09邏輯代數(shù)基礎(chǔ)-數(shù)字部分.ppt

1、電子技術(shù)數(shù)字部分 信電學(xué)院電工電子教學(xué)部 二零零七年八月,第一章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),概述 1.1基本概念、公式和定理 1.2邏輯函數(shù)的化簡方法 1.3邏輯函數(shù)的表示方法及其相互之間的轉(zhuǎn)換 小結(jié),一、邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)、開關(guān)代數(shù)）,邏輯：,事物因果關(guān)系的規(guī)律,邏輯函數(shù): 邏輯自變量和邏輯結(jié)果的關(guān)系,邏輯變量取值：0、1 分別代表兩種對立的狀態(tài),高電平,低電平,真,假,是,非,有,無,1,0,0,1,概 述,二、二進(jìn)制數(shù)表示法,1. 十進(jìn)制（Decimal）- 逢十進(jìn)一,數(shù)碼：0 9,位權(quán)：,2. 二進(jìn)制（Binary） - 逢二進(jìn)一,數(shù)碼：0 ，1,位權(quán)：,3. 八進(jìn)制（Octal）- 逢八進(jìn)一,數(shù)

2、碼：0 7,位權(quán)：,4. 十六進(jìn)制 (Hexadecimal) -逢十六進(jìn)一,數(shù)碼：0 9 , A(10) , B(11) , C(12) , D(13) , E(14) , F(15),位權(quán)：,任意(N)進(jìn)制數(shù)展開式的普遍形式：, 第 i 位的系數(shù), 第 i 位的權(quán),5. 幾種常用進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換,(1) 二-十轉(zhuǎn)換：,將二進(jìn)制數(shù)按位權(quán)展開后相加,(2) 十-二轉(zhuǎn)換：,整數(shù)的轉(zhuǎn)換-連除法,26,2,13,余數(shù),2,0,6,2,1,3,2,0,2,1,1,0,1,除基數(shù) 得余數(shù) 作系數(shù) 從低位 到高位,0. 8125,2,1. 6250,2,1. 2500,2,0. 5000,取整,1,1,0

3、,0. 6250,0. 2500,乘基數(shù) 取整數(shù) 作系數(shù) 從高位 到低位,小數(shù)的轉(zhuǎn)換-連乘法,快速轉(zhuǎn)換法：拆分法,( 26 )10,= 16 + 8 + 2,= 24 +23 + 21,= ( 1 1 0 1 0 )2,若小數(shù)在連乘多次后不為 0，一般按照精確度要求(如小數(shù)點(diǎn)后保留 n 位)得到 n 個(gè)對應(yīng)位的系數(shù)即可。,2,1. 0000,1,16 8 4 2 1,(3) 二-八轉(zhuǎn)換:,5,7,(4) 八-二轉(zhuǎn)換:,每位 8 進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為相應(yīng) 3 位二進(jìn)制數(shù),011,001,.,100,111,每 3 位二進(jìn)制數(shù)相當(dāng)一位 8 進(jìn)制數(shù),011,111,101,.,110,100,0,0,0,2

4、,3,4,0,6,2,（5）二-十六轉(zhuǎn)換：,每 4 位二進(jìn)制數(shù)相當(dāng)一位 16 進(jìn)制數(shù),A,1,（6）十六-二轉(zhuǎn)換：,每位 16 進(jìn)制數(shù)換為相應(yīng)的 4 位二進(jìn)制數(shù),編碼：,用二進(jìn)制數(shù)表示文字、符號等信息的過程。,二進(jìn)制代碼：,編碼后的二進(jìn)制數(shù)。,用二進(jìn)制代碼表示十個(gè)數(shù)字符號 0 9，又稱為 BCD 碼（Binary Coded Decimal ）,幾種常見的BCD代碼：,8421碼,余 3 碼,2421碼,5211碼,余 3 循環(huán)碼,其他代碼：,ISO 碼，ASCII（美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼）,三、二進(jìn)制代碼,二-十進(jìn)制代碼：,幾種常見的 BCD 代碼,1. 1. 1 基本和常用邏輯運(yùn)算,一、三種

