2019版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第4章 平面向量 4.2 平面向量基本定理及坐標表示學案 文

1、42平面向量基本定理及坐標表示知識梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐標運算設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|，|ab|.3平面向量共線的坐標表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.診斷自測1概念思辨(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底()(

2、2)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示()(3)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實數(shù)1，1，2，2滿足1a1b2a2b，則12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A4P119T11)已知|1，|，點C在線段AB上，AOC30.設(shè)mn(m，nR)，則等于()A. B3 C. D.答案B解析依題意，以O(shè)為原點，OA、OB分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A(1,0)，B(0，)，設(shè)C(x，y)，由mn得xm，yn，又AOC30，知，故3，選B.(2)(必

3、修A4P101A組T5)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則_.答案解析解法一：由已知條件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb與a2b共線，即n2m12m8n，.解法二：注意到向量a(2,3)，b(1,2)不共線，因此可以將其視為基底，因而manb與a2b共線的本質(zhì)是對應(yīng)的坐標(系數(shù))成比例，于是有.3小題熱身(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c，則()A. B. C1 D2答案B解析ab(1，2)，由(ab)c，得(1)4320，.故選B.(2)(2014福建高

4、考)在下列向量組中，可以把向量a(3,2)表示出來的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析設(shè)ak1e1k2e2，A選項，(3,2)(k2,2k2)，無解B選項，(3,2)(k15k2,2k12k2)，解之得故B中的e1，e2可把a表示出來同理，C，D選項同A選項，無解故選B.題型1平面向量基本定理及應(yīng)用(2015北京高考)在ABC中，點M，N滿足2，.若xy，則x_，y_.運用向量的線性運算對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直到用基底表示答案解析由2知M為AC上靠近C的三等分點，由，知N為BC的中

5、點，作出草圖如下：則有()，所以MAA()，又因為xy，所以x，y.方法技巧應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點1平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量2選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來3強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等如典例沖關(guān)針對訓(xùn)練設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_答案解析()，12，1，2，故12.題型2平面向量共線的坐標表示及應(yīng)用角度1求點的坐標已知A(2,3)，B(4，3)，點P在線段AB的延長線上，且|A

6、P|BP|，則點P的坐標為_方程組法答案(8，15)解析設(shè)P(x，y)，由點P在線段AB的延長線上，且，得(x2，y3)(x4，y3)，即解得所以點P的坐標為(8，15)角度2研究點共線問題(2018佛山質(zhì)檢)設(shè)(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則的最小值是()A2 B4 C6 D8用到均值不等式、向量問題實數(shù)化答案D解析由題意可得，(1，2)，(a，1)，(b,0)，所以(a1,1)，(b1，2)又A，B，C三點共線，即(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)4448，當且僅當時，取“”故選D.方法技巧1利用兩向量共線求點的

7、坐標利用向量共線的坐標表示構(gòu)造所求點的坐標的方程組，解方程組即可注意方程思想的應(yīng)用如角度1典例2研究點(向量)共線問題兩平面向量共線的充要條件有兩種形式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10.如角度2典例(2)若ab(b0)，則ab.沖關(guān)針對訓(xùn)練1(2017許昌二模)已知ABC的三個頂點的坐標為A(0，1)，B(1,0)，C(0，2)，O為坐標原點，動點M滿足|1，則|的最大值是()A.1 B.1 C.1 D.1答案A解析設(shè)點M的坐標是(x，y)，C(0，2)，且|1，1，則x2(y2)21，即動點M的軌跡是以C為圓心、1為半徑的圓，A(0,1)，B(

8、1,0)，(x1，y1)，則|，幾何意義表示：點M(x，y)與點N(1，1)之間的距離，即圓C上的點與點N(1，1)的距離，點N(1，1)在圓C外部，|的最大值是|NC|111.故選A.2(2018湖北武昌調(diào)考)已知點P(1,2)，線段PQ的中點M的坐標為(1，1)若向量與向量a(，1)共線，則_.答案解析點P(1,2)，線段PQ的中點M的坐標為(1，1)，向量22(11，12)(4，6)又與向量a(，1)共線，4160，即.1(2016全國卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m()A8 B6 C6 D8答案D解析由題可得ab(4，m2)，又(ab)b，432(m2)0，m

