流體力學(xué)第七章.ppt

1、第七章 波浪理論,船舶與海洋工程中：,船舶搖擺和拍擊，船舶穩(wěn)性，興波阻力。,沿岸工程中：波浪對(duì)港口、防波堤的作用。,離岸工程中：鉆井平臺(tái)，海工建筑、海底油管等,課堂提問(wèn)：為什么海面上“無(wú)風(fēng)三尺浪”,水波起制約作用的物理因素是重力，粘性 力可略而不計(jì)，因此可用理想流體的勢(shì)流理論來(lái)研究波浪運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。,本章內(nèi)容:,著重介紹小振幅波（線性波）理論,相關(guān)內(nèi)容為：,2.波浪運(yùn)動(dòng)的有關(guān)概念（波速、波長(zhǎng)、周期、 波數(shù)、頻率、深水波、淺水波等）,1.小振幅波的基本方程和邊界條件,3. 流體質(zhì)點(diǎn)的軌道運(yùn)動(dòng),4. 前進(jìn)水波中的壓力分布,5. 波群與波群速,6. 船波,7. 波能傳遞與興波阻力,一簡(jiǎn)諧前進(jìn)波沿軸正向

2、移動(dòng),7-1 微振幅波的基本方程與邊界條件,h 水深（從平均水平面到底部的距離）,（x , t） 自由面在平均水面以上的瞬時(shí)垂直距離, 振幅, 波高，對(duì)于小振幅波 H = 2a, 波長(zhǎng)（兩相鄰波峰或波谷間的距離 ）, 周期（固定點(diǎn)處重復(fù)出現(xiàn)波峰（或波谷）的時(shí)間 間隔(或波形傳播一個(gè)波長(zhǎng)所需的間）。, 波速，或相速度（波陣面的傳播速度） C = L/T （72）, 波數(shù)（ 2距離內(nèi)波的數(shù)目） K = 2L （73）, 圓頻率（2時(shí)間內(nèi)波振動(dòng)的次數(shù)) 2T （74）,微振幅波理論的基本假設(shè),.理想不可壓縮流體，重力不能略去；,.運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的，具有速度勢(shì)；,.波浪是微振幅波（線性波），即 （7-5）

3、,且滿足Laplace方程：,（7-7）,底部條件(不可穿透條件）:,（ z = -h） （7-8）,自由表面邊界條件：,（7-10）,令z=,自由表面上相對(duì)壓力p=0。為使邊界條 件線性化，假定速度平方v0 而得到。,由Lagrange積分：,在z=0處滿足（自由面邊界條件的近似）:,（7-11）,小振幅波的基本方程與邊界條件為:,（7-12）,用分離變量法求解,令,（7-13）,代入拉普拉斯方程:,通解,必須第一方括弧內(nèi)為零,可得,令 則 ：,所以,或,波面方程為,即 （714）,則 （715）,-波速,波長(zhǎng)和周期,自由表面（x,t）上任一點(diǎn)的z方向速度分量,因?yàn)槲⒄穹ǖ钠露纫彩切×?即

4、,即波面抬高速度近似等于 z 方向的速度分量,代入上式得,與 聯(lián)立有：,對(duì)于微振幅波，上式近似在z=0處滿足,（7-17）,將式（7-15）代入上式并求導(dǎo)后得：,（7-18）,所以 （7-22）,所以 (7-24),適用于各種水深,若已知, 由（7-24）式可確定；,將C=L/T， K=2L代入式（7-23）可得,（7-25）,若已知, 由（7-25）式經(jīng)逐次逼近可確定。, 水波按水深進(jìn)行分類,波速公式 適用于各種水深,由于雙曲函數(shù) 具有漸近值,所以按雙曲函數(shù)的性質(zhì)將水波進(jìn)行分類，其目 的是為了工程應(yīng)用方便。,所謂深水波、淺水波，是一種相對(duì)概念。,表71水波分類,淺水波：波速只是水深的函數(shù)，與

5、波長(zhǎng)無(wú)關(guān),深水波：波速只是波長(zhǎng)的函數(shù)，與水深無(wú)關(guān),中等水深波：波速是波長(zhǎng)與水深的函數(shù),-流體質(zhì)點(diǎn)的軌道運(yùn)動(dòng),軌圓半徑= a e k z,深水波：流體質(zhì)點(diǎn)沿圓周等速運(yùn)動(dòng),淺水波：流體質(zhì)點(diǎn)作橢圓軌道運(yùn)動(dòng),長(zhǎng)軸從波面到水底不變，短軸從底部的零值逐漸 增加到波面處的波振幅。,中等水深波：流體質(zhì)點(diǎn)作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)短軸 均沿水深變化。,證明如下：,由（715）,利用= gk tanh kh 可將 改寫成:,（7-27）,兩個(gè)速度分量的相位差為/2,對(duì)應(yīng) a/L=1/20及a/h=1/5,積分(7-28)得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道:,將上式兩邊平方相加：,(7-29),(7-31),為橢圓中心,中等水深波: a, 隨

