大連海事 電磁場課件 (1.電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ)).ppt

1、2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,1,2012年3月4日,電磁場理論,房少軍 教授、博導(dǎo),2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,2,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),0 緒論1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2 麥克斯韋方程3 靜電場4 恒定電場5 恒定磁場6 交變電磁場7 平面電磁波8 導(dǎo)波系統(tǒng)9 各向異性媒質(zhì)中的電磁波,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,3,1.1矢量的基本概念（復(fù)習(xí)）,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),標(biāo)量:,溫度、壓力、密度、質(zhì)量、時間和電位等為標(biāo)量。,矢量：既有大小又有方向的物理量。斜體字母加箭頭表示，如 。,力、速度、電場強度和磁

2、場強度等為矢量。,矢量的模是一個標(biāo)量，可表示為 或 。,單位矢量：模等于1的矢量。表示為 。,與 矢量同方向的單位矢量表示為 。,只有大小的物理量。用斜體字母表示，如A 。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,4,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),三維空間里的矢量表示,矢量 與x軸、y軸、z軸的夾角分別為、，單位矢量 為,為,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,5,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1. 位置矢量與距離矢量,位置矢量或矢徑,距離矢量,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,6,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.2 矢量的代數(shù)運算,矢量加減法,

3、矢量的標(biāo)量積,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,7,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量的矢量積,表示矢量 方向上的單位矢量。,矢量 與 的矢量積是矢量，記為 。其方向垂直于矢量 與 的平面，其大小等于 的模和 的模與兩個矢量之間夾角 的正弦的乘積），即,注意：矢量積滿足分配律，不滿足交換律和結(jié)合律。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,8,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)單位矢量滿足：,可以證明：,矢量公式：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,9,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),設(shè)有變量t和矢量 ，如果對于t在某個范圍內(nèi)的每一個值

4、，都有一個確定的矢量 與之對應(yīng)，則稱矢量 為變量t的矢量函數(shù)，記作 。,顯然三個分量 、 、 都是t的標(biāo)量函數(shù)。,若對于空間域上的每一點都對應(yīng)著某個物理量的一個標(biāo)量或一個矢量，則稱此空間域確定了這個物理量的場。,場有矢量場、標(biāo)量場、時變場與靜態(tài)場等。,1.3 矢量函數(shù)與場,場的概念,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,10,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.4 矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),考慮靜態(tài)的矢量場：,偏導(dǎo)數(shù)：,矢量函數(shù)的全微分,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,11,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則,2020/8/4,Copy right By Dr

5、.Fang,12,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.5 矢量函數(shù)的積分,矢量函數(shù)的線積分,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,13,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量函數(shù)的面積分,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,14,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量函數(shù)的體積分,作業(yè)：1.1，1.2,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,15,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.6 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度,標(biāo)量場,(即 )處：,(即 )處：,增量df，根據(jù)全微分概念，有：,位移矢量：,考慮把 df 寫成位移矢量與另一個矢量 的點積：,顯然有,2020/8/4,Copy

6、right By Dr.Fang,16,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),歸納如下：,當(dāng)然位移矢量 也可表示為：,由此可得：,則增量則可表示為：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,17,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),即：,表示f 沿l方向的距離變化率，即f 沿l方向的導(dǎo)數(shù)。,因此標(biāo)量場f 在某處沿l的方向?qū)?shù)為該處矢量 在方向l上的投影。,單位矢量可用方向余弦表示：,則方向?qū)?shù) 可寫為：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,18,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量 的物理意義,分析方向?qū)?shù)：,標(biāo)量場f 取得最大方向?qū)?shù)的方向就是 的方向。我們把矢量 稱作f 的梯度，記作gr

7、adf。,標(biāo)量場 求梯度，變?yōu)槭噶亢瘮?shù)。某點梯度的模就是標(biāo)量場在該點的最大方向?qū)?shù)值，梯度方向就是最大方向?qū)?shù)方向。,例，登山有無數(shù)個上山的方向，其中一個方向坡度最陡峭，即走過同樣距離而上升的海拔高度最大，該方向即登山的梯度方向，沿這個方向攀登所得到的高度變化率是梯度的值。,與l方向的夾角為零，f 的方向?qū)?shù)值最大，即 的絕對值。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,19,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),從P點出發(fā)攀登同一高度，PQ方向的距離最短。,沿PQ方向（垂直于等高線），斜率最大；沿其他方向，如 ，則斜率較小。,地圖等高線表示在同一曲線上所有位置的地勢是等高的。,等高線愈密

