天津市高考數(shù)學(xué)文科試題含

1、20162016 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù)數(shù)學(xué)（文史類）學(xué)（文史類） 本試卷分為第卷（選擇題）和第（非選擇題）兩部分，共 150 分，考試用時(shí) 120 分鐘。第卷 1 至 2 頁，第卷 3 至 5 頁。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)， 考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！ 第第 I I 卷卷 注意事項(xiàng)： 1、每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂 其他

2、答案標(biāo)號。 2.本卷共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 參考公式：參考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么如果事件 A，B 相互獨(dú)立， P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A) P(B) 柱體的體積公式 V 柱體=Sh，圓錐的體積公式 V= 1 Sh 3 其中 S 表示柱體的底面積其中其中 S 表示錐體的底面積，h 表示圓錐的高 h 表示棱柱的高 一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. （1）已知集合A 1,2,3，B y | y 2x 1,x A，則AI B= （A）1,3（B）1,2（C）2,3（D）1,2,3 （2）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋

3、的概率是 （A） 5 6 （B） 2 5 11 ，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?32 11 （C）（D） 36 （3）將一個(gè)長方形沿相鄰三個(gè)面的對角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該 幾何體的側(cè)（左）視圖為 x2y2 （4）已知雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)的焦距為2 5，且雙曲線的一條漸近線與直線2x y 0垂直， ab 則雙曲線的方程為 x2y2 22 y 11 （A）（B）x 44 3x23y23x23y2 11 （D）（C） 520205 （5）設(shè)x 0，yR，則“x （A）充要條件 y”是“x | y |”的 （B）充分而不必要條件 （C）必要而不充

4、分條件（D）既不充分也不必要條件 |a1| （6）已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f (2 ) f ( 2)， 則a的取值范圍是 （A）(,) 1 2 （B）(, )( ,)（C）(,)（D）(,) 1 2 3 2 1 3 2 2 3 2 （7）已知 ABC 是邊長為 1 的等邊三角形，點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F， uuu r uuu r 使得DE2EF，則AFgBC的值為 1111 （C）（D） 848 x11 （8）已知函數(shù)f (x) sin2sinx ( 0)，xR.若f (x)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的 222

5、 （A） 5 8 （B） 取值范圍是 （A）(0, （B）(0, ,1)（C）(0, （D）(0, , 1 8 1 4 5 8 5 8 1 8 1 5 4 8 第卷第卷 注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)： 1 1、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. . 2 2、本卷共、本卷共 1212 小題，共計(jì)小題，共計(jì) 110110分分. . 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分分. . （9）i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1i)z 2，則z的實(shí)部為_. （10）已知函數(shù)f (x) (2x+1)

6、ex, f (x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，則f (0)的值為_. （11）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為_. （第 11 題圖） （12） 已知圓 C 的圓心在 x 軸的正半軸上， 點(diǎn)M(0, 5)在圓 C 上， 且圓心到直線2x y 0的距離為 則圓 C 的方程為_. （13） 如圖， AB 是圓的直徑， 弦 CD 與 AB 相交于點(diǎn) E， BE=2AE=2， BD=ED， 則線段 CE 的長為_. 4 5 ， 5 2 xx (4a 3)x3a,x 0 (14) 已知函數(shù)f (x) 且關(guān)于x的方程| f (x)| 2(a 0且a 1)在R上單調(diào)遞減， 3 log a (x1

7、)1,x 0 恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_. 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 8080 分分. . 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. . （15） （本小題滿分 13 分） 在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為 a,b,c，已知asin2B 3bsin A. ()求 B； ()若cosA (16)(本小題滿分 13 分) 某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A,B,C 三種主要原料.生產(chǎn) 1 車皮甲種肥料和生產(chǎn) 1 車皮乙種肥料 所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 1 ，求 sinC 的值 3 現(xiàn)

8、有 A 種原料 200 噸，B 種原料 360 噸，C 種原料 300 噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn) 1 車 皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為 2 萬元；生產(chǎn) 1 車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為 3 萬元.分別用 x,y 表示計(jì)劃生產(chǎn) 甲、乙兩種肥料的車皮數(shù). ()用 x,y 列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； ()問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤. (17)(本小題滿分 13 分) 如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形， 平面 AED平面 ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE= 6 ，DE=3， BAD=60，G 為

