二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)與形相映

1、二年級數(shù)與形相映形和數(shù)的密切關(guān)系，在古代就被人們注意到了。古希臘人發(fā)現(xiàn)的形數(shù)就是非常有趣的例子。例1 最初的數(shù)和最簡的圖相對應(yīng)。這是古希臘人的觀點，他們說一切幾何圖形都是由數(shù)產(chǎn)生的。例2 我國在春秋戰(zhàn)國時代就有了“洛圖”（見下圖）。圖中也是用“圓點”表示數(shù)，而且還區(qū)分了偶數(shù)和奇數(shù)，偶數(shù)用實心點表示，奇數(shù)用空心點表示。你能把這張圖用自然數(shù)寫出來嗎？見下圖所示，這個圖又叫九宮圖。例3 古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了“形數(shù)”的奧秘。比如他把1，3，6，10，15，叫做三角形數(shù)。因為用圓點按這些數(shù)可以堆壘成三角形，見下圖。畢達(dá)哥拉斯還從圓點的堆壘規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個三角形數(shù)，都可以寫成從1開始的n個自然數(shù)之

2、和，最大的自然數(shù)就是三角形底邊圓點的個數(shù)。第一個數(shù)：1=1第二個數(shù)：3=1+2第三個數(shù)：6=1+2+3第四個數(shù)：10=1+2+3+4第五個數(shù)：15=1+2+3+4+5第n個數(shù)：1+2+3+4+5+n指定的三角形數(shù)。比如第100個三角形數(shù)是：例4 畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)了四角形數(shù)，見下圖。因為用圓點按四角形數(shù)可以堆壘成正方形，因此它們最受畢達(dá)哥拉斯及其弟子推崇。第一個數(shù)：1=12=1第二個數(shù)：4=22=1+3第三個數(shù)：9=32=1+3+5第四個數(shù)：16=42=1+3+5+7第五個數(shù)：25=52=1+3+5+7+9第n個數(shù)：n2=1+3+5+9+（2n-1）。四角形數(shù)（又叫正方形數(shù)）可以表示成自然數(shù)的平

3、方，也可以表示成從1開始的幾個連續(xù)奇數(shù)之和。奇數(shù)的個數(shù)就等于正方形的一條邊上的點數(shù)。例5 類似地，還有四面體數(shù)見下圖。仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，四面體的每一層的圓點個數(shù)都是三角形數(shù)。因此四面體數(shù)可由幾個三角形數(shù)相加得到：第一個數(shù)：1第二個數(shù)：4=1+3第三個數(shù)：10=1+3+6第四個數(shù)：20=1+3+6+10第五個數(shù)：35=1+3+6+10+15。例6 五面體數(shù)，見下圖。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，五面體的每一層的圓點個數(shù)都是四角形數(shù)，因此五面體數(shù)可由幾個四角形數(shù)相加得到：第一個數(shù)：1=1第二個數(shù)：5=1+4第三個數(shù)：14=1+4+9第四個數(shù)：30=1+4+9+16第五個數(shù)：55=1+4+9+16+25。例7 按

4、不同的方法對圖中的點進(jìn)行數(shù)數(shù)與計數(shù)，可以得出一系列等式，進(jìn)而可猜想到一個重要的公式。由此可以使人體會到數(shù)與形之間的耐人導(dǎo)味的微妙關(guān)系。方法1：先算空心點，再算實心點：22+22+1。方法2：把點圖看作一個整體來算32。因為點數(shù)不會因計數(shù)方法不同而變，所以得出：22+22+1=32。方法1：先算空心點，再算實心點：32+23+1。方法2：把點圖看成一個整體來算：42。因為點數(shù)不會因計數(shù)方法不同而變，所以得出：32+23+1=42。方法1：先算空心點，再算實心點：42+24+1。方法2：把點圖看成一個整體來算52。因為點數(shù)不會因計數(shù)方法不同而變，所以得出：42+24+1=52。把上面的幾個等式連起來看，進(jìn)一步聯(lián)想下去，可以猜到一個一般的公式：22+22+1=3232+23+1=4242+24+1=52n2+2n+1=（n+1）2。利用這個公式，也可用于速算與巧算。如：92+29+1