從Durer魔方跨入線性代數(shù)思維之門.ppt

1、,主講: 關(guān)秀翠,東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,東 南 大 學(xué) 線 性 代 數(shù) 課 程 講 座,從Drer魔方跨入線性代數(shù)思維之門,Drer魔方：4階，每一行之和為34，每一列之和為34，對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和是34，每個(gè)小方塊中的數(shù)字之和是34，四個(gè)角上的數(shù)字加起來也是34.,版畫創(chuàng)造時(shí)間：1514年,多么奇妙的魔方！,Drer魔方,什么是Drer魔方,該魔方出現(xiàn)在德國著名的藝術(shù)家 Albrecht Drer于1514年創(chuàng)造的版畫Melancolia。,1,4階Drer魔方： 行和=列和=對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和=每個(gè)小方塊之和= 四個(gè)角之和.,銅幣鑄造時(shí)間：1514年,多么奇妙的魔方！,你想構(gòu)造Dre

2、r魔方嗎？ Drer魔方有多少個(gè)？ 如何構(gòu)造所有的Drer魔方？,什么是Drer魔方,和為48.,2,Drer魔方,4階Drer魔方： 行和=列和=對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和=每個(gè)小方塊之和= 四個(gè)角之和.,你想構(gòu)造Drer魔方嗎？ Drer魔方有多少個(gè)？ 如何構(gòu)造所有的Drer魔方？,什么是Drer魔方,A=,B=,設(shè)A,B是任意兩個(gè)Drer 魔方，,對(duì)任意實(shí)數(shù)k，kA 是Drer魔方嗎？,A+B 是Drer魔方嗎？,3,Drer魔方,你想構(gòu)造Drer魔方嗎？ Drer魔方有多少個(gè)？ 如何構(gòu)造所有的Drer魔方？,設(shè)A,B是任意兩個(gè)Drer 魔方，,對(duì)任意實(shí)數(shù)k，kA 是Drer魔方嗎？,A+

3、B 是Drer魔方嗎？,松馳問題的討論,允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù),任意兩個(gè)Drer魔方的任意的線性組合仍是Drer魔方。,記 D=A=(aij)R44|A為Drer魔方,將A看成16維列向量，則D構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為Drer魔方空間.,無窮多個(gè),求出魔方空間的一組基,基的任意線性組合都構(gòu)成一個(gè)Drer魔方.,4,Drer魔方空間,令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和,類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。,求Drer魔方空間的基,5,Drer魔方空間,1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、四

4、行的1就完全定位了，故共有8個(gè)不同的最簡方陣，稱為基本魔方Q1,Q8,令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和,類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。,求Drer魔方空間的基,Q1=,1,1,1,1,6,Drer魔方空間,求Drer魔方空間的基,1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8個(gè)不同的最簡方陣，稱為基本魔方Q1,Q8,7,Drer魔方空間,顯然， Drer空間中任何一個(gè)魔方都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？,求Drer魔方空間的基

5、,8,Drer魔方空間,求Drer魔方空間的基,Q1,Q8線性相關(guān),顯然， Drer空間中任何一個(gè)魔方都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？,9,Drer魔方空間,Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？,求Drer魔方空間的基,Q1,Q8線性相關(guān),由,線性無關(guān)。,Q1,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.,10,Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？,Q1,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.,構(gòu)造Albrecht Drer的數(shù)字魔方,=,=,11,Drer魔方空間,Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？,Q1,Q

6、7構(gòu)成D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.,隨心所欲構(gòu)造Drer魔方,=,=,dij,所得的線性方程組有 個(gè)方程？ 個(gè)變量？,16,23,如何求解該線性方程組呢？,12,Drer魔方空間,隨心所欲構(gòu)造Drer魔方,=,(dij), Ar y = 0,16維變量 y,13,Drer魔方空間, A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; 0 0

7、0 0 1 1 0; %變量r對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣 C=A,-eye(16); %系數(shù)矩陣(A,E ) C1=rref(C) %求行最簡形 C1=,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0

8、 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 0 0

9、 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0,d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44,14,Drer魔方空間,隨心所欲構(gòu)造Drer魔方,=,(di

10、j), Ar y = 0,16維變量 y,自由變量可取為d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44,15,Drer魔方空間,%程序mymagic.m %輸入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整個(gè)Drer魔方 d=input(please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0

11、0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 1 0; %變量r對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣 C=A,-eye(16); %系數(shù)矩陣(A,E ) x=null(C,r); %求齊次方程組的基礎(chǔ)解系 y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7); %基礎(chǔ)解系的線性組合 y=y(8:23,:); %y為16維魔方向量 D=vec2mat(y,4,4) %將y轉(zhuǎn)化為4階魔方陣 mymagic please input a vector d24,d32,

