中考壓軸題存在性的探究.ppt

1、,第二部分 題型研究,題型五 函數(shù)與幾何 圖形的綜合題,云南中考熱點題型剖析,函數(shù)與幾何圖形綜合的存在性問題，通常分為5個類型： （1）探究特殊三角形的存在性； （2）探究面積最值的存在性； （3）探究面積等量關系的存在性； （4）探究三角形相似的存在性； （5）探究特殊四邊形的存在性.,例1 如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A,B,C三點的拋物線上. （1）求拋物線的解析式；,例1題圖,【思路分析】已知點A坐標，且OA，OC，OB的關系可確定A、B、C三點坐標，用三點式即可求出拋物線解析式. 解：由A（4，0）可知OA4， OAOC4O

2、B. OC4OB4. C(0，4),B(-1,0).,設拋物線的解析式為yax2+bx+c（a0）， a-b+c=0 從而得方程組 16a+4b+c=0 c=4 a-1 b3 c4 此拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.,解得,突破設問 二次函數(shù)的解析式的確定. 【備考指導】1.確定二次函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，由于二次函數(shù)解析式有三個待定系數(shù)a，b，c（a，h，k或a,x1,x2），因而確定二次函數(shù)解析式需要已知三個獨立的條件: (1)已知拋物線上任意三個點的坐標時，選用一般式.即：y=ax2+bx+c（a0）；,（2）已知拋物線的頂點坐標和另外一點坐標時，選用頂點式.即:y=a(x-

3、h)2+k（a0）; （3）已知拋物線與x軸有兩個交點（或橫坐標x1,x2）時，選用交點式.即： y=a(x-x1) (x-x2)（a0）.,2. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟： （1）設二次函數(shù)的解析式； （2）根據(jù)已知條件，得到關于待定系數(shù)的方程組； （3）解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的解析式. 【針對訓練】見本書第1、3、5、7、8、9、10、12、14、15、18、19題的第（1）問.,（2）是否存在點P，使得ACP是以AC為直角邊的直角三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由. ,【思路分析】由設問以AC為直角邊出發(fā)，分兩種情況討論，設出P點

4、坐標，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、點坐標特征求點P坐標.,解：存在. 理由：第一種情況，當以點C為直角頂點時，過點C作CP1AC交拋物線于點P1，過點P1作y軸的垂線，垂足為M.,ACP190， MCP1+ACO90， ACO+OAC=90， MCP1OAC. OAOC. MCP1OAC=45， MCP1MP1C， MCMP1.,設P1（m,-m2+3m+4）,則m=-m2+3m+4-4. 解得m1=0(舍去)，m22， -m2+3m+4-4+6+46， 即P1（2，6）. 第二種情況，當以點A為直角頂點時，過點A作AP2AC交拋物線于點P2，過點P2作y軸的垂線，垂足為N，AP2交y軸于F.,P

5、2Nx軸， CAO=45， OAP2=45， FP2N45，AOOF， P2NNF. 設P2（n,-n2+3n+4）， 則-n-（-n2+3n+4）-4.,解得：n-2,n4（舍）. -n2+3n+4-6. P2（-2，-6）. 綜上所述，存在點P使得ACP是以AC為直角邊的直角三角形，點P的坐標為（2，6）或（-2，-6）.,突破設問探究特殊三角形的存在性. 【備考指導】1. 在解答直角三角形的存在性問題時，具體方法如下： （1）先假設結論成立，根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論； （2）找點：當所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時，需分情況討論； 具體方法如下：,當定長為直角三角形

6、的直角邊時，分別以定長的某一端點作定長的垂線，與數(shù)軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點； 當定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所求點滿足條件的數(shù)軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；,（3）計算：把圖形中的點坐標用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形的各個邊（表示線段時，注意代數(shù)式的符號）.再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進行計算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點坐標. 【針對訓練】見本書第12、15、17題第（3）問.,2. 拓展設問：除了探究直角三角形外，還常常探究等腰三角形的存在性，這個和直角三角形的類似： （1）假設結論成立； （2）