8、，地勢愈陡峭；等高線愈疏，地勢愈平。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,20,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),梯度的性質(zhì),（1）某點梯度的方向總是指向該點場量值增大最快的方向。,（2）標(biāo)量場中某點的梯度總是與過該點的等值面（線）垂直。,標(biāo)量場在等值面（線）上任取一小位移dl，顯然有：,考慮,所以,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,21,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),哈密頓算符,為方便引進(jìn)哈密頓算符：,重要公式,讀作del或nabla，可將 看成矢量，梯度可寫為：,梯度運算公式,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,22,1 電磁場數(shù)學(xué)基

9、礎(chǔ),例1-2 ，求,例1-3， 求 。,解：根據(jù)梯度公式：,解：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,23,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.7 矢量場的散度,面積微元矢量：有大小有方向的面積微元。其方向是沿繞行方向按右手螺旋規(guī)則的大拇指所指方向。,其中 、 、 是 在三個坐標(biāo)平面上投影。,矢量場的通量,以流體流量為例。流速是矢量，與空間位置有關(guān)，即空間每一點的流速是不一樣的，因此可稱為流速場。先不考慮它與時間的關(guān)系，可記為,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,24,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),在S上任取一點M，包圍M的面積微元為dS，沿法向通過面積微元dS的

10、流量（即通量）：,單位時間穿過整個曲面S的流量Q,通量：矢量場 沿曲面S指定一側(cè)的曲面積分,被稱作矢量 穿過曲面S指定一側(cè)的通量。,上式表示從封閉曲面S內(nèi)穿出的矢量的正通量與從封閉曲面S外穿入的矢量的負(fù)通量的代數(shù)和。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,25,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),封閉曲面上矢量的通量,封閉曲面面積微元矢量方向為外法線,積分0，通量為正，必有矢量線穿出S，S內(nèi)有發(fā)出矢量線的源。,積分0，通量為負(fù)，必有矢量線穿入S，S內(nèi)有吸收矢量線的匯。,積分=0，通量為零，穿入S的矢量線與穿出S的矢量線數(shù)量相等。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fa

11、ng,26,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),代表單位時間穿過曲面的磁通量。,通量的物理意義,代表單位時間穿過曲面的流量；,代表單位時間穿過曲面的電通量；,穿過封閉曲面上的通量則表示在封閉曲面內(nèi)是否存在向外擴(kuò)散的源或匯，如電荷等。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,27,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量場的散度（divergence）,矢量場的通量是積分量，只反映整個閉合曲面內(nèi)源（或匯）的情況，不能說明在封閉曲面內(nèi)某點源（或匯）的情況。,散度定義：,顯然，矢量場的散度是一個標(biāo)量函數(shù)。,物理意義：散度是通量體密度。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,28,1 電

12、磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),直角坐標(biāo)系散度計算公式推導(dǎo),取直角六面體微元為,，,，,，,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,29,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),將Ax用泰勒級數(shù)展開：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,30,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),略去高階項，保留前2項：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,31,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),同理可得,矢量場通量為,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,32,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量場通量為,帶入散度定義式：,點P(x0, y0, z0)可任意選取，因此直角坐標(biāo)系散度可寫為,重

13、要公式,用哈密頓算符來表示散度,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,33,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),主要散度運算公式,，c為常矢量,，c為常數(shù),作業(yè)：1.3，1.8,散度公式,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,34,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),散度定理(高斯定理 ),封閉曲面S所包圍的體積V分成N個體積微元 , , , ,其表面積分別為 , , , ，根據(jù)散度定義，有,改寫為,將所有的面積分相加,整理，有,重要公式,作業(yè)：1.4,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,35,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.8 矢量場的旋度,通量和散度反映矢

14、量場與擴(kuò)散源之間的關(guān)系，而環(huán)量和旋度則反映矢量場與漩渦源的關(guān)系。,1.8.1環(huán)量,高數(shù)的曲線積分表示為,將P、Q、R視為直角坐標(biāo)系中矢量的三個分量，則有：,式中 ，,l為閉合曲線時，,稱作矢量場 沿曲線l的環(huán)量。,選擇環(huán)量繞行方向的方法,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,36,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),首先確定閉合曲線所包圍曲面的法線方向，繞行方向與法線方向之間滿足右手螺旋關(guān)系。,環(huán)量的物理意義,環(huán)量表示矢量場中存在著一種不同于通量源的源漩渦源。,若矢量場是作用在物體上的力，則其環(huán)量為物體繞曲線移動一周時，該力所作的功。,電場強度的環(huán)量是沿閉合回路的電動勢。,2020/8

