2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.9圓錐曲線的綜合問(wèn)題第1課時(shí)學(xué)案

1、9.9圓錐曲線的綜合問(wèn)題最新考綱考情考向分析1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法2.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.以考查直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系為背景，主要涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、面積、對(duì)稱、存在性問(wèn)題題型主要以解答題形式出現(xiàn)，屬于中高檔題.1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考慮一元二次方程的判別式，有0直線與圓錐曲線相交；0直線與圓錐曲線相切；0)上，且直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則y1y2p2.()題組二教材改編2P71例6過(guò)點(diǎn)(0,1)作直

2、線，使它與拋物線y24x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有()A1條 B2條C3條 D4條答案C解析過(guò)(0,1)與拋物線y24x相切的直線有2條，過(guò)(0,1)與對(duì)稱軸平行的直線有一條，這三條直線與拋物線都只有一個(gè)公共點(diǎn)3P80A組T8已知與向量v(1,0)平行的直線l與雙曲線y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為_(kāi)答案4解析由題意可設(shè)直線l的方程為ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|44，即當(dāng)m0時(shí)，|AB|有最小值4.題組三易錯(cuò)自糾4過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線()A有且只有一條 B有且

3、只有兩條C有且只有三條 D有且只有四條答案B解析設(shè)該拋物線的焦點(diǎn)為F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，則|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2.所以符合條件的直線有且只有兩條5(2017江西省南昌市三模)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且F1PF2，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為_(kāi)答案6已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)為F.若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為2c，且|FA|c，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)答案yx解析拋物線的準(zhǔn)線方程為y，焦點(diǎn)為F，a22c2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線y交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，即1

4、，解得xa，2a2c.又b2c2a2，由，得2.11，解得1.雙曲線的漸近線方程為yx.第1課時(shí)范圍、最值問(wèn)題題型一范圍問(wèn)題典例 (2016天津)設(shè)橢圓1(a)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A.已知，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BFHF，且MOAMAO，求直線l的斜率的取值范圍解(1)設(shè)F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)直線l的斜率為k(k0)，則直線l的方程為yk(x2)設(shè)B(xB，yB)，由方程組消去

5、y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由題意得xB，從而yB.由(1)知，F(xiàn)(1,0)，設(shè)H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直線MH的方程為yx.設(shè)M(xM，yM)，由方程組消去y，解得xM.在MAO中，由MOAMAO，得|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化簡(jiǎn)，得xM1，即1，解得k或k.所以直線l的斜率的取值范圍為.思維升華 解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量

6、關(guān)系(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍跟蹤訓(xùn)練 (2018開(kāi)封質(zhì)檢)已知橢圓C：1(ab0)與雙曲線y21的離心率互為倒數(shù)，且直線xy20經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，求OMN面積的取值范圍解(1)雙曲線的離心率為，橢圓的離心率e.又直線xy20經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)為點(diǎn)(2,0)，即a2，c，b1，橢圓方程為y21.(

7、2)由題意可設(shè)直線的方程為ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，則x1x2，x1x2，于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，故k2，則m20.由m0得k2，解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m22，顯然m21(否則x1x20，x1，x2中至少有一個(gè)為0，直線OM，ON中至少有一個(gè)斜率不存在，與已知矛盾)設(shè)原點(diǎn)O到直線的距離為d，則SOMN|MN|d|x1x2|m|.故由m的取值范圍可得OMN面積的

8、取值范圍為(0,1)題型二最值問(wèn)題命題點(diǎn)1利用三角函數(shù)有界性求最值典例 過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|AF|BF|的最小值是()A2 B. C4 D2答案C解析設(shè)直線AB的傾斜角為，可得|AF|，|BF|，則|AF|BF|4.命題點(diǎn)2數(shù)形結(jié)合利用幾何性質(zhì)求最值典例 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2y21右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若點(diǎn)P到直線xy10的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_(kāi)答案解析雙曲線x2y21的漸近線為xy0，直線xy10與漸近線xy0平行，故兩平行線的距離d.由點(diǎn)P到直線xy10的距離大于c恒成立，得c，故c的最大值為.命題點(diǎn)3轉(zhuǎn)化為

9、函數(shù)利用基本不等式或二次函數(shù)求最值典例 (2017山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：1(ab0)的離心率為，焦距為2.(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，動(dòng)直線l：yk1x交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC的斜率為k2，且k1k2.M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且|MC|AB|23，M的半徑為|MC|，OS，OT是M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線l的斜率解(1)由題意知e，2c2，所以c1，所以a，b1，所以橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程得(4k2)x24k1x10.由題意知0，且x1x2，x1x2