7、找點：當所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：,當定長為腰時，找已知直線上滿足條件的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與數(shù)軸或拋物線有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與數(shù)軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；,當定長為底邊時，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與數(shù)軸或拋物線有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與數(shù)軸或拋物線無交點時，滿足條件的點不存在； 以上方法即可找出所有符合條件的點.,（3）計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角

8、形，可以通過添加輔助線構造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質(zhì)進行求解. 【針對訓練】見本書第5、11題第（3）問.,(3)過動點P作PE垂直于y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線，垂足為F. 連接EF,當線段EF的長度最短時,求出點P的坐標.,例1題解圖,（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F.連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標. 解：連接OD，由題意知，四邊形OFDE為矩形， 則ODEF， 根據(jù)垂線段最短. 當ODAC時，OD最短，即EF最短. 由（1）知，在RtAOC中，OCOA4. 則,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，D為

9、AC中點. 又DFOC，DF OC2， 點P的縱坐標為2， 從而得-x2+3x+4=2. 解得 當EF最短時，點P的坐標分別為 或,例2 （2014昆明）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2+bx-3(a0)與x軸交于點 A(-2，0)、B(4,0)兩點，與y軸交于點C. （1）求拋物線的解析式；,例2題圖,【思路分析】用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，把點A、B代入拋物線解析式聯(lián)立方程組，求出系數(shù)a、b,即可求出拋物線的解析式. 解：把A(-2，0)，B(4,0)代入y=ax2+bx-3， 4a-2b-3=0 a = 16a+4b-3=0， b= 拋物線的解析式為,得,解得,（2）點P從A

10、點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動.其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動.當PBQ存在時，求運動多少秒使PBQ的面積最大，最大面積是多少？,【思路分析】求這個三角形的面積，首先想到的是用三角形面積的基本公式，作PB邊上的高，然后證BHQBOC，利用相似三角形的性質(zhì)求出高.當PBQ存在時，設運動時間為t秒，用t表示出SPBQ，得到一個二次函數(shù)的解析式，當t= 時，SPBQ最大.,解：設運動時間為t秒， 則AP=3t,BQ=t， PB=6-3t.由題意得，C點 坐標為(0,-3)， 在RtBOC中,BC=

11、5， 如解圖，過Q點作QHAB,垂足為H，,H,例2題解圖,QHCO， BHQBOC， ， HQ= t， 當PBQ存在時，0t2，,當運動時間為1秒時，PBQ面積最大，最大面積為 .,當 時，SPBQ最大， ,突破設問 探究面積最值的存在性. 【備考指導】探究最值的存在性問題: (1)是與拋物線有關的三角形或是與拋物線有關的四邊形，拋物線三角形就是三角形的三個頂點都在拋物線上，同樣，拋物線四邊形就是四邊形的四個頂點都在拋物線上，要求三角形或四邊形的面積的最大值或是最小值.,解決這類問題的基本步驟： 1. 首先要確定所求三角形或四邊形面積最值，可設動點運動的時間t或動點的坐標（t,at2+bt+

12、c）； 2. 求三角形面積最值時要用含t的代數(shù)式表示出三角形的底和高，此時就應先證明涉及到底和高的三角形與已知線段長度的三角形相似，從而求得用含t的代數(shù)式表示的底和高；,求四邊形的面積最值時，常用到的方法是利用割補法將四邊形分成兩個三角形，從而利用三角形的方法求得用含t的代數(shù)式表示的線段； 3. 用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形面積；,4. 用二次函數(shù)的知識來求最大值或是最小值. 【針對訓練】見本書第4、11、18題第（2）問，第9題第（3）問. 拓展設問：線段最值問題. (2)無論是線段和的最小值或是周長的最小值，還有兩條線段差的最大值.,解決這類問題最基本的定理就是“兩點之間線段最短”，最常

