第二章--含時間因素的貨幣等值.ppt

1、第二章 含時間因素的貨幣等值計算,一、貨幣的時間價值 1.概念： 2.意義： 3.利息和利率 利息：放棄資金使用權所得的報酬或占用資金所付出的代價，亦稱子金 利率：單位本金在一個計息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息。有年、月、日利率等 4.單利和復利 單利：本金生息，利息不生息 復利：本金生息，利息也生息。即“利滾利” 復利計息法比單利計息法更符合資金的時間價值規(guī)律。因此在技術經(jīng)濟分析中一般采用復利計算 5. 等值與等值換算 考慮時間因素的情況下，不同時點的絕對值不等的資金可能具有相等的價值 等值的三個因素：金額；金額發(fā)生的時間；利率 利用等值的概念，可把一個時點的資金額換算成另一時點的等值金額，即：等值換算

2、。如“折現(xiàn)”、“貼現(xiàn)”,把貨幣作為生產(chǎn)資金（或資本）投入到生產(chǎn)或流通領域，在此過程中隨著時間的推移所增加（減少）的價值, 體現(xiàn)投資收益水平和標準； 解決可比性問題,本金，現(xiàn)值,利息,二、資金等值計算基本公式（利息公式） 1.基本參數(shù) 利率、收益率、貼現(xiàn)率（i） 現(xiàn)值（P）：又稱為期初值，是指發(fā)生在時間序列起點處的資金值 終值（F）：資金發(fā)生在（或折算為）某一特定時間序列終點的價值 等額年金或年值（A）：指一定時期內(nèi)每期有相等金額的收付款項，如租金、保險金、養(yǎng)老金等通常采取年金的形式 年金可以在每期期末，或者期初，也可以在距今若干期內(nèi)的每期期末收付款 2.現(xiàn)金流量圖表示現(xiàn)金流量的工具之一 含義：

3、表示某一特定經(jīng)濟系統(tǒng)現(xiàn)金流入、流出與其發(fā)生時點對應關系的數(shù)軸圖形。 由一個帶有時間刻度的橫軸和一系列垂直于橫軸的長短不一的箭頭所組成。能夠反映出現(xiàn)金流量的三大要素，即：大小、流向、時間點 例1：（1）說明右側現(xiàn)金流量圖的所 描述的含義,通常為評價時刻的點，即現(xiàn)金流量圖的零點處,箭頭的長短表示,箭頭的方向，向上表示現(xiàn)金流入，向下則流出,橫軸的時間刻度 本年年初與上一年年末重合, 計息期數(shù)（n）,（2）某煉鐵廠計劃從現(xiàn)在算起，第6年末和第10年末分別需要提取現(xiàn)金80萬元和100萬元，若銀行利率i=8%，若從現(xiàn)在起每年年末等額存款A，連存5年，試畫出該現(xiàn)金流量圖。 3.基本公式 一次支付類型 一次支

4、付終值公式 例2 ：某建筑公司進行技術改造，98年初貸款100萬元，99年初貸款200萬元，年利率8%，2001年末一次償還，問共還款多少元？ 解：先畫現(xiàn)金流量圖，如右圖所示，則 F=100(F/P，8%，4)+200(F/P，8%，3) =100(1+8%)4+200(1+8%)3 一次支付現(xiàn)值公式, ,0,1,3,2,n-1,n,P,一次支付終值系數(shù),0,1,2,3,4,F=?,100,200,已知P，求F,已知F，求P,=1001.3605+2001.2597=387.99（萬元）,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,100,A,A,A,A,A,80,F=?,例3：某公司計劃從

5、現(xiàn)在起的第10年末需2500萬元存款。為達到此目的，該公 司今天一次存入銀行500萬元，銀行利率為15%，求第3年末需存入銀行多 少萬元才能滿足計劃？ 解：先坐現(xiàn)金流量圖，如右邊所示，則 500(F/P, 15%, 10)+X(F/P, 15%,7) = 2500 X = 2500 - 500(F/P, 15%, 10)(P/F, 15%,7) = (2500 - 5004.046)0.3759 = 179.3（萬元） 2500(P/F, 15%, 10) = 500 + X(P/F, 15%, 3) 例4：某廠今天存入銀行500萬元，預計在第2年末再存入500萬元，在第8年末將提取1000萬

6、元用于技術改造，其余準備在第10年末一次取出2500萬元，問15%的利率能否實現(xiàn)該計劃？ 解：現(xiàn)金流量圖如右邊所示。 則現(xiàn)金流出F1=500(F/P, 15%, 10) + 500(F/P, 15%, 8) = 3552.3 現(xiàn)金流入F2=1000(F/P, 15%, 2) + 2500 = 3823 F1 F2，故15%的利率不能實現(xiàn)該計劃,(F/P, i, n)與(P/F, i, n)互為倒數(shù),0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,500,X=?,2500,現(xiàn)金流入終值=現(xiàn)金流出終值,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,500,2500,500,1000,假設15%的利率

