光束在均勻介質(zhì)和類透鏡中的傳播.ppt

1、2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,2.2.1類透鏡介質(zhì)中的波動(dòng)方程 在各向同性、無(wú)電荷分布的介質(zhì)中，Maxwell方程組的微分形式為：,對(duì)2式求旋度：,且由3式：,在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即,綜合上三式可以得到,假設(shè)折射率n的空間變化很小，即n(r)滿足慢變近似，此時(shí)可以將電磁場(chǎng)表示為：,代入(4)式,波動(dòng)方程 也稱亥姆 霍茲方程,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,當(dāng)考慮到介質(zhì)中存在增益和損耗的情況時(shí)，上式最后一項(xiàng)可以表示為：,當(dāng) 代表吸收介質(zhì)， 代表增益介質(zhì),上式表示復(fù)數(shù)波數(shù)。若我們考慮波數(shù)表示形式為,其中k0、k2都可以是復(fù)數(shù)，這個(gè)表達(dá)式可以理解為波數(shù)

2、與位置r和介質(zhì)的特性k2都有關(guān)系。由波數(shù)的定義： 可以得到n(r)的表達(dá)式：,該表達(dá)式就是類透鏡介質(zhì)的折射率表達(dá)式，證明我們考慮的k(r)表達(dá)式代表的正是在類透鏡介質(zhì)中的情況。,級(jí)數(shù)展開(kāi),2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,下面我們研究類透鏡介質(zhì)中波動(dòng)方程的解，考慮在介質(zhì)中傳播的是一種近似平面波，即能量集中在光軸附近，沿光軸方向傳播?？梢约僭O(shè)光場(chǎng)的橫向分布只與 有關(guān)，因此波動(dòng)方程中的算符 可以表示為： 我們假設(shè) ，其中a為集中大部分能量的橫截面半徑，這一假設(shè)說(shuō)明衍射效應(yīng)很弱，因此可以將推導(dǎo)局限于單一的橫向場(chǎng)分量，其單色平面波的表達(dá)式為： 其中e-ikz表示波數(shù)為k的嚴(yán)格平面波，為了研究修

3、正平面波，我們引入了修正因子 ，它包含了相位和振幅修正兩部分。 該修正因子滿足慢變近似： 將這些相關(guān)假設(shè)帶入波動(dòng)方程可以得到： 令修正因子取以下形式：,為什么取這種形式？這是對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行長(zhǎng)期研究得到的解，既滿足方程，又有明確的、能夠被實(shí)驗(yàn)證實(shí)的物理意義。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,通過(guò)將修正因子帶入被假設(shè)修正過(guò)的波動(dòng)方程，可以得到： 該方程對(duì)不同r都成立，因此r的各次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該為零，整理得到： 該式稱為類透鏡介質(zhì)中的簡(jiǎn)化波動(dòng)方程。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,2.2.2均勻介質(zhì)中的高斯光束 均勻介質(zhì)可以認(rèn)為是類透鏡介質(zhì)的一種特例，即k2=0時(shí)的類透 鏡介質(zhì)，此時(shí)

4、簡(jiǎn)化波動(dòng)方程為： 引入一中間函數(shù)S，使 代入上式得到 得出 該微分方程的解為 ，a、b為復(fù)常數(shù) 則 由p與q的關(guān)系得到 C1不影響振幅和相位的分布，因此可以設(shè)C1=0。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,將上述結(jié)果代入到 的表達(dá)式中有： 滿足該表達(dá)式的q0有很多形式，但對(duì)其研究發(fā)現(xiàn)純虛數(shù)形式的q0可以得到有物理意義的波，因此假設(shè)q0具有如下表達(dá)形式： 將q0的表達(dá)式帶入（1）式中，其指數(shù)的兩項(xiàng)可以分別表示為：,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,人為定義以下參數(shù)：,將上述參數(shù)帶入到光場(chǎng)的表達(dá)式，整理可以得到光場(chǎng)的表達(dá)式：,該式所表示的是均勻介質(zhì)中波動(dòng)方程的一個(gè)解，稱為基本高斯光束