6、 h 增加而減小，即橢圓越 小越扁，在= -時(shí)，=， 水質(zhì)點(diǎn)沿底部作水平往復(fù)運(yùn)動(dòng)。,軌道為橢圓，長(zhǎng)軸不變，短軸隨水深逐漸減 小，在底部為零，波面處為振幅,深水波: 將、中的雙曲函數(shù)展開,當(dāng)L/2時(shí)，有-，因此,(7-33),深水波傳播速度與波長(zhǎng)、周期的變化關(guān)系：,這組數(shù)據(jù)表明：,波長(zhǎng)增加，周期增加，傳播速度增加。,在無(wú)風(fēng)的海域，其它海區(qū)的波浪傳播到無(wú)風(fēng)海域 形成涌浪，這就是無(wú)風(fēng)三尺浪的原因。,- 前進(jìn)水波中的壓力分布,在拉格朗日積分式（7-）中忽略v2/2項(xiàng)可得,(7-34),將（7-15）代入上式得有限水深相對(duì)壓強(qiáng)：,式中acos(kx-t)為波面方程。,定義壓力反應(yīng)系數(shù),方程（7-35）或

7、 (7-36)只適于 z0 的區(qū)域,討論：,當(dāng)z1時(shí)（-35）對(duì)于的正值無(wú)效。因小振幅波的近似，即自由面條件（動(dòng)力學(xué)條件）式（7-11）中用=代替了=,上式第一項(xiàng)為波動(dòng)壓強(qiáng)，第二項(xiàng)為靜水壓強(qiáng)。,1. 當(dāng)z1時(shí)（初始平面以下所有深度） kp ,壓力分布與取正值的靜水壓力分布規(guī)律相符,3.當(dāng)時(shí),(7-38),即底部的靜水壓力為/,在波谷下（為負(fù)): 底部壓力大于靜水壓力,在波峰下（為正):底部壓力小于靜水壓力,若已知水平面以下某處的壓強(qiáng)，可以反過(guò)來(lái)預(yù)測(cè)波高。,底部壓強(qiáng)隨時(shí)間和位置的變化將引起流體在砂床這類疏松介質(zhì)中的流動(dòng)。實(shí)際流體中會(huì)引起波能的粘性耗散。,(7-40),-波群與波群速,波群(Wav

8、e Group )：多種不同頻率的波疊加在 一起形成的波。,設(shè)和為兩個(gè)簡(jiǎn)諧波為：,而kk，a, T相同，,（741）,迭加后得合成波:,因，上式可近似為,使合成波列具有波長(zhǎng)/，周期/ 和波速（相速度）/；,(7-42),合成波由兩部分組成：,sin(kx-t) : 負(fù)責(zé)調(diào)制合成波的波長(zhǎng)與周期,振幅調(diào)制波具有較合成波列大得多的波長(zhǎng)和周期,振幅調(diào)制波的傳播速度 ,與合成波列的傳播 速度 不相同。,: 負(fù)責(zé)調(diào)制合成波列的振幅,波長(zhǎng)為 , 周期為 , 傳播速度為,振幅調(diào)制波將合成波列分成振幅由小到大，又由 大到小的一群。,包絡(luò)線將合成波分成一個(gè)個(gè)波群。,群波的長(zhǎng)度為：,合成波列稱為波群（wave gr

9、oup),合成波列以相對(duì)速度(C-Cg)進(jìn)入振幅調(diào)制波的 節(jié)點(diǎn), 振幅從零逐漸加大到2a,又逐漸減小到零。,群速度：振幅調(diào)制波的傳播速度為這一群波的 前進(jìn)速度。,振幅調(diào)制波以群速度Cg傳播,Cg等于波能的傳遞速度（待續(xù)）,由(7-23)式 兩邊對(duì)k求導(dǎo)得：,所以：,上述結(jié)果代入（-）式：,利用(-3)以及sinh2x = 2sinhx coshx，,適用于,波群速為單獨(dú)水波前進(jìn)速度之半,極淺水波 ( 因 ):,(7-46),波群速與單獨(dú)水波前進(jìn)速度相等,- 船 波,Kelvin計(jì)算了以等速U前進(jìn)的壓力點(diǎn)的興波情況, 波系見下圖, 圖中為波峰線。,橫波和散波互相干擾并隨同壓力點(diǎn)一起前進(jìn)。,船首、