12、d34,d41,d42,d43,d44: 6 3 15 20 09 12 7,隨心所欲構(gòu)造Drer魔方,16,Drer魔方空間,(2)任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一組值，就可得唯一確定Drer魔方的其他值.,還不夠隨心所欲？,賦予魔方更大的威力吧！,自由變量的選取不唯一,(3)任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也可得唯一確定Drer魔方的其他值.,12,5,8,6,11,4,6,7,10,17,還不夠隨心所欲？,(3)任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也可得唯一確定

13、Drer魔方的其他值.,賦予魔方更大的威力吧！,自由變量的選取不唯一,12,5,8,6,11,4,6,7,10,由d43+26=d43+62+d13.,如何選取自由變量？,36,由x+26=x+24+d14.,33,x,x+2,2,x+3,x+46,x39,x+54,由x+26=3x+24.,可得 x = 1.,18,還不夠隨心所欲？,(3)任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也可得唯一確定Drer魔方的其他值.,賦予魔方更大的威力吧！,自由變量的選取不唯一,12,5,8,6,11,4,6,7,10,由d43+26=d43+62+d13.,如何選取自由

14、變量？,由x+26=x+24+d14.,33,由x+26=3x+24.,可得 x = 1.,36,1,3,2,4,47,55,-38,19,還不夠隨心所欲？,能否將Drer魔方“和相等”的限制再增強(qiáng)嗎？,賦予魔方更大的威力吧！,令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和,(1) 7維Drer魔方空間D：R=C=D=S,(2) 要求所有數(shù)都相等:,一維向量空間 G = rE,rR，其中eij=1, i,j.,(3) 特別的，當(dāng)r =0:,0維向量空間 O,20,能否將Drer魔方“和相等”的限制再增強(qiáng)嗎？,Drer空間的子空間,能否將Drer魔方“和相等”的限制再放寬嗎？,令R為行和，C為

15、列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和,(1) 7維Drer魔方空間D：R=C=D=S,(2) 要求所有數(shù)都相等:,一維向量空間G = rE,rR.,(3) 特別的，當(dāng)r =0:,0維向量空間 O,O, G, D,魔方空間,維 數(shù),0, 1, 7,(4) 8維魔方空間Q：R=C=D,(5) 16維數(shù)字空間M：數(shù)字可任意取值, Q, 8, M, 16,和擴(kuò)張,21,Drer魔方空間,從Drer魔方跨入線性代數(shù)思維之門,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,1. 培養(yǎng)化繁為簡的思考模式,(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性,(2) 探討變換問題的條件,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(4) 將結(jié)論作為條件倒退,(3)

16、 培養(yǎng)多角度看問題,(5) 利用精煉的語言比擬,4. 培養(yǎng)歸納總結(jié)的能力,22,根據(jù)1的取法，確定了8個(gè)基本魔方Q1,Q8,求Drer魔方空間的基,1. 培養(yǎng)化繁為簡的思考模式,類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。,但是，Q1,Q8線性相關(guān)，而任意7個(gè)都線性無關(guān).,可取Q1,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.,憑空構(gòu)造魔方空間的一組基是很難的,23,分階段處理復(fù)雜問題的“水泵”思維化繁為簡,1. 培養(yǎng)化繁為簡的思考模式,24,定理1.2.,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,

17、1.3 行列式的性質(zhì)及計(jì)算,證明：,(1),(2),(3),第一章 行列式和線性方程組的求解,= a11A11,= aijAij,= ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin.,25,4階Drer魔方： 行和=列和=對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和=每個(gè)小方塊之和= 四個(gè)角之和.,你想構(gòu)造Drer魔方嗎？Drer魔方有多少個(gè)？ 如何構(gòu)造所有的Drer魔方？,允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù),任意兩個(gè)Drer魔方的任意的線性組合仍是Drer魔方。,D=AR44|A為Drer魔方,構(gòu)成Drer魔方向量空間.,求Drer魔方空間的一組基, 任意一個(gè)Drer魔方都可由這組基線性表示.,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的

18、能力,26,十秒鐘加數(shù),時(shí)間到！,答案是 6710。,請(qǐng)用十秒，計(jì)算出左邊一列數(shù)的和。,27,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,“斐波那契數(shù)列”,若一個(gè)數(shù)列，前兩項(xiàng)等于1，而從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是其前兩項(xiàng)之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列。即：,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ,意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的算盤書（1202年）,28,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,“十秒鐘加數(shù)”揭密,右式的答案是：,610 11 = 6710,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：連續(xù) 10個(gè)斐波那契數(shù)之和，必定等于第 7個(gè)數(shù)的 11 倍！,29,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,Fibonacci兔子問題,假設(shè)一對(duì)初