7、能夠實現(xiàn)。以第10年末為基準點，,基準點！,等額支付類型 等額支付系列終值公式（等額年金終值公式 ） F=A(F/P, i, n-1) + A(F/P, i, n-2) + + A(F/P, i, 1) + A(F/P, i, 0) =A(1+i)n + (1+i)n-1 + (1+i) + 1 例5：某公路工程總投資10億元，5年建成，每年末投資2億元，年利率為7%，求5年末的實際累計總投資額。 解：此項目的現(xiàn)金流量圖如右邊所示 F=2(F/A, 7%, 5)=25.7507=11.5（億元） 等額支付系列積累基金公式（等額支付償債基金公式 ）, ,0,1,3,2,n-1,n,A,F=?,已

8、知A，求F,等額支付系列終值系數(shù),0,1,2,3,4,5,2,F=?, ,0,1,3,2,n-1,n,A=?,F,A=?,A=?,A=?,A=?,已知F，求A,兩者互為倒數(shù),，則5年末的實際累計總投資額為,等額支付系列現(xiàn)值公式（等額年金現(xiàn)值公式 ） 法一：P = A(P/F, i, 1) + A(P/F, i, 2) + + A(P/F, i, n-1) + A(P/F, i, n) =A(1+i)-1 + (1+i)-2 + + (1+i)(n-1) + (1+i)-n 法二：F = A(F/A, i, n) P = F(P/F, i, n) = A(F/A, i, n) (P/F, i,

9、n) 例6：某建筑公司打算貸款購買一部10萬元的建筑機械，利率為10%。據(jù)預測，此機械使用年限10年，每年平均可獲凈利潤2萬元。問所得凈利潤是否足以償還銀行貸款？ 解：已知A=2，i=10%，n=10，求P是否大于等于10萬元 P=A(P/A, i, n)=2(P/A,10%,10)=26.1445=12.289 10 等額支付系列資金恢復公式（資金回收公式 ）, ,0,1,3,2,n-1,n,A,P=?,已知A，求P,F=?,已知P，求A, ,0,1,3,2,n-1,n,A=?,P,A=?,A=?,A=?,A=?,例7:（1）假設在孩子第4個生日時存入一筆錢，以便孩子從第18個生日到第22個

10、生日（包括這兩個生日在內(nèi)），每個生日都可提取2000元。設年利率為8%，請問一次存入的總金額是多少？ 解：設一次存入的總金額為P，畫出現(xiàn)金流量圖如右邊所示 則 P= =20005.86660.2502=2935.65（元） 或解 P=2000(P/A, 8%, 5)(P/F, 8%, 13) （2）上題中，若無法按所算得的總金額進行投資。現(xiàn)先在第4個生日存入1500元，然后從第5個生日到第12個生日（包括這兩個生日在內(nèi)）每年等額存款，設年利率為8%，請問從第5個到第12個生日每年的存款時多少元？ 解：設從第5個到第12個生日每年的存款為A，畫出現(xiàn)金流量圖如右邊所示 則 A= (A/P, 8%,

11、 8) =20003.99270.3677-1500 0.1740 =250.36（元）,0,1,2,3,4,18,19,20,21,22,2000,P=?,0,1,2,3,4,18,5,22,2000,1500,12,A=？,(P/F, 8%, 18),2000(F/A, 8%, 5),2000(P/A, 8%, 5)(P/F, 8%, 13),-1500,例8：在下面的現(xiàn)金流量圖中，壽命期為10年，若考慮資金的時間價值 以后（假設利率為i），總現(xiàn)金流出等于總現(xiàn)金流入。利用資金等值計 算系數(shù)，用已知項求未知項。 (1)已知A，P2，F(xiàn)，求P1； = (2)已知A，P1，F(xiàn)，求P2； =,A,

12、A,P1,P2,F,A(F/A, i, 4)(P/F, i, 9),A(P/A, i, 4)(F/P, i, 5),+P2(P/F, i, 5),F(P/F, i, 10),A(P/A, i, 4),A(P/A, i, 4),(P/F, i, 5),P1,+,+,P2 + P1(F/P, i, 5),F(P/F, i, 5),A(P/A, i, 4),A(F/A, i, 4),(F/P, i, 1),+,+,基準點,！,均勻梯度系列公式 終值公式 F2=G(n-1) + (n-2)(1+i) + 2(1+i)n-3 + (1+i)n-2 (1+i)F2= G(n-1)(1+i) + 3 (1+