15、/4,Copy right By Dr.Fang,37,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.8.2旋度（rotation）,環(huán)量描述矢量場在一個范圍的漩渦源特性，而旋度則用來說明某一點的漩渦源特性。,仿照通量體密度，給出環(huán)量面密度定義如下：,閉合路徑 是有方向的，閉合回路包圍面元 的法線方向與 的方向成右手螺旋關(guān)系。顯然，環(huán)量面密度是標(biāo)量。,分析：環(huán)量面密度不僅與位置有關(guān)，也與路徑 的方向有關(guān)， 而且一定存在著一個方向使環(huán)量面密度達(dá)到最大值。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,38,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量場旋度的定義,旋度表示某點最大環(huán)量面密度大小和所在方向，反映了矢量場在該

16、點漩渦源的強度和方向。,記為,注：與 的繞向符合右手法則。,矢量場 在某點取得最大環(huán)量面密度的方向為該點矢量場 的旋度的方向，所取得的最大環(huán)量面密密度為該點矢量場 的旋度的大小。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,39,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),旋度計算公式推導(dǎo),先考慮x分量,其中 ，l在yoz平面。,圍繞點P(x0, y0, z0) 作平行于yoz面的小矩形C1，面元為：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,40,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),投影到路徑C1四個線段上的矢量場 只存在z分量和y分量。,考慮 和 均很小，在四個線段上，場分量可視為常量。令其

17、為線段中點處的場分量值，有,，,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,41,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),采用泰勒級數(shù)展開并略去高階項的方法，可得,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,42,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),按照同樣的方法，可以得到 的分 y 量和 z 分量：,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),直角坐標(biāo)系的旋度計算公式為：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,43,重要公式,旋度可以用哈密頓算符表示,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,44,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),旋度運算的主要公式,1.8.3斯托克斯定理,重要公式,

18、它反映矢量場沿閉合曲線的環(huán)量與該閉合曲線所包圍面積上的漩渦源之間的關(guān)系。如安培環(huán)路電流定律。,作業(yè)：1.5,1.6,1.7,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,45,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,46,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.9 場函數(shù)的二階微分運算及重要定理,1.9.1對標(biāo)量場的梯度求旋度,有梯無旋,物理含義：一矢量場 無旋（即保守場），則對應(yīng)一標(biāo)量場 f（位函數(shù)），該位函數(shù)梯度即為該無旋場 。,負(fù)號是人為加入的，它不改變 的無旋性。,對應(yīng)無旋場的標(biāo)量位函數(shù)有無數(shù)個，它們之間相差一個常數(shù)。,靜電場的電場強度、重力場

19、的重力都是無旋場，它們分別對應(yīng)標(biāo)量位函數(shù)和勢能。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,47,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.9.2 對矢量場的旋度求散度,有旋無散,物理含義：一矢量場 無散，則對應(yīng)另一矢量場 （矢量位函數(shù)），矢量位函數(shù)旋度即為無散矢量場 。,無源場的矢量位函數(shù)不是唯一的，它們相差一標(biāo)量函數(shù)的梯度。,例如,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,48,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.9.3 拉普拉斯算符,對標(biāo)量場函數(shù) f 求梯度后再求散度，有,稱為拉普拉斯算符，可視為兩個哈密頓算符點積的結(jié)果。,2020/8/4,Copy right By Dr.F

20、ang,49,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),拉普拉斯算符不僅可以作用于標(biāo)量函數(shù)，而且也可用于矢量場。,泊松方程,如果矢量場 無旋，有,如果矢量場 無擴(kuò)散源，有,則,拉普拉斯方程,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,50,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.9.4 亥姆霍茲定理,散度是矢量場某點的通量體密度，代表通量源的強度；旋度是矢量場某點的最大環(huán)量面密度，代表漩渦源的強度。,一個矢量場被其散度、旋度和區(qū)域邊界上的邊界條件（邊界上的切向或法向邊界條件）唯一確定。,矢量場的唯一性定理表明，空間任一區(qū)域內(nèi)的矢量場被該區(qū)域內(nèi)的源（包括通量源與漩渦源）和該區(qū)域表面的邊界條件唯一地確定。,然而，唯一