5、基本邏輯運(yùn)算,1. 與邏輯：,當(dāng)決定一事件的所有條件都具備時(shí)，事件才發(fā)生的邏輯關(guān)系。,功能表,1. 1 基本概念、公式和定理,滅,滅,滅,亮,斷,斷,斷,合,合,斷,合,合,與邏輯關(guān)系,真值表,（Truth table）,邏輯函數(shù)式,與門（AND gate),邏 輯 符 號,與邏輯的表示方法：,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,2. 或邏輯：,決定一事件結(jié)果的諸條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上具備時(shí)，事件就會發(fā)生的邏輯關(guān)系。,或門（OR gate),或邏輯關(guān)系,真值表,邏輯函數(shù)式,邏 輯 符 號,0,1,1,1,3. 非邏輯：,只要條件具備，事件便不會發(fā)生；條件不具備， 事件一定發(fā)生

6、的邏輯關(guān)系。,真值表,邏輯函數(shù)式,邏 輯 符 號,非門（NOT gate),非邏輯關(guān)系,1,0,0,1,二、邏輯變量與邏輯函數(shù)及常用復(fù)合邏輯運(yùn)算,1. 邏輯變量與邏輯函數(shù),在邏輯代數(shù)中，用英文字母表示的變量稱為邏輯變量。在二值邏輯中，變量的取值不是 1 就是 0 。,邏輯函數(shù)：,如果輸入邏輯變量 A、B、C 的取值確定之后，輸出邏輯變量 Y 的值也被唯一確定，則稱 Y 是 A、B、C 的邏輯函數(shù)。并記作,原變量和反變量：,字母上面無反號的稱為原變量，有反號的叫做反變量。,邏輯變量：,(1) 與非邏輯 (NAND),(2) 或非邏輯 (NOR),(3) 與或非邏輯 (AND OR INVERT)

7、,(真值表略),1,1,1,0,0 0,0 1,1 0,1 1,1,0,0,0,2. 幾種常用復(fù)合邏輯運(yùn)算,Y1、Y2 的真值表,(4) 異或邏輯 (ExclusiveOR),(5) 同或邏輯 (ExclusiveNOR),(異或非),0,1,1,0,0 0,0 1,1 0,1 1,= AB,1,0,0,1,0 0,0 1,1 0,1 1,3. 邏輯符號對照,曾用符號,美國符號,國標(biāo)符號,國標(biāo)符號,曾用符號,美國符號,或：,0 + 0 = 0,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1,與：,0 0 = 0,0 1 = 0,1 1 = 1,非：,二、變量和常量的關(guān)系(變量：A、B、C),或：,A

8、+ 0 = A,A + 1 = 1,與:,A 0 = 0,A 1 = A,非：,1. 1. 2 公式和定理,一、 常量之間的關(guān)系(常量：0 和 1 ),三、與普通代數(shù)相似的定理,交換律,結(jié)合律,分配律,例 1. 1. 1 證明公式,解,方法一：公式法,證明公式,方法二：真值表法,(將變量的各種取值代入等式 兩邊，進(jìn)行計(jì)算并填入表中),A B C,四、邏輯代數(shù)的一些特殊定理,同一律,A + A = A,A A = A,還原律,例 1. 1. 2 證明：,A B,將Y 式中“.”換成“+”,“+”換成“.” “0”換成“1”,“1”換成“0” 原變量換成反變量，反變量換成原變量,五、關(guān)于等式的三個(gè)