13、i)n-3 + 2(1+i)n-2 + (1+i)n-1 iF2=G-n + 1 + (1+i) + (1+i)n-3 + (1+i)n-2 + (1+i)n-1 可得, ,0,1,3,2,n-1,n,A1+2G,F=?,A1 +G,A1,A1+(n-2)G,A1+(n-1)G, ,0,1,3,2,n-1,n,2G,F2=?,G,(n-2)G,(n-1)G, ,0,1,3,2,n-1,n,F1=?,A1,F=F1+F2=A1(F/A, i, n) + F2,定差終值系數(shù),錯位相減法,現(xiàn)值公式 年金公式 例9：設某技術方案服務年限8年，第一年凈利潤 為10萬元，以后每年遞減0.5萬元。若年利率為

14、10%， 問相當于每年等額盈利多少元？ 解：已知A1=10萬元，遞減梯度量0.5萬元，i=10%，n=8，則 均勻梯度支付的等值年金為 A=10 - 0.5(A/G, 10%, 8)=10-0.53.0045 = 8.5（萬元）, ,0,1,3,2,n-1,n,2G,F2,G,(n-2)G,(n-1)G, ,0,1,3,2,n-1,n,A2=?,F2,F2(A/F, i, n),A = A1+ A2 = A1+ G(A/G, i, n),=G(A/G, i, n),A2=,利息公式小結 一次支付 等額支付 均勻梯度支付,終值公式,現(xiàn)值公式,已知P，求F,已知F，求P,F = P(F/P, i,

15、 n) = P(1+i)n,P = F(P/F, i, n) = 1/P(F/P, i, n),年金終值公式,積累基金公式,年金現(xiàn)值公式,資金恢復公式,已知A，求F,已知F，求A,已知A，求P,已知P，求A,F = A(F/A, i, n),A = F(A/F, i, n),= 1/A(F/A, i, n),P = A(P/A, i, n),A = P(A/P, i, n),= 1/P(A/P, i, n),終值公式,現(xiàn)值公式,等值年金公式,已知G，求F,F = A1(F/A, i, n) + G(F/G, i, n),已知G，求P,P= A1(P/A, i, n) + G(P/G, i, n

16、),已知G，求A,A= A1 + G(A/G, i, n),特別注意P，F(xiàn)，A，G發(fā)生的時間點,三、名義利率與實際利率 利率的時間單位與計息周期不一致時，就出現(xiàn)了名義利率和有效利率的概念 1、名義利率是指按年計算的利率，即：計息周期為一年，等于每一計息期的利率與每 年的計息期數(shù)的乘積。 例1：每月計息一次，每月計息期的月利率為3，則這3為實際計息用的利率，稱為 實際利率（有效利率），但習慣上往往說成“年利率為3.6%（= 312），每月 計息一次”，此處，“年利率為3.6%”指的是名義年利率。 ？“存款每半年計息一次，每半年計息的利率為3%” 問 ：其中，實際計息用的利率 為多少，名義年利率又

17、是多少？ ？“存款每年計息一次，每年計息的利率為5%” 問：其中，實際計息用的利率為多 少，名義利率又是多少？ 名義利率指年利率，而實際利率并不一定是年利率，在沒有特別說明的情況 下，年利率一般指名義利率。 當計息周期為一年時（即：每年計息一次），名義利率等于實際利率。,2、什么是實際利率（有效利率）？ 根據(jù)國際“借貸真實法”，有： 實際利率就是按復利計息的實際利息與本金的比值。 例2：對于存款每月計息一次，若每月存款月利率為3，則實際月利率為多少？名義 年利率為多少？實際年利率又是多少？ 解：實際月利率為3；名義年利率為312=3.6%； 為計算實際年利率，首先需計算一年的利息額，對于一個單

18、位的本金，由于一個月 計息一次，一年共計息12次，每次計息利率為3，按復利來計算，一年后的本利 和為(1+ 3)12，則其利息為(1+ 3)12 -1=0.0366，故其實際年利率為 例3：設本金P=100元，年利率為10%，半年計息一次，求實際年利率。 解：已知名義年利率為10%，半年計息一次，其計息的實際利率為10%2=5%，則 年末本來和應為： 故，年利息為：,復利!,F=P(1+i)n=100(1+5%)2=110.25（元）,F-P=110.25-100=10.25（元）,終值-現(xiàn)值=利息,（并不一定為一年）,實際計息周期短于一年時， 實際利率要高于名義利率,? 設名義年利率為r，每

19、年計息期為m，問實際年利率為多少？ （1）每個計息期的實際利率為多少？ （2）一年后的本利和為多少？ （3）其利息I為多少？ （4）實際年利率為： 拓展：設名義利率為r，每年計息期為m，則在該計息周期內(nèi)實際進行的計息 次數(shù)為n（與前不同之處在于？），則該計息周期的實際利率為： 名義利率不能完全反映資金的時間價值，實際利率才能真實的反映了資金 的時間價值。,終值-現(xiàn)值=利息,例4：某廠向外商訂購設備，有兩家銀行可以提供貸款，甲銀行年利率為 8%，按月計息，乙銀行年利率為9%，按半年計息。兩家銀行均為復利 計算，試比較哪家銀行貸款條件優(yōu)越。 分別計算甲、乙銀行的 實際年利率，有： i甲 = (1+