5、解，其橫向依賴關(guān)系只包含r，而與方位角無(wú)關(guān)。那些與方位角相關(guān)的分布是高階高斯光束解。 上面最后一個(gè)表達(dá)式中的兩項(xiàng)，前一項(xiàng)是振幅項(xiàng)，后一項(xiàng)是相位項(xiàng)。 為什么是這個(gè)解？還有其他解嗎？,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,高斯分布： 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中更多的被稱為正態(tài)分布，它指的是服從以下概率密度函數(shù)的分布：,Johann Carl Friedrich Gauss (17771855),2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,高斯光束基本特性 振幅分布特性 由高斯光束的表達(dá)式可以得到： 在z截面上，其振幅按照高斯函數(shù)規(guī)律變化，如圖所示。 將在光束截面內(nèi)，振幅下降到最大值的1/e時(shí)，離光軸的距離定義為

6、該 處的光斑半徑。,由 的定義可以得到： 即光束半徑隨傳輸距離的變化規(guī)律為雙曲線，在z=0時(shí)有最小值 ，這個(gè)位置被稱為高斯光束的束腰位置。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,等相位面特性 從高斯光束解的相位部分可以得到傳輸過(guò)程中的總相移為： 將上式同標(biāo)準(zhǔn)球面波的總相移表達(dá)式比較： 可以得出結(jié)論，在近軸條件下高斯光束的等相位面是以R(z)為半徑的球面，球面的球心位置隨著光束的傳播不斷變化，由R(z)的表達(dá)式可知： z=0時(shí)， ,此時(shí)的等相位面是平面； 時(shí)， ， 此時(shí)等相位面也是平面； 時(shí)， ， 此時(shí)的等相位面半徑最?。?2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,瑞利長(zhǎng)度 當(dāng)光束從束腰傳播

7、到 處時(shí)，光束半徑 ，即光斑面積增大為最小值的兩倍，這個(gè)范圍稱為瑞利范圍，從束腰到該處的長(zhǎng)度稱為高斯光束的瑞利長(zhǎng)度，通常記作 。 在實(shí)際應(yīng)用中，一般認(rèn)為基模高斯光束在瑞利長(zhǎng)度范圍內(nèi)是近似平行的，因此也把瑞利距離長(zhǎng)度稱為準(zhǔn)直距離。從瑞利長(zhǎng)度表達(dá)式 可以得出結(jié)論，高斯光束的束腰半徑越小，其準(zhǔn)直距離越長(zhǎng)，準(zhǔn)直性越好。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,高斯光束的孔徑 從基模高斯光束的光束半徑表達(dá)式可以得到截面上振幅的分布為： 則其光強(qiáng)分布為： 考慮垂直于高斯光束傳播方向上存在一無(wú)限大平面，以光軸為中心開(kāi)一半徑為a的孔，則透過(guò)該孔徑的光功率與總功率的比值為左下式，通過(guò)計(jì)算可以得到不同孔徑的功率

8、透過(guò)率。 在激光應(yīng)用中，高斯光束總要通過(guò)各種光學(xué)元件，從上面推導(dǎo)可知，只要光學(xué)元件的孔徑大于3/2，即可保證高斯光束的絕大部分功率有效透過(guò)。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角 從高斯光束的等相位面半徑以及光束半徑的分布規(guī)律可以知道，在瑞利長(zhǎng)度之外，高斯光束迅速發(fā)散，定義當(dāng) 時(shí)高斯光束振幅減小到最大值1/e處與z軸夾角為高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角（半角）： 包含在全遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角內(nèi)的光束功率占 高斯光束總功率的86.5% 高斯光束在軸線附近可以看成一種非均勻高斯球面波，在傳播過(guò)程中曲率中心不斷改變，其振幅在橫截面內(nèi)為一高斯分布，強(qiáng)度集中在軸線及其附近，且等相位面保持球面。,2.2光束在