13、見的基本圖形就是“水渠問題”，即已知一條直線和直線同旁的兩個點，要在直線上找一點，使得這兩個點與這點連接的線段之和最小，解決問題的方法就是通過軸對稱作出對稱點來解決； 【針對訓練】見本書第12題第（2）問、第13、18題第（3）問.,（3）當PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K，使SCBKSPBQ52,求K點坐標. 【思路分析】如解圖，過點K作KEy軸，交BC于點E，求BCK面積的最簡單的方法是用含EK的代數(shù)式來表示三角形的面積.設點K的坐標 ,即可得到EK與m的關系，再由SCBK =SCEK+SBEK可求出點K的坐標.,解：設直線BC的解析式為y=kx+c(k0), 把B(4,0

14、),C(0,-3)代入y=kx+c得 4k+c=0 k= 0k+c=-3 c=-3,解得,E,K,例2題解圖,直線BC的解析式為y= x-3. 點K在拋物線上， 設K點坐標為(m, ), 過點K作KEy軸，交BC于點E，如解圖,則E點坐標為(m, m-3), ,由（2）知當PBQ的面積最大時，SPBQ = , SCBKSPBQ =52, SCBK = , 又SCBK = SCEK + SBEK = EKm+ EK(4-m) = 4EK =2(- m2+ m)=- m2+3m,- m2+3m= , 解得：m1=1,m2=3. K1(1,- ),K2(3,- ). 【難點突破】本小問的難點有兩個：

15、第一個難點是求出EK的長，解題的關鍵是要巧妙的設出點K的坐標，利用直線BC的解析式求出點E的坐標即可；第二個難點是在求拋物線上的內(nèi)接三角形時，計算這個三角形的面積需用割補法來求.,突破設問 探究面積等量關系的存在性. 【備考指導】探究面積等量關系的存在性問題： 對于圖形的運動產(chǎn)生的相等關系問題，解答時應認真審題，仔細研究圖形，分析動點的運動狀態(tài)及運動過程；,解題過程的一般步驟： （1）弄清其取值范圍，畫出符合條件的圖形； （2）確定其存在的情況有幾種，然后分別求解，在求解計算中一般由函數(shù)關系式設出圖形的動點坐標并結合圖形作輔助線，畫出所求面積為定值的三角形；,（3）過動點作有關三角形的高或平行

16、于y軸、x軸的輔助線，利用面積公式或三角形相似求出有關線段長度或面積的代數(shù)式，列方程求解，再根據(jù)實際問題確定方程的解是否符合題意，從而證得面積等量關系的存在性. 【針對訓練】見本書第2題第（2）問，第7題第（4）問，第14題第（3）問，第15題第（2）問.,例3 （ 2014東營改編）如圖，直線y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B.把AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線y=-x2+bx+c與直線BC交于點D（3，-4）.,例3題圖,（1）求直線BD和拋物線的解析式； 【思路分析】由直線方程y=2x+2可求出B點坐標，把B、D兩點代入y=-x2+bx+c中即可求出拋物線解析式，由

17、B、D兩點可求出直線BD的方程. 解：設直線BD的解析式為： y=kx+m（k0）,把B（0，2），D（3，-4）代入得 m=2 k=-2 3k+m=-4 m=2， 直線BD的解析式為y=-2x+2. 把x=0代入y=-2x+2，得y=2, B(0,2)，,解得,把B（0，2），D（3，-4）代入y= -x2+bx+c,得 c=2b=1 -9+3b+c=-4c=2， 拋物線的解析式：y=-x2+x+2.,解得,（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點M，作MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M、O、N為頂點的三角形與BOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；,【思路分析】與BO