20、r/m)m - 1 = (1 +8%/12)12 -1 = 0.0830100% = 8.30% i乙 = (1+r/m)m - 1 = (1 +9%/2)2 -1 = 0.0920100% = 9.20% 所以，選擇甲銀行貸款 涉及名義利率與實際利率的等值計算 計息期與支付期一致的計算 例5：年利率為8%，每季度計息一次，每季度末借款1400元，連續(xù)借16 年，求與其等值的16年末的將來值為多少？ 解：已知A=1400元，i =8%/4=2%，n=164=64，故 F=A (F/A, i, n) = 1400(F/A, 2%, 64) = 178604.53（元）,解：企業(yè)應該選擇具有較低實

21、際利率的銀行貸款。,！死套活用,計息期短于支付期的計算 例6：年利率為10%，每半年計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)3年每年年末等額取 款500元，問現(xiàn)在應存入銀行多少錢才足以實現(xiàn)這目標？ 先求出支付期的實際利率，為： i實際=(1 + 0.1/2)2-1 = 10.25% 則，P = 500(P/A, 10.25%, 3) ？若題中已告知條件“(P/A,10%,3)=2.4869, (P/A,12%,3)=2.4018”，如何求 先利用直線內(nèi)插法求出(P/A, 10.25%, 3) 故， P = 500(P/A, 10.25%, 3) = 5002.4763 = 1238.15（元） P = + +

22、=500(0.9070 + 0.8227 + 0.7462) = 1237.95（元）,0,0.5,1,1.5,2,2.5,500,3年,500,500,P=？,500(P/F, 5%,2),500(P/F, 5%,4),500(P/F, 5%,6),解二:,解一:,每年年末取款500元，可以等效為每半年取款 A=500(A/F, i, n) =500(A/F, 5%, 2)=5000.4847=243.9（元） = 243.9 =243.95.0757 = 1237.97（元） 計息期長于支付期的計算 計算原則：相對于投資方來說：(1) 計息 期的存款放在期末；(2) 計息期的提款放在 期初

23、；(3) 計息期分界點處的支付保持不變 例7：已知某財務活動的現(xiàn)金流量圖，年利率 為12%，每季度計息一次，求年末終值F。 解：F=(-300+200)(1+4%)4 +300(1+4%)3+100(1+4%)2-300+100(1+4%)+100 = 112.36（元）,解三:,0,0.5,1,1.5,2,2.5,500,3,500,500,P=？,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,P=？,A,0,1,2,3,6,7,11,8,9,10,300,100,4,12月,5,100,100,0,1,2,3,4季,300,300,300,200,100,100,則，P = A (P/A, i,

24、 n),(P/A, 5%,6),A,? i實際= (1+r/m)m-1中當m時，有什么含義，其有效年利率又是多少？ 相當于復利可以在一年中無限多次的計算，即每時每刻均以復利計息， 將這種計息方式稱為連續(xù)復利。此時，有效年利率為 例如：連續(xù)復利6%的年實際利率為i = e6% - 1 = 6.1837% 例8：某項目一年借款1000萬元，支取時間在該年內(nèi)連續(xù)均勻分布，利息 按支取的時間開始連續(xù)計息，年名義利率為10%，求至年底的本利和。 先考慮：借款在改年內(nèi)分n次均勻支取，每次支取1000/n萬元，每個計息 期的利率為0.1/n，其現(xiàn)金流量圖如右邊所示。 則, 至年底的本利和為 F=1000/n

25、(F/A, 0.1/n, n) 再考慮：對于本題，由題設，即當n 時的情形，故有, ,0,1,3,2,n-1,n,1000/n,F=?,還款計劃 例9：某人獲得10000元借款，償還期為5年，利率為10%。在以下幾種還 款方式中，按復利計算此人還款總額和利息總額各是多少？ （1）第5年末一次還清本利。 （2）每年末償還所欠利息，第5年末一次還清本金。 解: （1）第5年末一次還款總額為 F = P(F/P, 10%, 5) = 10000(1+10%)5 = 16105.1（元） I = F P = 16105.1 10000 = 6105.1（元） （2）每年年末所償還的利息為 I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = 1000010% = 1000（元） 還款總額為F = 10000 + 10005 = 15000 利息為I = 15000 10000 = 5000（元）,（3）每年年末償還2000元本金和當年利息。 （4）每年年末等額償還本利和。 解: （3） I1 = 1000010% = 1000（元） I2 = (10000-2000)10% = 800（元） I3 = (10000-4000)10% = 600（元）