9、8.故選D.2(2018福州一中模擬)已知ABC和點M滿足0.若存在實數(shù)m使得m成立，則m()A2 B3 C4 D5答案B解析由0，知點M為ABC的重心，設(shè)點D為邊BC的中點，則()()，所以3，故m3.故選B.3(2017福建四地六校聯(lián)考)已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O為坐標原點，且()，則|等于_答案2解析由()()，知點D是線段AC的中點，故D(2,2)，所以(2,2)，故|2.4(2017湘中名校聯(lián)考)已知在ABC中，ABAC6，BAC120，D是BC邊上靠近點B的四等分點，F(xiàn)是AC邊的中點，若點G是ABC的重心，則_.答案解析連接AD，AG，如圖依題意，有()，()

10、，故26662.基礎(chǔ)送分 提速狂刷練一、選擇題1已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c與d同向 Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向 Dk1且c與d反向答案D解析cd，(kab)(ab)，存在使kab(ab)，cab，c與d反向故選D.2(2018襄樊一模)已知(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是()Ak2 Bk Ck1 Dk1答案C解析若點A，B，C不能構(gòu)成三角形，則向量與共線因為(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)所以1(k1)2k0，解得k1.故選C.3(201

11、8懷化一模)設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案D解析設(shè)d(x，y)，由題意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)故選D.4(2017河南高三質(zhì)檢)在ABC中，BAC60，AB5，AC4，D是AB上一點，且5，則|等于()A6 B4 C2 D1答案C解析設(shè)，()25，可得2515，|2.故選C.5在

12、平面直角坐標系中，O為坐標原點，設(shè)向量a，b，其中a(3,1)，b(1,3)若ab，且01，則C點所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是()答案A解析由題意知(3，3)，取特殊值，0，0，知所求區(qū)域包含原點，取0，1，知所求區(qū)域包含(1,3)選A.6(2017茂名二模)已知向量a(3，2)，b(x，y1)且ab，若x，y均為正數(shù)，則的最小值是()A24 B8 C. D.答案B解析ab，2x3(y1)0，即2x3y3，又x，y0，(2x3y)8，當且僅當2x3y時，等號成立的最小值是8.故選B.7(2017濟南二模)如圖所示，兩個非共線向量、的夾角為，N為OB中點，M為OA上靠近A的三等分點，點C

13、在直線MN上，且xy(x，yR)，則x2y2的最小值為()A. B. C. D.答案A解析因為點C，M，N共線，則，1，由xy，x，y(1)，x2y22(1)22，設(shè)g()2，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，g()取最小值，最小值為g，所以x2y2的最小值為.故選A.8(2017河南中原名校聯(lián)考)如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若(，為實數(shù))，則22()A. B. C1 D.答案A解析()，所以，故22.故選A.9(2018安徽十校聯(lián)考)已知A，B，C三點不共線，且2，則()A. B. C6 D.答案C解析如圖，取，2，以AM，AN為鄰邊作平行四邊形AMDN，此時2.由圖

14、可知SABD3SAMD，SACDSAND，而SAMDSAND，6.故選C.10如圖所示，在四邊形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD135，記向量a，b，則()A.abBabCabD.ab答案B解析根據(jù)題意可得ABC為等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590.以B為原點，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，并作DEy軸于點E，則CDE也為等腰直角三角形由CD1，得CEED，則A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D，(1,0)，(1,1)，.令，則有得ab.故選B.二、填空題11在梯形ABCD中，ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1,2)

15、，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為_答案(2,4)解析在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.設(shè)點D的坐標為(x，y)，則(4x,2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點D的坐標為(2,4)12在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，則角C的大小為_答案60解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理，得b2a2c2ab.由余弦定理，得cosC.又0C180，C60.13(2017太原三模)在ABC中，AB3，AC2，BAC60，點P是ABC內(nèi)一點(含邊界)，若，則|的最大值為

16、_答案解析以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標系，AB3，AC2，BAC60，A(0,0)，B(3,0)，C(1，)，設(shè)點P為(x，y)，0x3，0y，(x，y)(3,0)(1，)(2，)，y(x2)，直線BC的方程為y(x3)，聯(lián)立，解得此時|最大，|.14(2018江西南昌一模)已知三角形ABC中，ABAC，BC4，BAC120，3，若點P是BC邊上的動點，則的取值范圍是_答案解析因為ABAC，BC4，BAC120，所以ABC30，AB.因為3，所以.設(shè)t，則0t1，所以t，又，所以(t)2tt2t4cos1504cos150t424t，因為0t1，所以4t，即的取值范圍是.三、解答題15給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的上運動若xy，其中x，yR，求xy的最大值解以O(shè)為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1,0)，B.設(shè)AOC，則C(cos，sin)，由xy，得所以xcossin，ysin，所以xycossin2sin，又，所以當時，xy取得最大值2.16(2018湖北襄陽階段測試)在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A(1,0)和點B(1，0