4. 【2016屆吉林省白城一中高三4月月考】已知向量，若與共線，則（ ）A B C- D【答案】C【解析】，所以與不共線，那么當(dāng)與共線時，即得，故選C.5. 【2016屆廣東省華南師大附中高三5月】圖中的小網(wǎng)格由大小相等的小正方形拼成，則向量（ ）A B C D【答案】B【

17、解析】由題意可知：,故選B6. 【2016屆廣東省華南師大附中高三5月】如圖，在中，設(shè)，的中點為，的中點為，的中點為，若，則，對應(yīng)的值為（ ）A， B， C， D，【答案】A 7. 【2016屆福建省廈門市高三5月】在中，記，則（ ）A B C D【答案】A【解析】因,故應(yīng)選A.8. 【2016屆黑龍江大慶實驗中學(xué)高三考前訓(xùn)練一】設(shè)是圓上不同的三個點，且，若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的關(guān)系為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，兩邊平方得：，,故選A9【2016屆山東省濱州市高三第二次模擬】在中，為邊上的任意一點，點在線段上，且滿足，若，則的值為（ ）A B C D【答案】A【解

18、析】因為，又因為，所以，由于三點共線，所以，從而的值為，故選A.10. 【2016屆湖南省師大附中等高三四校聯(lián)考】在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點若，則（ ）A B C D【答案】C 11. 【2015屆遼寧省朝陽市三校協(xié)作體高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考】已知點為的重心，過點作直線與，兩邊分別交于兩點，且 ，則 【答案】【解析】根據(jù)題意畫出圖像，因為為的重心,所以,因為:三點共線,所以,所以,所以答案為: 12.【2015屆福建省龍巖市一中高三下學(xué)期考前模擬】已知是所在平面內(nèi)一點，為邊中點，且，則有（ ）A B C D【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，即，所以有，故選B13.【20

19、15屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第五次模擬考試】如圖所示，已知點是的重心，過點作直線與兩邊分別交于兩點，且,則的最小值為（ ）A2 B C D【答案】C14.【2015屆山東省日照市高三校際聯(lián)合檢測（二模）】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與圓交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，若圓上一點C滿足，則r=_.【答案】15.【2015屆四川省成都市第七中學(xué)高考熱身考試】在平面上，若，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】D【解析】根據(jù)條件知構(gòu)成一個矩形，以所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，由，得 ，則， ，同理，由知， ，故選D拓展試題以及解析1.已知，則( )A B C D【答案】B【解析】由已知得 ，故選B.【入選理由】本題考查向量的模、向量加減法運算，以及向量的坐標(biāo)運算等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和運算求解能力本題利用點的坐標(biāo)，合