9、規(guī)則,1. 代入規(guī)則：,等式中某一變量都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。,例如，已知,(用函數(shù) A + C 代替 A),則,2. 反演規(guī)則：,不屬于單個(gè)變量上的反號應(yīng)保留不變,例如：已知,反演規(guī)則的應(yīng)用：求邏輯函數(shù)的反函數(shù),則,將 Y 式中“.”換成“+”,“+”換成“.” “0”換成“1”,“1”換成“0” 原變量換成反變量，反變量換成原變量,已知,則,3. 對偶規(guī)則：,如果兩個(gè)表達(dá)式相等，則它們的對偶式也一定相等。,將 Y 中“. ”換成“+”,“+”換成“.” “0” 換成“1”,“1”換成“0”,例如,對偶規(guī)則的應(yīng)用：證明等式成立,0 0 = 0,1 + 1 = 1,六、若干常用公

10、式,公式 (4) 證明：,公式 (5) 證明：,即,= AB,同理可證,七、關(guān)于異或運(yùn)算的一些公式,異或,同或,AB,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,(4) 常量和變量的異或運(yùn)算,(5) 因果互換律,如果,則有,= AB,一、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式,1. 2 邏輯函數(shù)的化簡方法,1. 2. 1 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡式,標(biāo)準(zhǔn)與或式,標(biāo)準(zhǔn)與或式就是最小項(xiàng)之和的形式,1. 最小項(xiàng)的概念：,包括所有變量的乘積項(xiàng)，每個(gè)變量均以原變量或 反變量的形式出現(xiàn)一次。,( 2 變量共有 4 個(gè)最小項(xiàng)),( 4 變量共有 16 個(gè)最小項(xiàng)),( n 變量共有 2n 個(gè)最小項(xiàng)),( 3 變量共有 8 個(gè)最

11、小項(xiàng)),對應(yīng)規(guī)律：1 原變量 0 反變量,2. 最小項(xiàng)的性質(zhì)：,(1) 任一最小項(xiàng)，只有一組對應(yīng)變量取值使其值為 1 ；,A B C 0 0 1,A B C 1 0 1,(2) 任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為 0 ；,(3) 全體最小項(xiàng)之和為 1 。,3. 最小項(xiàng)的編號：,把與最小項(xiàng)對應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之 相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號，用 mi 表示。,對應(yīng)規(guī)律：原變量 1 反變量 0,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,4. 最小項(xiàng)是組成邏輯函數(shù)

12、的基本單元,任何邏輯函數(shù)都是由其變量的若干個(gè)最小項(xiàng)構(gòu)成，都可以表示成為最小項(xiàng)之和的形式。,例 寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：,解,或,m6,m7,m1,m3,例 寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：,m7,m6,m5,m4,m1,m0,m8,m0,與前面m0相重,最簡或與式,最簡與或非式,二、邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式及相互轉(zhuǎn)換,最簡與或式,最簡 與非-與非式,最簡或與非式,最簡或非-或非式,最簡或非-或式,核心,1. 2. 2 邏輯函數(shù)的公式化簡法,一、并項(xiàng)法:,例 1. 2. 8,例,二、吸收法：,例 1. 2. 10,例,例 1. 2. 11,三、消去法：,例,例 1. 2. 13,四、配項(xiàng)消項(xiàng)法：,或,或

13、,例,例 1. 2. 15,冗余項(xiàng),綜合練習(xí)：,1. 2. 3 邏輯函數(shù)的圖形化簡法,一、邏輯變量的卡諾圖(Karnaugh maps),卡諾圖：,1. 二變量 的卡諾圖,最小項(xiàng)方格圖(按循環(huán)碼排列),(四個(gè)最小項(xiàng)),A,B,2. 變量卡諾圖的畫法,三變量 的卡諾圖：,八個(gè)最小項(xiàng),A,BC,0,1,00,01,卡諾圖的實(shí)質(zhì)：,緊挨著,行或列的兩頭,對折起來位置重合,邏輯相鄰：,兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同,邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。如：,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,五變量 的卡諾圖：,四變量 的卡諾圖：,十六個(gè)最小項(xiàng),AB,CD,00,01,11,1