9、 BC 的中點(diǎn). ()求證：FG|平面 BED； ()求證：平面 BED平面 AED； ()求直線 EF 與平面 BED 所成角的正弦值. (18)(本小題滿分 13 分) 已知an是等比數(shù)列，前 n 項(xiàng)和為SnnN，且 ()求an的通項(xiàng)公式； ()若對任意的nN,bn是log2an和log2an1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列 （19） （本小題滿分 14 分） 112 ,S 6 63. a 1 a 2 a 3 1nb n 2 的前 2n 項(xiàng)和. x2y2113e 1（a 3）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知 設(shè)橢圓 2 ，其中O為原點(diǎn)， a3|OF |OA| FA| e為橢圓的離心率. （）求橢圓的方程

10、； （） 設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B（B不在x軸上） ， 垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M， 與y軸交于點(diǎn)H， 若BF HF，且MOA MAO，求直線的l斜率. （20） （本小題滿分 14 分） 設(shè)函數(shù) f (x) x axb，xR，其中a,b R （）求f (x)的單調(diào)區(qū)間； （）若f (x)存在極值點(diǎn)x 0 ，且 f (x 1) f (x0 )，其中x 1 x 0 ，求證：x 1 2x 0 0； （）設(shè)a 0，函數(shù)g(x) | f (x)|，求證：g(x)在區(qū)間1,1上的最大值不小于 . 3 1 4 20162016 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（

11、天津卷） 數(shù)數(shù)學(xué)（文史類）參考答案學(xué)（文史類）參考答案 一、選擇題： （1） 【答案】A （2） 【答案】A （3） 【答案】B （4） 【答案】A （5） 【答案】C （6） 【答案】C （7） 【答案】B （8） 【答案】D 二、填空題：二、填空題： （9） 【答案】1 （10） 【答案】3 （11） 【答案】4 （12） 【答案】(x2)2 y29. （13） 【答案】 2 3 3 1 2 3 3 (14) 【答案】 , ) 三、解答題三、解答題 （15） 【答案】 （）B 【解析】 試題分析： （）利用正弦定理，將邊化為角：2sin AsinBcosB 3sinBsin A,再根據(jù)三角

12、形內(nèi)角范圍化簡 6 （） 2 6 1 6 得cosB 3 ，B （）已知兩角，求第三角，利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和， 26 再根據(jù)兩角和的正弦公式求解 試題解析： （）解： 在ABC中，由 ab ，可得asinB bsinA，又由asin 2B 3bsin A得 sin Asin B 3 ，得B ； 26 2asin BcosB 3bsin A 3asin B，所以cosB （）解：由cos A 2 21 得sin A ，則sinC sin(A B) sin(A B)，所以 33 312 6 1 sin Acos A 226 sinC sin(A 6 ) 考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的

13、基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理 (16) 【答案】 （）詳見解析（）生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時(shí)利潤最大，且最大利潤為112萬 元 【解析】 試題分析： （）根據(jù)生產(chǎn)原料不能超過A 種原料 200 噸，B 種原料 360 噸，C 種原料 300 噸，列不等關(guān)系 式，即可行域，再根據(jù)直線及區(qū)域畫出可行域（）目標(biāo)函數(shù)為利潤z 2x 3y，根據(jù)直線平移及截距變 化規(guī)律確定最大利潤 4x 5y 200 8x 5y 360 試題解析： （）解：由已知x, y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為3x 10y 300，該二元一次不等式組所表示的區(qū) x 0 y 0 域?yàn)閳D 1 中的陰影部分

14、. y 8x+5y=360 10 x O10 4x+5y=200 3x+10y=300 (1) （）解：設(shè)利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)z 2x 3y，這是斜率為 直線在y軸上的截距，當(dāng) 2z ，隨z變化的一族平行直線.為 33 z 取最大值時(shí)，z的值最大.又因?yàn)閤, y滿足約束條件，所以由圖2 可知，當(dāng)直線 3 4x 5y 200 z 得點(diǎn)Mz 2x 3y經(jīng)過可行域中的點(diǎn)M時(shí)，截距的值最大， 即z的值最大.解方程組 33x 10y 300 的坐標(biāo)為M(20,24)，所以zmax 220 324 112. 答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時(shí)利潤最大，且最大利潤為112萬元. y 8x+5y