18、C相似的MON，只有兩個直角頂點可以確定對應，所以要分兩種情況討論，再利用MON的兩條直角邊恰好是點M的坐標，與BOC的兩直角邊對應成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合條件.,解：由（1）知C（1，0）， 設點M（n，-n2+n+2）， BOC=MNO=90， 點O與點N對應，可分兩種情況討論， 當MNOBOC時， 則-n2+n+2=2n, 解得n1=-2(不合題意，舍去)，n2=1, M1(1,2)；,當ONMBOC 時， 則2（-n2+n+2）=n, 解得n1= (不合題意，舍去)， n2= , M2 綜上所述，M點的坐標為（1，2）或,【易錯分析】易忽略其中的一種情況而出錯.,突

19、破設問探究三角形相似的存在性. 【備考指導】探究三角形相似的一般思路：解答三角形相似的存在性問題時，要具備分類討論的思想及數(shù)形結合思想,要先找出三角形相似的分類標準，一般涉及到動態(tài)問題要以靜制動，動中求靜，具體如下：,（1）假設結論成立，分情況討論.探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩個三角形的對應角（尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個三角形相似的題目），或者涉及到動點問題，因動點問題中點位置的不確定，此時應考慮不同的對應關系，分情況討論；,（2）確定分類標準：在分類時，先要找出分類的標準，看兩個相似三角形是否有對應相等的角，若有，找出對應相等的角后，再根據(jù)其他角進行分類討論來確定相似三角形成立的

20、條件；若沒有，則分別按三種角對應來分類討論；,（3）建立關系式，并計算.由相似三角形列出相應的比例式，將比例式中的線段用所設點的坐標表示出來（其長度多借助勾股定理運算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計算得出相應的點的坐標. 【針對演練】見第3題第（3）問，第4題第（3）問，第7題第（4）問，第13題第（4）問，第14題第（2）問.,（3）在直線BD上方的拋物線上有一動點P，過點P作PH垂直于x軸，交直線BD于點H.是否存在這樣的點P，使四邊形BOHP是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.,【思路分析】點P在拋物線上，可設出點P的坐標，從

21、而可表示出點H的坐標，因為作PHx軸.所以可得PHOB.要證四邊形BOHP是平行四邊形，只需證PHOB，再利用PH的長可列方程求出P點坐標. 解：存在.,理由如下： P點在拋物線上， 設P（m，-m2+m+2）， H的橫坐標為m， 又H在BD上，BD的解析式為y-2x+2， H的縱坐標為-2m+2， H（m，-2m+2），,例3題解圖,PHBO， 要使四邊形BOHP是平行四邊形，只需證PHBO， 又P點在H點上方， PH-m2+m+2-（-2m+2）-m2+3m， 又B（0，2），OB2， -m2+3m2，,解得：m12，m21， 當m2時， P點坐標為（2，0）， 當m1時， P點坐標為（1

22、，2）， 存在點P（2，0）或P（1，2）使四邊形BOHP為平行四邊形.,【難點突破】（2）（3）小題都是先設了符合條件的點的橫坐標為未知數(shù)，縱坐標相應表示出來，再利用相似三角形和平行四邊形的判定得到對應邊的關系式，列出方程求得結果.,突破設問探究特殊四邊形的存在性. 【備考指導】在解答平行四邊形的存在性問題時，具體方法如下： （1）假設結論成立； （2）探究平行四邊形通常有兩類，一類是已知兩定點去求未知點坐標，一類是已知給定的三點去求未知點的坐標.,第一類時，以兩定點連線所成的線段作為要探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€畫出符合題意的平行四邊形；第二類，分別以已知三個定點中的任意兩個定點確定的線段為探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€畫出符合題意的平行四邊形.,（3）建立關系式，并計算.根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進行計算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進行計算，要具體情況具體分析，有時也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點坐標的性質(zhì)求解.,【針對訓練】見本書第8題第（3）問，第16題第（2）問. 拓展設問：此外，還會涉及考查探究是否存在點使得四邊形為菱形或矩形； 1. 在解答菱形的存在性問題時，具體方法如下： （1）假設結論成立；,（2）分情況討論：探究菱形時，通常有兩大類，一類是已知三個定點去求未知點坐標，