14、0,00,01,11,10,當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過六個(gè)以上時(shí)，無法使用圖形法進(jìn)行化簡。,AB,CDE,以此軸為對稱軸（對折后位置重合）,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,m0,m1,m2,m3,m8,m9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,m6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,三十二個(gè)最小項(xiàng),3. 卡諾圖的特點(diǎn)：,用幾何相鄰表示邏輯相鄰,(1) 幾何相鄰：,相接 緊挨著,相對 行或列的兩頭,相重 對折起

15、來位置重合,(2) 邏輯相鄰：,例如,兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同,化簡方法：,卡諾圖的缺點(diǎn)：,函數(shù)的變量個(gè)數(shù)不宜超過 6 個(gè)。,邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。,4. 卡諾圖中最小項(xiàng)合并規(guī)律：,(1) 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去一個(gè)因子,0,4,3,2,1,9,4,6,(2) 四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去兩個(gè)因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,BD,0,2,8,10,(3) 八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去三個(gè)因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,B,0,2,8,10,1,5,13,9,4,6,12,14,2n 個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并

16、可以消去 n 個(gè)因子,總結(jié)：,二、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法,1. 根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫出相應(yīng)的卡諾圖；,2. 將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；,3. 在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對應(yīng)的位置上填入 1 ， 其余位置填 0 或不填。,例,1,1,1,1,0,0,0,0,三、 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),化簡步驟:,(1) 畫函數(shù)的卡諾圖,(2) 合并最小項(xiàng)： 畫包圍圈,(3) 寫出最簡與或表達(dá)式,例 1. 2. 20,1,1,1,1,1,1,1,1,解,畫包圍圈的原則：,(1) 先圈孤立項(xiàng)，再圈僅有一種合并方式的最小項(xiàng)。,(2) 圈越大越好，但圈的個(gè)數(shù) 越少越好。,(3) 最小項(xiàng)可重復(fù)被圈，但每 個(gè)圈中至少有一個(gè)新的最小

17、項(xiàng)。,(4) 必需把組成函數(shù)的全部最小項(xiàng)圈完，并做認(rèn)真 比較、檢查才能寫出最簡與或式。,不正確的畫圈,例,解,(1) 畫函數(shù)的卡諾圖,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小項(xiàng)： 畫包圍圈,(3) 寫出最簡與或表達(dá)式,多余的圈,注意：先圈孤立項(xiàng),利用圖形法化簡函數(shù),利用圖形法化簡函數(shù),例,解,(1) 畫函數(shù)的卡諾圖,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小項(xiàng)： 畫包圍圈,(3) 寫出最簡與或 表達(dá)式,例,用圖形法求反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式,解,(1) 畫函數(shù)的卡諾圖,1,1,1,1,0,0,0,0,(2) 合并函數(shù)值為 0 的最小項(xiàng),(3) 寫出 Y 的反函數(shù)的 最簡與或

18、表達(dá)式,1. 2. 4 具有約束的邏輯函數(shù)的化簡,一、 約束的概念和約束條件,(1) 約束：,輸入變量取值所受的限制,例如，邏輯變量 A、B、C，分別表示電梯的 升、降、停 命令。,A = 1 表示升，B = 1 表示降，C = 1 表示停。,ABC 的可能取值,(2) 約束項(xiàng)：,不會出現(xiàn)的變量取值所對應(yīng)的最小項(xiàng)。,不可能取值,001,010,100,000,011,101,110,111,1. 約束、約束項(xiàng)、約束條件,(3) 約束條件：,(2) 在邏輯表達(dá)式中，用等于 0 的條件等式表示。,000,011,101,110,111,由約束項(xiàng)相加所構(gòu)成的值為 0 的 邏輯表達(dá)式。,約束項(xiàng)：,約束