19、生兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟兔子每月會(huì)生一對(duì)(雌雄)兔子，那么，由一對(duì)初生兔子開始，12 個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？,30,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,Fibonacci兔子問題,解答,1 月1 對(duì),31,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,Fibonacci兔子問題,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),32,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,Fibonacci兔子問題,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),33,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,Fibonacci兔子問題,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),4 月3 對(duì),34,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,

20、Fibonacci兔子問題,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),4 月3 對(duì),5 月5 對(duì),35,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,Fibonacci兔子問題,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),4 月3 對(duì),5 月5 對(duì),6 月8 對(duì),36,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,Fibonacci兔子問題,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),4 月3 對(duì),5 月5 對(duì),6 月8 對(duì),7 月13 對(duì),37,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,Fibonacci兔子問題,1) 分析問題、抓住本質(zhì)、簡化。 本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為大兔子；新生的兔子

21、不能生殖，簡稱為小兔子；小兔子一個(gè)月就長成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。,2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律 每月小兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù). 每月大兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù) +上個(gè)月小兔對(duì)數(shù).,=上個(gè)月大兔對(duì)數(shù) +上上個(gè)月大兔對(duì)數(shù).,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,38,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,Fibonacci兔子問題,1) 分析問題、抓住本質(zhì)、簡化。 本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡稱為小兔子；小兔子一個(gè)月就長成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。,2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律 每月小兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù). 每月大兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù) +上個(gè)

22、月小兔對(duì)數(shù).,= 前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和.,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,39,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,1）分析問題、抓住本質(zhì),月 份 大兔對(duì)數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔對(duì)數(shù) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔子總數(shù) 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233,二階遞推公式,2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律 每月小兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù). 每月大兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù) +上個(gè)月小兔對(duì)數(shù).,= 前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和.,Fn,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,40,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,2）深

23、入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律,3）深入研究問題,二階遞推公式,由,可得,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,41,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,3）深入研究問題,3）深入研究問題,二階遞推公式,因此,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,42,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,3）深入研究問題,1）樹杈的數(shù)目,13 8 5 3 2 1 1,生活中的斐波那契數(shù),43,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,生活中的斐波那契數(shù),2）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù),種子按順、逆時(shí)針的螺線排列，兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55; 89和144; 144和233條螺線。,44,2. 培養(yǎng)觀察問題分析

24、問題的能力,生活中的斐波那契數(shù),松果種子的排列的螺線數(shù)(8-13),45,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,生活中的斐波那契數(shù),菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）,46,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,生活中的斐波那契數(shù),問題的提出：設(shè) A 是n階方陣 , 求Ak ?,分析：,(1) 若A是對(duì)角陣，則易求 Ak =k.,A = P1Q1,(2)一般方陣A可與對(duì)角陣相抵，即存在n階可逆陣P,Q, 使得 PAQ =., Ak = (P1Q1) (P1Q1)(P1Q1),若Q1 =P ,則 Ak =P1 k Q1 = Qk Q1,(3) 因此，當(dāng)存在n階可逆陣Q, 使得 Q1AQ =(對(duì)角陣 )時(shí),

25、易求方陣Ak.,此時(shí)稱方陣A可與對(duì)角陣相似。,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,3）深入研究問題,47,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,3）深入研究問題,問題：當(dāng)A可與對(duì)角陣相似, Q 與的關(guān)系如何 ?,當(dāng)方陣A可與對(duì)角陣相似，即存在n階可逆陣Q, 使得 Q1AQ =(對(duì)角陣 )時(shí), 易求方陣Ak.,Q1AQ =,設(shè)Q 的列向量為q1, q2, , qn. 顯然它們線性無關(guān).,即A(q1, q2, , qn) = (1q1, 2q2, , nqn),即 A qi = i qi, i=1,n,特征值,特征向量,qi ,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,則AQ = Q = Qdiag(1, 2,

26、 , n),3）深入研究問題,48,2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力,3）深入研究問題,(1)任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一組值，就可唯一確定Drer魔方.,Drer魔方空間是7維的.,(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性,自由變量還有其他的選取方式嗎？,只要選取系數(shù)矩陣23列中16個(gè)線性無關(guān)的列，其余7列對(duì)應(yīng)的變量就可取為自由變量.,3.培養(yǎng)發(fā)散思維,49,例5. 設(shè) , 求A1.,求逆陣的方法：,(1) 定義法：AB=BA=E,(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性,(2) 公式法：A1=A*/ |A|,(3) 初等變換法：(A,E) (E,A1

