高三數(shù)學總復習 三垂線定理教案

1、湖南師范大學附屬中學高三數(shù)學總復習教案：三垂線定理 教學目標1進一步理解、鞏固并應用三垂線定理及其逆定理；2應用上一節(jié)課上所講的兩個基本題來解有關的綜合題；3通過解綜合題提高學生解綜合題的能力教學重點和難點教學的重點是進一步掌握三垂線定理及其逆定理，并能靈活的應用它們來解有關的題教學的難點是在空間圖形中有許多平面時，如何選好“基準平面”和“第一垂線”教學設計過程師：上一節(jié)我們應用三垂線定理及其逆定理講了四個例題其中大多是基本題今天我們一方面要在應用這些基本題的基礎上解有關的綜合題；另外我們再來解其它的綜合題來提高我們的解綜合題的能力現(xiàn)在看例1例1 如圖1，已知：PAPB，PAPC，PBPC，求

2、證：ABC是銳角三角形師：這一題證法很多，所以我們要多想幾種證法所以 BAC是銳角同理可證ABC，ACB都是銳角師：我們能不能直接用三垂線定理來證？生：由已知可得PA平面PBC在直角三角形PBC中，作PDBC于D，因為PBC，PCB都是銳角，所以垂足D一定在斜邊BC內(nèi)部，連PD，則PDBC（三垂線定理）對于ABC來說，因垂足D在BC邊內(nèi)部，所以ABC，ACB都是銳角，同理可證BAC也是銳角師：能不能用公式cos1cos2cos來證明ABC為銳角三角形？生：因AP平面PBC，所以ABP是線面角，相當于1，PBC相當于2，因1，2都是銳角所以cos10，cos20，coscos1cos20，所以為

3、銳角。即ABC是銳角，同理可證BAC，ACB都是銳角師：我們用了三種方法來證明ABC是銳角三角形，現(xiàn)在我們換一個角度來研究這個基本圖形另外一個性質(zhì)看例2例2 如圖2，已知：PAPB，PAPC，PBPCPH平面ABC于H求證：H點是ABC的垂心師：垂心是三角形三邊垂線（高線）的交點，要證H是ABC的垂心，只要證AHBC即可生：因為 PABP，PACP，所以 PA平面PBC故 PABC對于平面ABC來說，PH是垂線，PA是斜線，AH是PA在平面ABC內(nèi)的射線因為 PABC，所以 AHBC同理可證BHAC，CHAB故H是ABC的垂心師：由例2的演變可得例3，現(xiàn)在我們來看例3例3 如圖3，ABC中，B

4、AC是銳角，PA平面ABC于A，AO平面PBC于O求證：O不可能是PBC的垂心師：要證明O不可能是PBC的垂心，用什么方法？生：用反證法師：為什么想到用反證法？生：因為直接證不好證師：對，因為直接來證不好利用條件，而用反證法，假設O是PBC的垂心，則這樣證明的思路就“活了”，就可利用已知條件，現(xiàn)在我們用反證法來證明生：假設O是PBC的垂心，則BOPC對平面PBC來說，AO是垂線，AB是斜線，BO是AB在平面PBC內(nèi)的射影因為 BOPC，所以 ABPC又因為 PA平面ABC，PAAB，所以AB平面PAC，ABAC，BAC是直角，與已知BAC是銳角相矛盾所以假設不能成立，所以O不可能是PBC的垂心

5、師：分析例3我們可以看出例3是由例2演變而來也就是說在PAAB，PAACO是PBC的垂心條件下一定可以推導出ABAC是例2的逆命題再加以演變而得現(xiàn)在我們來看例4例4 如圖4，已知：AOB在平面內(nèi)，AOB60，PO是平面的一條斜線段，POAPOB45，PP平面于P，且PP3求：（1）PO與平面所成的角的正弦；（2）PO的長師：我們?nèi)绾卫蒙瞎?jié)課所講的兩個基本題來解這題生：因POAPOB，所以OP是AOB的平分線，POP相當于1，230，45，由cos1cos30cos師：在我們腦中如果“儲存”許多基本題，那么在我們解有關綜合題時，就能“得心應手”所以在平時我們一定要注意對基本題的理解、掌握，解這

6、題的思路就是一個典型下面我們來看例5（1）直線MN是異面直線A1B和B1D1的公垂線；（2）若這個正方體的棱長為a，求異面直線A1B和B1D1的距離師：我們是在講三垂線定理及其逆定理應用時講這個例題的所以我們想法用三垂線定理或它的逆定理來證明這一題要用三垂線定理首先要確定對于哪一個平面來用三垂線定理生：對于平面A1B1C1D1來用三垂線定理師：這時MN是平面A1B1C1D1的斜線，我們?nèi)绾巫髌矫鍭1B1C1D1的垂線呢？生：作MPA1B1于P，又因為D1A1平面A1ABB1，所以A1D1PM，故PM平面A1B1C1D1師：對于平面A1B1C1D1來說，MP是垂線，MN是斜線，NP是MN在平面A

7、1B1C1D1上的射影我們要證MNB1D1，只要證PNB1D1即可在正方形A1B1C1D1中，我們知道A1C1B1D1，所以現(xiàn)在只要證PNA1Q1即可我們?nèi)绾卫靡阎獥l件來證PNA1O1O1NNB1，所以PNA1O1，所以PNB1D1，故MNB1D1同理可證MNA1B，所以MN是異面直線A1B和B1D1的公垂線師：已知正方體的棱長為a，在直角三角形MNP中，如何求出MN的長？師：這是一道很好、很典型的題，它很巧妙、很直接地求出異面直線A1B，B1D1的公垂線及這兩異面直線的距離這一道題我們的先人們是如何想出來的？這一問題我們利用課外活動時間來進行探索今天就講這五個例題，講這五個例題的目的一是進一步應用三垂線定理及其逆定理，二是應用上節(jié)課剛講過的基本題來解較綜合的題作業(yè)補充題1已知：正方形ABCD的邊長為10，O為正方形中心，PO平2已知：在ABC中，BAC90，PCABC所在平面，D為AB上一點，PA，PD，PB與平面ABC分別成60，45，30的角，求證：D是AB的中點3將正方形ABCD沿對角線BD折起來，使A點在平面BCD的射影O恰好在BD上，又CD的中點為E，求證：AECD提示：對于平面BCD來說，AO是垂線，OE是斜線AE在平面上的射影AB13，AC15，A1B5，