15、=360 M 10 x O10 2x+3y=z 4x+5y=200 3x+10y=300 (2) 2x+3y=0 考點(diǎn)：線性規(guī)劃 【結(jié)束】 (17) 【答案】 （）詳見解析（）詳見解析（） 【解析】 試題分析： （）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行尋 找與論證，往往結(jié)合平幾知識，如本題構(gòu)造一個(gè)平行四邊形：取BD的中點(diǎn)為O，可證四邊形OGFE是平 行四邊形，從而得出FG/OE（）面面垂直的證明，一般轉(zhuǎn)化為證線面垂直，而線面垂直的證明，往往 需多次利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，而線線垂直的證明有時(shí)需要利用平幾條件，如本題可由余弦定理解 出ADB 900，即

16、BD AD（）求線面角，關(guān)鍵作出射影，即面的垂線，可利用面面垂直的性質(zhì)定 理得到線面垂直，即面的垂線：過點(diǎn)A作AH DE于點(diǎn)H，則AH 平面BED，從而直線AB與平面 5 6 BED所成角即為ABH.再結(jié)合三角形可求得正弦值 試題解析： （）證明：取BD的中點(diǎn)為O，連接OE,OG，在BCD中，因?yàn)镚是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)G/DC且 OG 1 DC 1，又因?yàn)镋F / AB, AB/ DC，所以EF/OG且EF OG 2 ，即四邊形OGFE是平行四邊形，所以FG/OE，又FG 平面BED，OE 平面BED，所以FG/平 面BED. 0 （）證明：在ABD中，AD 1, AB 2,BAD 60，由余

17、弦定理可BD 3 ，進(jìn)而可得 ADB 900，即BD AD，又因?yàn)槠矫鍭ED 平面ABCD,BD 平面ABCD；平面AED 平面 ABCD AD，所以BD 平面AED.又因?yàn)锽D 平面BED，所以平面BED 平面AED. （）解：因?yàn)镋F/ AB，所以直線EF與平面BED所成角即為直線AB與平面BED所成角.過點(diǎn)A作 AH DE于點(diǎn)H，連接BH，又因?yàn)槠矫鍮ED 平面AED ED，由（）知AH 平面BED，所 以直線AB與平面BED所成角即為ABH.在ADE中，AD 1,DE 3, AE 6，由余弦定理可得 cosADE 552 ，所以sinADE ，因此AH ADsinADE ，在RtAHB

18、中， 333 AH55 ，所以直線AB與平面BED所成角的正弦值為 AB66 sinABH 考點(diǎn)：直線與平面平行和垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成角 【結(jié)束】 (18) n1 【答案】 （）a n 2（）2n2 【解析】 試題分析： （）求等比數(shù)列通項(xiàng)，一般利用待定系數(shù)法：先由 112 解得q 2,q 1，分別 a 1 a 1q a 1q 2 a 1 (1q6) 代入S n 63得q 1，a 1 1（）先根據(jù)等差中項(xiàng)得 1q b n 111 (log 2 a n log 2 a n1 ) (log 2 2n1 log 2 2n) n ，再利用分組求和法求和： 222 T 2n (b 1 2

19、b 2 2)(b 3 2b 4 2)(b 2 2 n1 b 2 2 n ) b 1 b 2 b 2n 試題解析： （）解：設(shè)數(shù)列an的公比為q，由已知有 2n(b 1 b 2n ) 2n2 2 112 ，解之可得q 2,q 1，又由 a 1 a 1q a 1q 2 a 1 (1 26)a 1 (1q6) 63，解之得a 1 1，所以an 2n1.S n 63知q 1，所以 1 21q （）解：由題意得bn 111 (log 2 a n log 2 a n1 ) (log 2 2n1 log 2 2n) n ，即數(shù)列bn是首項(xiàng)為 222 1 ，公差為1的等差數(shù)列. 2 n2 設(shè)數(shù)列(1) bn的

