江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-2（通用）

1、13 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識、方法要求學(xué)習(xí)建議利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極大(小)值掌握借助于導(dǎo)數(shù)這個工具可以很好地判別函數(shù)單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間，極值，最值等，通過這些量我們可以從總體上把握函數(shù)的圖象的變化規(guī)律可以通過對一些具體的函數(shù)(如常見的三次多項式函數(shù))的研究來加以體會二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)了解函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極大(小)值、函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(2)能利用導(dǎo)數(shù)的符號法則來解決函數(shù)的單調(diào)性問題，求函數(shù)的極值、最值等，通過這些量來研究函數(shù)的圖象的變化規(guī)律2預(yù)習(xí)提綱(1)回顧必修1中有關(guān)函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)最值的相關(guān)內(nèi)容(必修1第34頁至37頁)(2

2、)閱讀課本第28頁至33頁，回答下面的問題 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符合存在著怎樣的關(guān)系呢?函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的極大值與極小值是怎樣定義的?注： 第一，極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小第二，函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個第三，極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值函數(shù)的最值最值的概念在必修1的教材中已經(jīng)給出，請回憶，并指出最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(3)閱讀課本例題，思考下面的問題閱讀課本第28頁至29頁上例1、

3、例2和例3，總結(jié)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟閱讀課本第31頁上例1和例2，歸納求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟 思考：當(dāng)時，能否函數(shù)在處取得極值?閱讀課本第32頁與第33頁上例1和例2，歸納利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟 3典型例題例1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解： 令，解得x(，3)3(3，3)3(3，)00極大值極小值由上表可知，函數(shù)有兩個單調(diào)增區(qū)間，分別是和；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是點評： (1)不能說在內(nèi)函數(shù)遞增，應(yīng)寫為在和內(nèi)分別遞增(2)因為函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，所以說函數(shù)有兩個單調(diào)增區(qū)間，分別是和，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是這樣的說法也是對的例2 已知函數(shù)，其中若在上是增函數(shù)，求的取值范圍分析： 因為在上是增函數(shù)，所以對上恒成立，再

4、求出的取值范圍解： 根據(jù)題意，由于在上是增函數(shù)，所以對上恒成立，即即對上恒成立因為，所以，于是點評： 解答過程中對恒成立，而不是恒成立，主要由于教材沒有對閉區(qū)間的端點的導(dǎo)數(shù)下定義由于函數(shù)在區(qū)間是連續(xù)的，所以在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，等價于在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)對已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則有可能漏解例3 求函數(shù)的值域分析： 求函數(shù)值域一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)來求解，也可利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域，本題形式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，可采用求導(dǎo)方法求解解： 函數(shù)的定義域由，求

5、得，求導(dǎo)得由得，即， 解得即函數(shù)在上是增函數(shù)，又此函數(shù)在x=2處連續(xù)，所以在上是增函數(shù)而f(2)= 1，所以函數(shù)的值域是點評： 函數(shù)y=f(x)在(a，b)上為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)在a，b上連續(xù)時，y=f(x)在a，b上也是單調(diào)函數(shù)例4 求函數(shù)的極大值和極小值分析： 利用求極值的一般方法解： ，令，解得列表：x202000y極小值14極大值2極小值14因此，當(dāng)x=0時，f(x)有極大值f(0)=2；當(dāng)x=2時，f(x)有極小值f(2)=14例5 已知函數(shù)的極大值為13，求的值分析： 首先求，然后令求出方程根，判別f(x)在何處取得極大值，最后求解： 令，解得列表：x0400y極小值極大值13所以在x=

6、4處取得極大值，即，解得點評： 解答此題關(guān)鍵是判別f(x)在何處取得極大值例6 設(shè)函數(shù)在x=1和x=1處有極值，且f(1)=1，求a，b，c的值，并求出相應(yīng)的極值分析： 此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)函數(shù)極值的步驟來求，但要注意極值點與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：極值點為的根，利用這一關(guān)系借助于待定系數(shù)法求a，b，c的值解： ，是函數(shù)的極值點，則1，1是方程的根，即有，解得b=0，c=3a又f(1)=1，則abc=1，所以此時，令，解得列表：x1100f(x)極大值1極小值1所以在x=1處取得極大值1，即；在x=1處取得極小值1，即點評： 本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)合，合理地實現(xiàn)了問題

7、的轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化例7 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點分析： (1)中的極值含有參數(shù)a(2)將函數(shù)化為可知x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)0，x取足夠小的負數(shù)時，有f(x)0，x取足夠小的負數(shù)時，有f(x)1時，10當(dāng)時， 令，得 當(dāng)時，0在上恒成立，在上為增函數(shù)，當(dāng)時， 令，得(舍) 綜上所述，所求為 (2) 對于任意的實數(shù)，在區(qū)間上總是減函數(shù)，則對于x(1，3)，0， 在區(qū)間1，3上恒成立 設(shè)g(x)=，g(x)在區(qū)間1，3上恒成立由g(x)二次項系數(shù)為正，得 即 亦即 =， 當(dāng)n6時，m，當(dāng)n6時，m， 當(dāng)n6

8、時，h(n)= ，當(dāng)n6時，h(n)= ， 即 點評： 本例是一道導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式綜合問題，具有一定的難度，本題涉及的數(shù)學(xué)思想有分類討論、數(shù)形結(jié)合等4自我檢測(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是 (2)設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_ _(3)已知函數(shù)為常數(shù))在區(qū)間上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是_(4)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間 (5)求下列函數(shù)的極值 (6)函數(shù)處有極小值10，求ab的值(7)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有極大值，又有極小值，則實數(shù)的取值范圍是 (8)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值三、課后鞏固練習(xí)A組1函數(shù)f(x)=x33x2