27、),解：,注意到 A =AT，,且 A AT = A2 = 4E,所以 A1 = A/ 4,3.培養(yǎng)發(fā)散思維,50,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性,Drer空間的子空間和擴(kuò)張,(3) 7維Drer魔方空間D：R=C=D=S,(2) 要求所有數(shù)都相等:,一維向量空間G = rE,rR.,(1),0維向量空間 O,O, G, D,魔方空間,維 數(shù),0, 1, 7,(4) 8維魔方空間Q：R=C=D,(5) 16維數(shù)字空間M：數(shù)字可任意取值, Q, M, 8, 16,(2) 探討變換問題的條件,3.培養(yǎng)發(fā)散思維,51,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(2) 探討變換問題的條件,(2)

28、 探討變換問題的條件,例6. 設(shè),證明：,(1)證：,設(shè) x 是Ax = 0的非零解.,令B=(x,0,0),則,(2)證1：,設(shè) x1,x2,xn-r是Ax = 0的基礎(chǔ)解系.,令B=(x1,x2,xn-r),則,(2)證2：,則存在n階可逆陣P,Q, 使得,令,則,52,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(2) 探討變換問題的條件,(2) 探討變換問題的條件,例6. 設(shè),(3)證明：,(2)證1：,設(shè) x1,x2,xn-r是Ax = 0的基礎(chǔ)解系.,令B=(x1,x2,xn-r),則,(2)證2：,則存在n階可逆陣P,Q, 使得,令,則,(3)證：,則存在n階可逆陣P,Q, 使得,令,則,53,3. 培

29、養(yǎng)發(fā)散思維,(2) 探討變換問題的條件,n階方陣A可逆, A與E相抵, A的行最簡形矩陣為E., A = P1P2Ps, Pi為初等陣.,(3) 培養(yǎng)多角度看問題, A的行(列)向量組線性無關(guān), 任一n維向量 都可由行(列)向量組線性表示, A的特征值均不為零, A的行(列)向量組的秩都是n.,(非奇異陣、非退化陣),(滿秩), A的行(列)向量組是Rn的基., A為Rn的兩組基下的過渡矩陣., A的解空間的維數(shù)為0., A的列空間的維數(shù)為n., ATA為正定陣.,54,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(3) 培養(yǎng)多角度看問題,n階方陣A不可逆, 0是A的一個(gè)特征值.,例7. 設(shè),證明：,證1：,(反證法

30、),則A可逆.,產(chǎn)生矛盾.,假設(shè),利用可逆性,(3) 培養(yǎng)多角度看問題 一題多解,55,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(3) 培養(yǎng)多角度看問題,n階方陣A不可逆, 0是A的一個(gè)特征值.,證2：,利用 r(A)n.,例7. 設(shè),證明：,(3) 培養(yǎng)多角度看問題 一題多解,56,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(3) 培養(yǎng)多角度看問題,n階方陣A不可逆, 0是A的一個(gè)特征值.,證3：,利用齊次方程組有非零解.,例7. 設(shè),證明：,(3) 培養(yǎng)多角度看問題 一題多解,57,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(3) 培養(yǎng)多角度看問題,n階方陣A不可逆, 0是A的一個(gè)特征值.,證4：,利用0是A的一個(gè)特征值.,所以0是A的一個(gè)特征值.,例

31、7. 設(shè),證明：,(3) 培養(yǎng)多角度看問題 一題多解,58,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(3) 培養(yǎng)多角度看問題,n階方陣A不可逆, 0是A的一個(gè)特征值.,錯(cuò)誤解析：矩陣乘法消去率不成立.,例7. 設(shè),證明：,(3) 培養(yǎng)多角度看問題 一題多解,59,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(3) 培養(yǎng)多角度看問題,n階方陣A不可逆, 0是A的一個(gè)特征值.,錯(cuò)誤解析：非零矩陣的行列式不一定為0.,例7. 設(shè),證明：,(3) 培養(yǎng)多角度看問題 一題多解,60,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(3) 培養(yǎng)多角度看問題,若行列式D=0，則D都可能是什么類型的行列式？,(1) 行列式D有兩行或兩列的元素成比例；,(2) 行列式D有至少有一行或一列元素都是零 ；,(3) 主對(duì)角線上至少有一個(gè)元素等于零的對(duì)角行列式；,(4) 主(次)對(duì)角線上至少有一個(gè)零元素的三角行列式；,(5) 所有可以利用行列式性質(zhì)化成上述形式的行列式,(4) 將結(jié)論做為條件進(jìn)行倒推,3.培養(yǎng)發(fā)散思維,61,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(4) 將結(jié)論做為條件進(jìn)行倒推,3.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,(5) 利用精煉的語言比擬,轉(zhuǎn)置: (AB)T = BTAT,逆矩陣: (AB)1 = B1A1,伴隨矩陣