矩陣及其運(yùn)算.ppt

1、矩陣及其運(yùn)算,1 矩陣概念的引入,例1 一家開辦了3個(gè)練油廠的公司，每個(gè) 煉油廠生產(chǎn)3種食油產(chǎn)品：燃料油、柴油和汽 油. 設(shè)從1桶原油中第一個(gè)煉油廠可以生產(chǎn)出64 升燃料油、32升柴油及16升汽油；第二個(gè)煉油 廠可以生產(chǎn)出32升燃料油、80升柴油及40升汽 油；第三個(gè)煉油廠可以生產(chǎn)出32升燃料油、32 升柴油及80升汽油，這些數(shù)據(jù)可以用下列數(shù)表 表示.,A的每一列是一個(gè)煉油廠生產(chǎn)的三種產(chǎn)品數(shù) 量，A的每一行是三個(gè)煉油廠生產(chǎn)某一鐘產(chǎn)品 的數(shù)量.像A這樣由33個(gè)數(shù)組成的長方形表格， 稱為矩陣.,例2 線性方程組,的解取決于,系數(shù),常數(shù)項(xiàng),對線性方程組的 研究可轉(zhuǎn)化為對 這張表的研究.,線性方程組的

2、系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為,例3 某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線 ,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接 A 與B.,四城市間的航班圖情況常用表格來表示:,發(fā)站,到站,這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.,矩陣的定義 由mn個(gè)數(shù)aij（i=1,2, ,m; j=1,2, n)排成的m行n列的數(shù)表,簡記為,元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.,主對角線,副對角線,如果m=n,則稱A為n階矩陣或n階方陣. n階 方陣也記作An . 只有一行的距陣,稱為行距陣，又稱行向量.,只有一列的矩陣,稱為列矩陣，又稱列向量 .,兩個(gè)矩陣

3、的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱它 們是同型矩陣.如果 A=(aij) 與 B=(bij)是同型矩 陣并且它們的對應(yīng)元素相等，即,則稱矩陣A與B相等，記作,A=B,只有一個(gè)元素 a 的矩陣稱為一階距陣，記 作(a),所有元素都是零的矩陣稱為零距陣，記作 . 注意不同型的零矩陣不相等.,例 設(shè),解,n階方陣,叫做n 階單位矩陣，簡記作或，其特點(diǎn)是 主對角線上的元素都是，即,上三角形矩陣主對角線下方元素全為零、上方的 元素不全為0的方陣。如：,等,下三角形矩陣主對角線上方的元素全為零，下方 的元素不全為0的方陣。,例,的線性變換，其中aij為常數(shù)，線性變換(*)的,(*),與m個(gè)變量,表示一個(gè)從變量,到

4、變量,系數(shù)構(gòu)成 矩陣,系數(shù)矩陣,若線性變換為,稱之為恒等變換.,單位陣.,階方陣,這個(gè)方陣的特點(diǎn)是：不在主對角線上的元素都是 0 。這種方陣稱為對角陣。對角陣也記作,對應(yīng),又例如線性變換,加法,2.矩陣的運(yùn)算,設(shè)有兩個(gè) 矩陣 那末矩陣 與 的和記作 ，規(guī)定為,說明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn) 行加法運(yùn)算.,例如,矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律,數(shù)與矩陣相乘,數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律,矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.,（設(shè) 為 矩陣， 為數(shù)）,設(shè)甲、乙兩家公司生產(chǎn)、三種型號的計(jì)算機(jī)，月產(chǎn)量（單位：臺(tái)）為,如果生產(chǎn)這三種型號的計(jì)算機(jī)的每臺(tái)的利潤（單位：萬元/臺(tái)）為,矩陣與矩陣相乘,則這兩家公

5、司的月利潤（單位：萬元）應(yīng)為,可見，甲公司每月的利潤為291萬元，乙公司的利潤為341萬元,矩陣與矩陣乘法的一般定義如下：,則由元素,構(gòu)成的mn矩陣,稱為矩陣A與B的乘積，記為C=AB,乘積C 中第i行第j列元素Cij等于A的第i行元素與B的第j列元素對應(yīng)乘積之和，即,A的列數(shù)必須等于B的行數(shù)，A與B才能相乘；,乘積C的行數(shù)等于A的行數(shù)，C的列數(shù)等于B的列數(shù)；,由定義可知：,例,設(shè),例,故,解,注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣 的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.,例如,不存在.,矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律,（其中 為數(shù)）;,若A是 階方陣，則 為A的 次冪，即 并且,注意矩陣不滿足交換律，即：,例

6、設(shè),則,但也有例外，比如設(shè),則有,（2）當(dāng)AB=BA時(shí)，稱A、B為可交換矩陣，或 稱A、B可交換。此時(shí)，A、B必為同階方陣。,小 結(jié),（4）,（3）,矩陣的乘法運(yùn)算 不滿足消去律,定義 把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .,例,轉(zhuǎn)置矩陣,轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì),例 已知,解法1,解法2,對稱陣：若n階方陣A滿足 ，則稱A為n階對稱陣。例如, 分塊矩陣的概念,用穿過矩陣的橫線和豎線將矩陣A分割成若干個(gè)子塊，以這些子塊為元素的矩陣A稱為分塊矩陣。,例如,則A可記作,稱A為以子塊A11、A12、A13、A21、A22、A23為元素的分塊矩陣。,如：,則不是分塊矩陣。, 分

7、塊矩陣,分塊矩陣的加減運(yùn)算,設(shè)A、B同型，且采用完全相同的分塊方法，得,則,注意：A i j與B i j同型, 分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置,設(shè)將A分塊得,則,分塊矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算子塊當(dāng)作元素轉(zhuǎn)置后子塊本身,再轉(zhuǎn)置。如,先把子塊當(dāng)作元素運(yùn)算，然后子塊再運(yùn)算。,只適用于矩陣的加、減、數(shù)乘、相乘、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算。, 分塊矩陣的乘法運(yùn)算,設(shè)A、B矩陣分塊得,則,其中,注意： A的列塊數(shù)=B的行塊數(shù)；A i k的列數(shù)=B k j的行數(shù),例題：設(shè),將A、B適當(dāng)分塊，計(jì)算AB,解 將A、B作如下分塊：在一、二行之間插入橫線， 在一、二列之間插入豎線（如題目所示），則,則,而,所以, 分塊對角矩陣,其中對角線上的子塊全是方陣，其余子塊是零矩陣。如,（方陣）,是,不是,1、矩陣的分塊運(yùn)算分兩步完成，首先，視子塊為元素，按 矩陣的運(yùn)算法則作第一步運(yùn)算，然后，在子塊的運(yùn)算中， 再進(jìn)行實(shí)質(zhì)上的矩