19、條件：,或,2. 約束條件的表示方法,(1) 在真值表和卡諾圖上用叉號()表示。,例如，上例中 ABC 的不可能取值為,二、 具有約束的邏輯函數(shù)的化簡,例 化簡邏輯函數(shù),化簡步驟:,(1) 畫函數(shù)的卡諾圖，順序 為：,先填 1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,(2) 合并最小項(xiàng)，畫圈時(shí) 既可以當(dāng) 1 ，又可以當(dāng) 0,(3) 寫出最簡與或表達(dá)式,解,例 化簡邏輯函數(shù),約束條件,解,(1) 畫函數(shù)的卡諾圖,1,1,1,1,(2) 合并最小項(xiàng),(3) 寫出最簡與或表達(dá)式,合并時(shí)，究竟把 作為 1 還是作為 0 應(yīng)以得到的包圍圈最大且個(gè)數(shù)最少為原則。包圍圈內(nèi)都是約束項(xiàng)無意義(如圖所示)。,注意

20、：,1.3 邏輯函數(shù)的表示方法 及其相互之間的轉(zhuǎn)換,1. 3. 1 幾種表示函數(shù)的方法,一、邏輯表達(dá)式,優(yōu)點(diǎn)：,書寫簡潔方便，易用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算、變換。,缺點(diǎn)：,邏輯函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，難以直接從變量取值看出函數(shù)的值。,二、真值表,優(yōu)點(diǎn)：,直觀明了，便于將實(shí)際邏 輯問題抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)式。,缺點(diǎn)：,難以用公式和定理進(jìn)行運(yùn) 算和變換；變量較多時(shí)，列函數(shù)真值表較繁瑣。,三、卡諾圖,1,1,1,1,0,0,0,0,優(yōu)點(diǎn)：,便于求出邏輯函數(shù)的最簡與或表達(dá)式。,缺點(diǎn)：,只適于表示和化簡變量個(gè)數(shù)比較少的邏輯函數(shù)，也不便于進(jìn)行運(yùn)算和變換。,四、邏輯圖,A,B,Y,C,優(yōu)點(diǎn)：,最接近實(shí)際電路。,缺點(diǎn)：,不能進(jìn)行運(yùn)

21、算和變換，所表示的邏輯關(guān)系不直觀。,五、波形圖,輸入變量和對應(yīng)的輸出變量隨時(shí)間變化的波形,A,B,Y,優(yōu)點(diǎn)：,形象直觀地表示了變量取值與函數(shù)值在時(shí)間上 的對應(yīng)關(guān)系。,缺點(diǎn)：,難以用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算和變換，當(dāng)變量個(gè) 數(shù)增多時(shí)，畫圖較麻煩。,1. 3. 2 幾種表示方法之間的轉(zhuǎn)換,一、真值表,函數(shù)式,邏輯圖,例 設(shè)計(jì)一個(gè)舉重裁判電路。在一名主裁判(A) 和兩名副裁判 (B、C) 中，必須有兩人以上(必有主裁判)認(rèn)定運(yùn)動員的動作合格，試 舉才算成功。,(1) 真值表,函數(shù)式,將真值表中使邏輯函數(shù) Y = 1 的 輸入變量取值組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)相加，即得 Y 的邏輯函數(shù)式。,函數(shù)式,卡諾圖化簡,1,1,0,1,0,0,0,0,(2) 函數(shù)式,邏輯圖,A,B,Y,C,真值表,函數(shù)式,二、邏輯圖,第一章 小 結(jié),一、數(shù)制和碼制,1. 數(shù)制：計(jì)數(shù)方法或計(jì)數(shù)體制（由基數(shù)和位權(quán)組成）,各種數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換，特別是十進(jìn)制二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，要求熟練掌握。,2. 碼制：常用的 BCD 碼有 8421 碼、2421 碼、5421 碼、余 3 碼等，其中以 8421 碼使用最廣泛。,練習(xí) 完成下列數(shù)制和碼制之間的相互轉(zhuǎn)換,128 16 4 2 1,512 128 64 16 8 4 2,32 8 2 1,