10、船尾形成前、后駐點(diǎn)。駐點(diǎn)處流體 的動(dòng)能轉(zhuǎn)變成壓能, 該處壓力升高,可認(rèn)為該 點(diǎn)的造波作用與壓力點(diǎn)相同。,船舶航行首尾各有一Kelvin波系見下圖：,船舶所遭受的興波阻力與首、尾兩個(gè)橫波系之 間的干擾有很大關(guān)系。,興波阻力系數(shù)曲線上的“峰”和“谷”就是這一干擾的結(jié)果, 見下圖：,設(shè)計(jì)船舶時(shí),應(yīng)使在設(shè)計(jì)航速時(shí)船舶處于 興波阻力系數(shù)“谷點(diǎn)”的位置,有利干擾興波。,-波能的傳遞及興波阻力,水波運(yùn)動(dòng)是流體動(dòng)能與勢(shì)能之間的平衡結(jié)果，討論波能的傳遞與興波阻力的研究很有關(guān)系。,1. 波浪的總能量為動(dòng)能與勢(shì)能之和，動(dòng)能與 勢(shì)能相等。,2.波能與波幅的平方成正比，與水深無(wú)關(guān)。,3. 波能的傳播速度就是群速度。,結(jié)

11、論：,對(duì)于余弦波，一個(gè)波長(zhǎng)的勢(shì)能為：,(7-48),動(dòng)能 ：,: 一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)由自由表面、底面及兩側(cè)面組成的閉邊界線.,為邊界外法線,左右垂直側(cè)面上積分路線相反，積分互相抵消。,水底:,（-49）式中只剩下沿自由表面OAB的積分,對(duì)于微振幅波， 取值近似由=代替=,由式（7-26）,(7-51),(7-52),因gk tanh kh, 則,將（7-51），（7-52）代入（-50）：,一個(gè)波長(zhǎng)的波總能量為,(7-54),單位長(zhǎng)度波浪的總能量：,在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)，通過(guò)軸傳播的能量等于壓力對(duì)軸所做的功，即：,波能傳遞,結(jié)論：波能的傳播速度就是群速度,證明：,(7-55),由（7-26）式得,（7-5

12、6）,由（-34）式得,當(dāng)const. 這時(shí)gz為常數(shù)， 隨時(shí)間變化,能量傳播，只與 有關(guān),由（7-56）式有：,(7-58),將式（7-57）和（7-58）代入（7-55）：,因?yàn)?z軸處，x=0,所以,積分,所以,表明：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過(guò)軸的能量，等于單位 長(zhǎng)度波能乘上群速度，即波能傳遞速度等于 群速度。,興波阻力,船舶在水面航行，興起波浪，一部分波能由船舶提供，這就是興波阻力。,船舶遭受的阻力有：粘性阻力和興波阻力，興波阻力是理想流體作用于船舶上的壓差力。,船到波隨，船波波速就等于船速,時(shí)間內(nèi)船后新增波浪長(zhǎng)度由老波以波群速傳來(lái)一部分能量,由于=，故,另一部分由船舶克服興波阻力做功而提供,則能量

13、平衡方程式為：,(7-60),對(duì)于深水,這一結(jié)論不僅適用于余弦波，其它波動(dòng)同樣適用,深水中船舶所遭受的興波阻力是波能的一半,興波阻力的大小與振幅的平方成正比,在極淺水中，波浪前進(jìn)的最大速度不能超過(guò)臨界速度 ，,若船的航行速度大于 ，則沒有波浪可以跟隨它，興波阻力也就不可能產(chǎn)生。,例.1 某小船在無(wú)限深水的波浪中每分鐘搖擺 30次，求波長(zhǎng)，圓頻率，波數(shù)， 以及波形傳播速度,解: 船航速為零，單純由波浪引起的搖擺,則周期,圓頻率,波數(shù),波長(zhǎng),波速,例.3 水深=10，自由面上有一沿軸正向 傳播的平面小振幅波， 波長(zhǎng)=30,求： ）波幅.1m時(shí)的自由面形狀; ）波的傳播速度； ）波幅0.1m衡位置在

14、水平面以下0.5處 流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡； ）水平面以下1，2處流體的平均壓力； ）波系的群速度。,解: 1）由式（7-16）,波數(shù),圓頻率由（-20）為,波面方程為,）波的傳播速度(相速度),）由（-20）式流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程,其中,取 Z0=0.5m，a=0.1m，h=10m，k=0.209，得:,4 ) 由（-25）式計(jì)算壓力,在一個(gè)周期內(nèi)的均值為零，故有：,壓力與靜壓分布相同,故水下1和2處流體的壓力分別為:,5 )由式(7-44)可得：,例7.4 波長(zhǎng)為6.28m，在某一深度次波面的波高 減小一半，試求這一深度。,所以 z=ln(1/2)= - 0.693m,解：流體質(zhì)點(diǎn)得軌圓半徑為= aekz,在波面上 Z0=0, r0=a,在任意水深 = aekz,由題意 r0=2a，則= aekz ，a=2 aekz,所以 ekz1/2,K=2/ =6.28/6.28=1,ekz = ez = 1/2,例7.6 設(shè)無(wú)限深水中波浪得波長(zhǎng)為15m和150m，,求：1）這兩種波長(zhǎng)