20、前n項(xiàng)和為Tn，則 T 2n (b 1 2b 2 2)(b 3 2b 4 2)(b 2 2 n1 b 2 2 n ) b 1 b 2 b 2n 考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 【結(jié)束】 （19） 2n(b 1 b 2n ) 2n2 2 x2y26 1（） 【答案】 （） 443 【解析】 試題分析： （）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由 113c113c ，得 再利用 |OF |OA| FA|caa(a c) ， a2c2 b2 3，可解得c21，a2 4（）先化簡條件：MOAMAO| MA| MO | ，即 M 再 OA 中垂線上，xM1 ，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求 B ；

21、利用兩直線方程組求 H，最后 根據(jù) BF HF，列等量關(guān)系解出直線斜率. 試題解析： （1）解：設(shè)F(c,0)，由 113c113c ，即 ，可得a2c2 3c2，又 |OF |OA| FA|caa(a c) 2 x2y2 1.a c b 3，所以c 1，因此a 4，所以橢圓的方程為 43 2222 （2）設(shè)直線的斜率為k(k 0)，則直線l的方程為y k(x2)， x 2y2 1, 設(shè)B(xB, yB)，由方程組 4消去y，3 y k(x2), 8k26 整理得(4k 3)x 16k x16k 12 0，解得x 2或x ， 4k23 2222 8k2612k 由題意得xB，從而，y B2 2

22、4k 34k 3 uuu ruuu r 94k212k ,)， 由（1）知F(1,0)，設(shè)H(0, yH)，有FH (1, yH)，BF ( 24k 3 4k23 uuu r uuu r 4k2912ky H 0， 由BF HF，得BFHF 0，所以 24k 34k23 94k2194k2 解得yH，因此直線MH的方程為y x ， k12k12k 194k2 20k29,y x 設(shè)M(xM, yM)，由方程組，k12k消去y，得xM 212(k 1) y k(x2), 在MAO中，MOAMAO| MA| MO |， 20k29 即(x M 2) y x y ，化簡得xM1，即 1， 212(k

23、 1) 22 M 2 M 2 M 解得k 66 或k ， 44 所以直線l的斜率為k 66 或k . 44 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程 【結(jié)束】 （20） 【答案】 （）詳見解析.（）詳見解析（）詳見解析 【解析】 試題分析：（） 先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：f (x) 3x a ， 再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在情況， 分類討論： 當(dāng)a 0 2 時(shí)，有f (x) 3x a 0恒成立，所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(,).當(dāng)a 0時(shí)，存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間 2 （） 由題意得 f (x 0 ) 3x a 0 2 0即 2x 0 a f (x 1) f (x0 ) 3 ， 再由化簡可得結(jié)論 （） 實(shí)質(zhì)研究函

24、數(shù)g(x) 最大值：主要比較 f (1),f (1) ， | f ( 3a3a |,| f ()| 33 的大小即可，分三種情況研究當(dāng) a3時(shí)， 3a3a2 3a3a3a2 3a33 11 1 1 ， 當(dāng) a 3時(shí)， 當(dāng)0 a 時(shí)， 33333344 1 2 3a2 3a 1. 33 32 試題解析： （1）解：由f (x) x axb，可得f (x) 3x a，下面分兩種情況討論： 當(dāng)a 0時(shí)，有f (x) 3x a 0恒成立，所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(,). 2 當(dāng)a 0時(shí)，令f (x) 0，解得x 3a3a 或x . 33 當(dāng)x變化時(shí)，f (x)、f (x)的變化情況如下表： x f (x) (, 3a ) 3 3a 3 ( 3a3a ,) 33 3a 3 0 極小值 ( 3a ,) 3 單調(diào)遞增 0 極大值 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 f (x) 所以f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( 3a3a3a3a ,)，單調(diào)遞增區(qū)間為(,).)，( 3333 （2）證明：因?yàn)閒 (x)存在極值點(diǎn)，所以由（1）知a 0且x0 0. 22 由題意得f (x 0 ) 3x 0 a 0，即x 0 a ， 3 3 進(jìn)而f (x 0 ) x 0 ax 0 b 2a x 0 b， 3 8a2a 3 又f (2x 0 ) 8x 0 2ax 0 b