21、性定理沒有給出矢量場與其散度及旋度之間的定量關(guān)系。,矢量場唯一性定理,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,51,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),亥姆霍茲定理：空間有限區(qū)域內(nèi)V 任一矢量場 均可以表示為一個無旋場 和一個無源場 之和，即,式中標(biāo)量 f 和矢量 分別為,亥姆霍茲定理表明，對空間有限區(qū)域內(nèi)的矢量場，由它的散度、旋度和邊界條件（即區(qū)域邊界面上的場分布）唯一地確定。所以對有限區(qū)域內(nèi)的矢量場，要討論它的散度、旋度和邊界條件。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,52,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),空間無限區(qū)域的亥姆霍茲定理,在無限大空間，只要知道矢量場的散度和

22、旋度，矢量場就能唯一地確定下來。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,53,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.9.5 格林定理,設(shè)標(biāo)量函數(shù)w和u具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，令矢量函數(shù) 為,根據(jù)散度定理,格林第一定理,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,54,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),格林第一定理,將w和u互換，得,兩式相減，有：,格林第二定理,格林定理的意義,1.將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼猓?2.可以用格林恒等式證明電磁場中的重要定理和公式。,另外還有矢量格林第一、第二定理。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,55,1 電磁場

23、數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.10 正交曲線坐標(biāo)系,已經(jīng)推導(dǎo)出直角坐標(biāo)系下梯度、散度和旋度公式，在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中如何呢？,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,56,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),圖1.10.1正交曲線坐標(biāo)系,1.10.1基本概念,正交曲線坐標(biāo)(u1, u2, u3),u1C1（常數(shù)） u2B1（常數(shù)） u3D1（常數(shù)）,正交曲線坐標(biāo)系單位坐標(biāo)矢量： ， ， 。,任一點的三個曲面均正交。,正交曲線坐標(biāo)系的特點？,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,57,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.10.2正交曲面坐標(biāo)系中的線元、面元和體元,需要

24、說明，曲線坐標(biāo)u1、u2、u3 本身的量綱不一定是長度。,設(shè)對應(yīng)互相正交的曲線坐標(biāo)軸( , , )方向的線元為：,線元與曲線坐標(biāo) (u1, u2, u3)之間的關(guān)系為：,h1，h2，h3叫度量系數(shù)或拉梅系數(shù)。,例如圓柱坐標(biāo)系的 ，球坐標(biāo)系的 。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,58,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),正交曲面坐標(biāo)系中任意一個位移微元可表示為：,h1，h2，h3叫度量系數(shù)或拉梅系數(shù)。,不同的正交曲線坐標(biāo)系具有不同的拉梅系數(shù)。如何得到拉梅系數(shù)h1，h2，h3呢？,直角坐標(biāo)系中線元就是坐標(biāo)微元，即,因此直角坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)h1、h2、h3均為1。,2020/8/4,C

25、opy right By Dr.Fang,59,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),既然直角坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)已知，則可根據(jù)正交曲線坐標(biāo)系中任意一種坐標(biāo)系的坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系坐標(biāo)之間的關(guān)系，推出任一正交曲線坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)。,直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變量(x, y, z)與任一正交曲線坐標(biāo)系坐標(biāo)變量(u1, u2, u3)之間的關(guān)系可寫為：,直角坐標(biāo)系線段微元dx與任意正交曲線坐標(biāo)系線段微元的關(guān)系為：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,60,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),空間任何一條曲線上線元矢量 在直角坐標(biāo)系中可表示成：,同理可得,求正交曲線坐標(biāo)系中坐標(biāo)曲線u1上的線元長度dl1,2020/8/4,Co

26、py right By Dr.Fang,61,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),在正交曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)曲線u1上，du2du30，du10，將這些條件代入到dl中，即可得到dl1 。,空間任何一條曲線上線元矢量 在直角坐標(biāo)系中可表示成：,求正交曲線坐標(biāo)系中坐標(biāo)曲線u1上的線元長度dl1,已知,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,62,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),這樣就可以求得拉梅系數(shù)h1，即：,已知,即,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,63,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),用相同的方法可以求得拉梅系數(shù)h2和h3，為：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,64,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),正交曲線坐標(biāo)系的面積元和體積元,顯然:,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,65,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),例1-4 求如圖1.10.2所示的圓柱坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,66,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),解：直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)之間的變換關(guān)系為：,顯然,(i=1,2,3),2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,67,1 電磁場數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2020/8/4,Copy right B