10、，所以|AB|x1x2| .由題意可知，圓M的半徑r為r|AB|，由題設(shè)知k1k2，所以k2，因此直線OC的方程為yx.聯(lián)立方程得x2，y2，因此|OC|.由題意可知，sin.而，令t12k，則t1，(0,1)，因此1，當(dāng)且僅當(dāng)，即t2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k1，所以sin ，因此，所以SOT的最大值為.綜上所述，SOT的最大值為，取得最大值時(shí)直線l的斜率為k1.思維升華 處理圓錐曲線最值問(wèn)題的求解方法圓錐曲線中的最值問(wèn)題類(lèi)型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式

11、表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練(2018邢臺(tái)模擬)已知橢圓y21上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線ymx對(duì)稱(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因?yàn)橹本€yxb與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以2b220，將AB的中點(diǎn)M代入直線方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，則t2.則|AB|，且O到直線AB的距離為d.設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|d，當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)滿足t2.故AOB面積的最大值為.1(2017

12、河北武邑中學(xué)模擬)已知P(x0，y0)是橢圓C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若0，則x0的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析由題意可知：F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，則(x0)(x0)yxy30，點(diǎn)P在橢圓上，則y1，故x30，解得x0，即x0的取值范圍是.2斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A2 B. C. D.答案C解析設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，當(dāng)t0時(shí)，|AB|max.3過(guò)拋物線y2x的焦點(diǎn)F的直

13、線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角，點(diǎn)A在x軸上方，則|FA|的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析記點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是x1，則有|AF|x1|AF|cos ，|AF|(1cos )，|AF|.由得1cos ，22(1cos )4，0，b0)的左、右焦點(diǎn)，對(duì)于左支上任意一點(diǎn)P都有|PF2|28a|PF1|(a為實(shí)半軸長(zhǎng))，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案C解析由P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)及雙曲線的定義，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|

14、，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以10)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B.C. D1答案A解析由題意可得F，設(shè)P(y00)，則()，可得k.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故選A.6(2017九江模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x24y，點(diǎn)P是C的準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AOB面積的最小值為()A. B2 C2 D4答案B解析設(shè)P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在拋物線上，所以y1，y2.因?yàn)閥，則過(guò)點(diǎn)A，B的切線分別為y(xx1)，y(xx2)均過(guò)點(diǎn)P(x0，1)，

15、則1(x0x1)，1(x0x2)，即x1，x2是方程1(x0x)的兩根，則x1x22x0，x1x24，設(shè)直線AB的方程為ykxb，聯(lián)立得x24kx4b0，則x1x24b4，即b1，|AB|x1x2|，O到直線AB的距離d，則SAOB|AB|d2，即AOB的面積的最小值為2，故選B.7(2017泉州質(zhì)檢)橢圓C：y21(a1)的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AF2|BF2|的最大值等于_答案7解析因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以，解得a2，由橢圓定義得|AF2|BF2|AB|4a8，即|AF2|BF2|8|AB|，而由焦點(diǎn)弦性質(zhì)，知當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB|取最

16、小值21，因此|AF2|BF2|的最大值等于817.8(2018屆貴州黔東南州聯(lián)考)定長(zhǎng)為4的線段MN的兩端點(diǎn)在拋物線y2x上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最小值為_(kāi)答案解析設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，拋物線y2x的焦點(diǎn)為F，拋物線的準(zhǔn)線為x，所求的距離d，所以(兩邊之和大于第三邊且M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào))9(2017泉州模擬)橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2作一條直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，則F1PQ的內(nèi)切圓面積的最大值是_答案解析令直線l：xmy1，與橢圓方程聯(lián)立消去x，得(3m24)y26my90，可設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)

17、，則y1y2，y1y2.可知|F1F2|y1y2|12，又，故3.三角形的周長(zhǎng)與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，三角形的周長(zhǎng)l4a8，則內(nèi)切圓半徑r，其面積最大值為.10(2018日照模擬)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)答案6解析點(diǎn)P為橢圓1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P(x，y)(3x3，2y2)，由題意得左焦點(diǎn)F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612.故最小值為6.11已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線y2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OAOB，

18、求線段AB長(zhǎng)度的最小值解(1)由題意，得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，所以a24，b22，從而c2a2b22，因此a2，c.故橢圓C的離心率e.(2)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因?yàn)镺AOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因?yàn)?(0b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e1；雙曲線C2：1的左、右焦點(diǎn)分別為F3，F(xiàn)4，離心率為e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)過(guò)F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為弦AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值解(1)因?yàn)閑1e2，所以 ，即a4b4a4，因此a22b2，從而F2(b,0)，F(xiàn)4(b,0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分別為y21，y21.(2)因?yàn)锳B不垂直于y軸，且過(guò)點(diǎn)F1(1,0)，故可設(shè)直線AB的方程為xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判別式大于0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中點(diǎn)為M，故直線P