9、均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,2.2.3類透鏡介質(zhì)中的高斯光束 類透鏡介質(zhì)中k20，此時(shí)的簡(jiǎn)化波動(dòng)方程為： 其解仍可以采用與均勻介質(zhì)中相類似的處理方式得到，最終可以求出：,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,類透鏡介質(zhì)中的基本高斯光束解仍然可以采取 的形式，如果我們只討論其中包含r2的指數(shù)部分： 仍取 ，則q(z)可以表示成： 將(2)式代入(1)式可以得到： 其中(z)是光斑半徑，R(z)是等相位面曲率半徑，其物理意義同均勻介質(zhì)中的基本高斯光束解相同，然而數(shù)學(xué)表達(dá)式比較復(fù)雜。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,前面得到了類透鏡介質(zhì)中高斯光束參數(shù)q(z)的復(fù)數(shù)表達(dá)形式： q0是由

10、邊界條件求出的光束初始條件，將上式同前面得到的光線矩陣比較：,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,2.2.4高斯光束的ABCD法則 按照光線矩陣規(guī)則，ABCD矩陣元構(gòu)成的光線矩陣是表示輸出平面上和輸入平面上光線參數(shù)之間的關(guān)系，因此我們?nèi)。?該式表示了類透鏡介質(zhì)中傳播的高斯光束的傳輸變換規(guī)則.可以證明，高斯光束在其他光學(xué)元件上透射或反射都遵循這一規(guī)則，該規(guī)則稱為高斯光束q參數(shù)變換法則，簡(jiǎn)稱ABCD法則。 需要注意的是ABCD法則同光線傳播規(guī)則雖然都是用光線矩陣來(lái)描述，但是高斯光束的ABCD法則不同于光線傳輸?shù)木仃嚦朔ā?高斯光束經(jīng)過(guò)變換之后仍然為高斯光束,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中

11、的傳播,例：以焦距為f的薄透鏡為例 薄透鏡的光線矩陣為 則由ABCD法則可以得到 考慮到： 代入到(1)式中，并且比較實(shí)部與虛部得到： 上面的第一個(gè)公式表明薄透鏡兩面的高斯光束光斑半徑相同，這與薄透鏡的特性是一致的；第二個(gè)公式表明薄透鏡兩面等相位面的曲率半徑滿足成像公式，即球面中心是關(guān)于該透鏡的共軛像點(diǎn)，這與薄透鏡對(duì)球面波成像的規(guī)律是一致的。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,我們比較一下下面兩個(gè)公式： 由這兩個(gè)公式我們可以看出高斯光束參數(shù)q(z)與球面波曲率半徑R(z)之間的相似性，稱q(z)為高斯光束的復(fù)曲率半徑，其表達(dá)式為： 當(dāng) 時(shí)，上式可以得出 而此時(shí)我們討論的對(duì)象已經(jīng)從波動(dòng)光

12、學(xué)過(guò)渡到了幾何光學(xué)。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,經(jīng)過(guò)兩個(gè)光學(xué)元件的高斯光束 設(shè)兩個(gè)光學(xué)元件的光線矩陣為 入射高斯光束參數(shù)為q1，經(jīng)過(guò)第一個(gè)光學(xué)元件后有： 經(jīng)過(guò)第二個(gè)光學(xué)元件后： 其中： 其規(guī)律同光線傳輸規(guī)律相同，可以推廣到任意個(gè)光學(xué)元件的傳輸情況。,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,2.2.5高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播 光線通過(guò)雙周期透鏡波導(dǎo)單元的光線矩陣為（ABCD），那么經(jīng)過(guò)S個(gè)周期后，聯(lián)系S1面和第1面的光線矩陣是： 其中：,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播,高斯光束通過(guò)透鏡波導(dǎo)的穩(wěn)定性條件 由光束參數(shù)變換法則： 要使得上式中qs+1為有限值，即光束約束在透鏡波導(dǎo)內(nèi)傳播，就要求 為實(shí)數(shù)，即 ，由此可得到光束穩(wěn)定性條件： 如果為虛數(shù)，不妨設(shè) ，則 隨著S的增加而增加，qs+1沒(méi)有確定值，不穩(wěn)定。,2.2.6均勻介質(zhì)中傳播的高階高斯光束 前面推導(dǎo)均勻介質(zhì)中的基模高斯光束解時(shí)曾假設(shè)振幅橫向分布與方位角無(wú)關(guān)，如果考慮方位角的變化 ， 則算符可以表示為： 此時(shí)波動(dòng)方程的特解為： 代入波動(dòng)方程，分離變量后解得：,2.2光束在均勻介質(zhì)和類透