數(shù)列與遞推關(guān)系.ppt

1、數(shù)列與遞推關(guān)系,第三節(jié),數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù).數(shù)列的有,關(guān)問題往往圍繞通項與求和問題展開, 數(shù)列問,題涉及數(shù)列的通項、求和、數(shù)列的性質(zhì) (如單,調(diào)性、周期性、整除性、取值范圍等等);另外,還常與函數(shù)迭代、 集合分拆、 初等數(shù)論等其,它知識交織成綜合題. 由于其中不少問題可以,轉(zhuǎn)化歸結(jié)為遞推數(shù)列問題, 因此這里主要介紹,遞推數(shù)列.,一.遞推數(shù)列的通項公式,已知,求,的表達(dá)式.,解一,(輔助數(shù)列法),令,則,是,首項,且公比為2的等比數(shù)列,故,疊加得,因此,解二,(特征方程法),解特征方程,得,可設(shè),有,由,得,解得,所以,解三,(母函數(shù)法),設(shè),的母函數(shù)為,則,三式相加,并注意到,得,即

2、,由于,故,因此,設(shè)函數(shù),記,則,(2003年,“希望杯”高一第1試),解,(不動點法),令,得不動點,于是,相比得,即,由,及等比數(shù)列通項公式得,所以,分析,對非齊次遞推式,有時可采用齊次化方法,簡化遞推關(guān)系,達(dá)到解決問題的目的.,解,兩式相加,并整理得,令,上式說明,的奇數(shù)項相等,偶數(shù),項也相等.,而,故,即,解特征方程,得,可設(shè),由,得,解得,于是,解,顯然,于是,由,易見,及歸納法,從而,因此,“九連環(huán)”是中國先人創(chuàng)造的智力游戲. 在2002 年北京世界數(shù)學(xué)家大會期間, 這個古老的游戲引起了與會數(shù)學(xué)家們的濃厚興趣.該游戲依賴以下兩個原則: (1)第1個環(huán)任何情況下,可下也可上; (2)

3、如果某一環(huán)在上,而它前面所有環(huán)都在下, 則這個環(huán)的后一個環(huán)可上也可下.,記上“ 連環(huán)”總共需要 步；,當(dāng),“ 連環(huán)”完成,后接著完成,“ 連環(huán)”,所以,新增加的步驟數(shù)為,注意第n個環(huán)可上也可下,又,解,因為,所以,由等比數(shù)列通項公式,有,整理得,整理得,由等比數(shù)列通項公式,有,故,注：,時,(次).,若每秒完成次,每天做12小時,則億多次,需要90.8年.多么驚人的數(shù)字！,解,依題意,有,相減得,故,所以,二.利用遞推數(shù)列的性質(zhì)解題,1.求值問題,且,解,設(shè)實數(shù),滿足,求,的值. (第6屆美國,數(shù)學(xué)邀請賽試題改編),記,則,為求,注意到有相鄰系數(shù),關(guān)系,設(shè),展開并比較系數(shù)得,故,所以,解特征方

4、程,得,(三重).,可設(shè),其中,由,得,解得,所以,故,注： 時即為第屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題.,的值都能被9整除,求,南省高中),的最小值. (2002年湖,解一,(先特殊后一般),計算知數(shù)列前幾項為1,3,9,33,153,873, ,注意到,是9的倍數(shù),由遞推關(guān)系知,第5項后各項都是9的倍數(shù),故,的最小值為5,解二,(先求通項公式,再考察其規(guī)律),由條件得,反復(fù)使用此式,可得,于是,注意,時,而計算知前5項只有,倍數(shù),是9的,故 的最小值為5.,已知,求證:對一切非零自,然數(shù),總有,為整數(shù).(1963年,莫斯科),解,兩式相減,并整理得,令,上式說明,為常數(shù)列.,而,故,即,至此,用數(shù)學(xué)歸納

5、法不難證明結(jié)論成立.,2.考察數(shù)列的性質(zhì),重新整理遞推關(guān)系,化為易應(yīng)用的形式.,分析,證明,由條件可得,平方得,削去常數(shù)項,得,所以,或,由此可見,若,是整數(shù),則,也是整數(shù).,由,用數(shù)學(xué)歸納法不難證明結(jié)論成立.,3.證明不等式,分析,用遞,推關(guān)系簡化通項,最后說明,設(shè),解,設(shè),則,變形,得,(構(gòu)造輔助數(shù)列),故,所以,易見,時,得證.,即,附：分組數(shù)列,將數(shù)列按一定的規(guī)律分組,以組為單位的新,數(shù)列稱為原數(shù)列的分組數(shù)列(又叫分群數(shù)列).,用數(shù)列的有關(guān)知識考察分組數(shù)列,是中學(xué)數(shù),學(xué)的一種新題型.,刪去正整數(shù)數(shù)列 1,2,3,中的所有完全,平方數(shù),得到一個新數(shù)列,這個新數(shù)列的第2003,項是( ),

6、(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049,(2003年全國高中),解,(利用平方數(shù)特征及選擇支提供的信息解決),故待選項之前刪去的最大完全平方數(shù)是,2003+45=2048知選(C).,由,解,考察各組第1個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列,記,(差分法),其前n項和為,于是,由,知,2004在第45組.,設(shè)2004為第45組的第可k個數(shù),解得k=12.,2004=1982+(k-1)2,所以,2004為第45組的第12個數(shù).,由通項公式得,分析,第(1)小題先確定第1998項在第幾組,再,求和就不難了;,第(2)小題先假設(shè)存在, 再研究,其性質(zhì).,解,(1)將數(shù)列分組：第i個1和它后面 個2這,個數(shù)稱為第i組.,設(shè)第1998項在第k組,則k是滿足,的最小正整數(shù),即,估算：,故k=11.,將前11組的各組數(shù)首項1先換成2,再總,體減去11,得,(2)若存在, 設(shè)第n項在第k組, 則同上知2n-k=,2001,故k為奇數(shù).,由(1)知,有,而,