八年級數(shù)學(xué)上冊 15.2《完全平方公式（一）》教案 新人教版

1、15.2 完全平方公式（一） 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用 2完全平方公式的幾何解釋 （二）能力訓(xùn)練要求 1經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號感和推理能力 2重視學(xué)生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和表達(dá)能力 （三）情感與價值觀要求 在靈活應(yīng)用公式的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神 教學(xué)重點 完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、幾何解釋，靈活應(yīng)用 教學(xué)難點 理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計算 教學(xué)方法 自主探索法 有了平方差公式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生可以在教師引導(dǎo)下自主探索完全平方公式，最后達(dá)到靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用公式的目的

2、教具準(zhǔn)備 投影片 教學(xué)過程 提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 請同學(xué)們探究下列問題： （出示投影片） 一位老人非常喜歡孩子每當(dāng)有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊塘， （1）第一天有a個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （2）第二天有b個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （3）第三天這（a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （4）這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？ （1）第一天老人一共給了這些孩子a2糖 （2）第二天老人一共給了這些孩子b2糖

3、 （3）第三天老人一共給了這些孩子（a+b）2糖 （4）孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較，應(yīng)用減法即： （a+b）2（a2+b2） 我們上一節(jié)學(xué)了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，現(xiàn)在遇到了兩個數(shù)的和的平方，這倒是個新問題 老師很欣賞你的觀察力，這正是我們這節(jié)課要研究的問題 導(dǎo)入新課 能不能將（a+b）2轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的知識去解決呢？ 可以我們知道a2=aa，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），這樣就轉(zhuǎn)化成多項式與多項式的乘積了 像研究平方差公式一樣，我們探究一下（a+b）2的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律 （出示投影片） 計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ （1）（

4、p+1）2=（p+1）（p+1）=_； （2）（m+2）2=_； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_； （4）（m-2）2=_； （5）（a+b）2=_； （6）（a-b）2=_ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m2+22=m2+4m+4 （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p（-1）+（-1）p+（-1）（-1）=p2-2p+1 （4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m（-2）+（-2）m+（-2）（-2）=m2-4m+4 （5）（a+b）2=（a+b）（a+b）

5、=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 我還發(fā)現(xiàn)（1）結(jié)果中的2p=2p1，（2）結(jié)果中4m=2m2，（3）、（4）與（1）、（2）比較只有一次項有符號之差，（5）、（6）更具有一般性，我認(rèn)為它可以做公式用 大家分析得很好可以用語言敘述嗎？ 兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和再加（或減）它們的積的2倍 它是一個完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？ 很有道理它和平方差公式一樣，使整式運(yùn)算簡便易行于是我們得到完全平方公式： 文字?jǐn)⑹觯簝蓴?shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍

6、符號敘述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 其實我們還可以從幾何角度去解釋完全平方差公式 （出示投影片）你能根據(jù)圖（1）和圖（2）中的面積說明完全平方公式嗎？ 先看圖（1），可以看出大正方形的邊長是a+b 還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和 陰影部分的正方形邊長是a，所以它的面積是a2；另一個小正方形的邊長是b，所以它的面積是b2；另外兩個矩形的長都是a，寬都是b，所以每個矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是a+b，其面積是（a+b）2于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2這正好符合完全平方公式

7、 那么，我們可以用完全相同的方法來研究圖（2）的幾何意義了 如圖（2）中，大正方形的邊長是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a，寬都是b，所以它們的面積都是ab；正方形HCGM的邊長是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長是（a-b），所以它的面積是（a-b）2從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2這也正好符合完全平方公式 數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，于是我們可以進(jìn)一步理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征現(xiàn)在，大家可以輕松解開課時提出的老人用糖招待孩子

8、的問題了 （a+b）2-（a2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩子們第三天得到的糖果總數(shù)比前兩天他們得到的糖果總數(shù)多2ab塊 應(yīng)用舉例： 出示投影片： 應(yīng)用完全平方公式計算： （1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 運(yùn)用完全平方公式計算： （1）1022 （2）992 分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡 解： （1）（4m+n）2=（4m）2+24mn+n2 （a+b）2=a2+2ab+b2 =16m2+8mn+n2 （2）方法一： （y-）2=y2-2y+（）2 （a-b）2=a2-2

9、ab+b2 =y2-y+ 方法二：（y-）2 =2=y2+2y（-）+（-）2 （a+b）2=a2+2ab+b2 =y2-y+ （3）（-a-b）2=（-a）2-2（-a）b+b2=a2+2ab+b2 （4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 從（3）、（4）的計算可以發(fā)現(xiàn)： （a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2 解：（1）1022=（100+2）2 =1002+21002+22 =10000+400+4 =10404 （2）992=（100-1）2 =1002-21001+12 =10000-200+1 =9801 請同學(xué)們總結(jié)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征 公式的左邊是一個二項式的完全平方；右邊是三項，其中有兩項是左邊二項式中