9、1的減區(qū)間為 2已知函數(shù)f(x)=2x33x212x3，則函數(shù)f(x)在(2，1)內(nèi)是 (填“增”、“減”)函數(shù)3函數(shù)y=exx1的遞減區(qū)間是 4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 5若函數(shù)恰有3個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是 6若上是減函數(shù)，則b的取值范圍是 7對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f (x)，若滿足，則f (0)f (2) 2f (1)(請選填“”，“”“”中的一個) 8給出下列函數(shù)：，其中在處取得極值的函數(shù)是 9函數(shù)在上的極值點有 個 10函數(shù)y=ax3bx2取得極大值和極小值時x的值分別為0和，則a與b的關(guān)系是 11函數(shù)在(0，1)內(nèi)有極小值，則b的取值范圍是 12 已知是函數(shù)的一個極值點，則函數(shù)

10、的單調(diào)遞減區(qū)間為 13已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處取到極大值，則a的取值范圍是 14若a0，b0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于 15函數(shù)的最大值是 ，最小值是 16函數(shù)在上的最大值為 17函數(shù)的最大值是 18已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖， 則下列關(guān)于的說法正確的是 在上為減函數(shù)；在處取得最大值；在上為減函數(shù)；在處取得最小值19求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)； (2)；(3)； (4)20已知函數(shù)的遞增區(qū)間為(2，3)，求a，b的值21已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍22已知函數(shù)f(x)與g(x)均為閉區(qū)間a，b上的可導(dǎo)函數(shù)，且求證：當(dāng)時，23求下列函數(shù)的極值

11、：(1)； (2)；(3)y=2exex24已知f(x)=ax3bx2cx在時取得極值，且f(1)=1(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷f(1)與f(1)是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由25已知函數(shù)在點處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，0)，(2，0)，如圖所示求：(1)的值；(2)a，b，c的值26已知函數(shù)，(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值B組27若函數(shù)的遞減區(qū)間為，則a的取值范圍是 28若不等式對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是 29若曲線與x軸有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的值是 30已知函數(shù)有零

12、點，則a的取值范圍是_31已知f(x)=x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為 32設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx在x=x0處取得極值，則(1x02)(1cos2x0)的值為 33已知函數(shù)的圖象與x軸切于(1，0)，則f(x)的極大值為 34已知函數(shù)在(0，1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是 35設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點M，N，則當(dāng)|MN|達到最小時t的值為 36已知函數(shù)，當(dāng)x=1時函數(shù)f(x)的極值為，則f(2)= 37討論函數(shù)y=x2sinx在內(nèi)的單調(diào)性38若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍 39已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范

13、圍40已知f(x)=x3ax2bxc在x=1與時，都取得極值(1)求a，b的值； (2)若f(1)=，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；41函數(shù)f(x)=x33ax23bxc在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線平行于直線3xy2=0，求函數(shù)的極大值與極小值的差42已知函數(shù)f(x)=x33ax22bx在點x=1處有極小值1，試確定a，b的值，并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間43設(shè)函數(shù)，其中(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)討論f(x)的極值44已知a為實數(shù)，(1)求導(dǎo)數(shù)；(2)若，求f(x)在2，2上的最大值和最小值；(3)若f(x)在和上都是遞增的，求a的取值范圍45求函數(shù)的極值和最值，并畫出函數(shù)的簡

14、圖46已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a，bR)若yf(x)圖象上的點(1，)處的切線斜率為4，求yf(x)的極大值47對于任意的實數(shù)，證明： 48已知函數(shù)f(x)xlnx(1)求f(x)的最小值；(2)討論關(guān)于x的方程f(x)m0(mR)的解的個數(shù)C組49已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時，若不等式恒成立，求的取值范圍50求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間51已知函數(shù)(1)求的值域；(2)設(shè)，函數(shù)。若對任意的總存在，使，求實數(shù)a的取值范圍。52已知函數(shù)(1)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍；(2)討論的定義域上的單調(diào)性；53設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)

15、的圖像在x=1處的切線方程為y=3x2，(1)求a，b，c的值；(2)若對任意都有成立，求實數(shù)k的取值范圍；(3)若對任意都有，求實數(shù)m的取值范圍54已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a2，證明：對任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|55已知函數(shù)f(x)=(1)若h(x)=f(x)g(x)存在單調(diào)增區(qū)間，求a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a0，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根?若存在，求出a的取值范圍?若不存在，請說明理由知識點題號注意點求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間17，1922，27，37，38，50若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函

16、數(shù)單調(diào)遞減，則，注意此時公式中的等號不能省略，否則有可能漏解求函數(shù)的極值813，2325，3133，36，41注意極值點與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：極值點為的根，的根不一定是極值點求函數(shù)的最值或值域1517，26，3435閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)的函數(shù)的最大值、最小值問題的解法應(yīng)該先出極大值、極小值，然后再與端點處的函數(shù)值進行比較綜合應(yīng)用14，18，2830，40，4249，5155靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決方程解的個數(shù)問題，不等式恒成立問題四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野函數(shù)在某開區(qū)間內(nèi)為常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)恒成立對于可導(dǎo)的函數(shù)，在某開區(qū)間內(nèi)單調(diào)增，可以得到在該區(qū)間內(nèi)恒成立反之，滿足(假定不為常值函數(shù))在某開區(qū)間內(nèi)恒成立，卻不能保證在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增，可能是單調(diào)增函數(shù)，也可能不是單調(diào)增函數(shù)，主要是看這些使得的實數(shù)(我們稱之為駐點)是“孤立”的還是“連續(xù)”的我們可以構(gòu)造滿足且單調(diào)遞增的函數(shù)，如；我們也可以構(gòu)造滿足但不是單調(diào)遞增的函數(shù)，如對于這個函