2 計(jì)算方法數(shù)值積分.ppt

1、1,計(jì)算方法,2,2 數(shù)值積分,問題的提出 各種典型的問題,3,2.0 問題的提出,回顧 數(shù)學(xué)分析中關(guān)于積分的定義 。,4,積分函數(shù) 假設(shè)f(x)為定義在a，b上的可積函數(shù)，計(jì)算積分 如果F(x)為原函數(shù)，則 Q?,5,Q: (1) 有些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表現(xiàn)為有限的形式； (2) 原函數(shù)的形式復(fù)雜； (3) 原函數(shù)沒有具體的表達(dá)式，只有離散點(diǎn)。定積分的數(shù)值解法(效率+精度)。,6,2.1 數(shù)值積分公式,一般形式 設(shè)(a，b)為有限或無限區(qū)間， 其中w(x)為權(quán)函數(shù)，滿足： (1) 在(a，b)中，w(x)0，并且最多只有有限個(gè)零點(diǎn)； (2) 存在。,7,用被積函數(shù)f(x)的若干節(jié)點(diǎn)x

2、i (ax0 x1 xnb)處的函數(shù)值f(xi)的線性組合 (數(shù)值積分公式，求積公式) 作為I(f)的近似值。 求積節(jié)點(diǎn)：xi(i=0，1，n) 求積系數(shù)：Ai(i=0，1，n)與f(x)無關(guān)； 余項(xiàng)或離散誤差：En(f)=I(f)-In(f),8,2.2 插值求積公式,一般思想 取簡(jiǎn)單的、便于積分且又逼近于被積函數(shù)f(x)的函數(shù)(x)代替f(x)來構(gòu)造求積公式； 典型插值多項(xiàng)式,9,Lagrange多項(xiàng)式： 從而插值求積公式： 余項(xiàng)：,10,Newton-Cotes插值公式,設(shè)a，b為有限區(qū)間，取w(x)=1，h=(b-a)/n，等距節(jié)點(diǎn)xi=a+ih(i=0，1，n)。 記x=a+th(0

3、t n)，則：,11,而dx =hdt， n階Newton-Cotes插值公式。,12,通常取 Ci(i=0，1，n)為Cotes系數(shù)。 從而:,13,Cotes系數(shù) Ci的特點(diǎn),14,特例,梯形公式 n=1，x0=a，x1=b，h=b-a 示意圖,15,Simpson公式(拋物線插值公式) n=2，x0=a， x1=(b+a)/2， x2=b，h=(b-a)/2,16,Cotes公式 四階(n=4)Newton-Cotes公式 適用性：高階公式穩(wěn)定性差,17,例題 利用梯形公式和Simpson公式求積分 解：I1(f)=0.75; I2(f)=0.69444; I(f)=0.69314718

4、.有效數(shù)字？,18,代數(shù)精度,對(duì) 如果該求積公式對(duì)于一切次數(shù)m的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確的，但對(duì)于 m+1次多項(xiàng)式不準(zhǔn)確，則稱其具有m次代數(shù)精度。,19,定理：求積公式具有m次代數(shù)精度的充要條件是：它是插值型的。 證明： 充分性：m的多形式的插值函數(shù)是其本身，從而插值型具有至少m階精度； 必要性：求積函數(shù)具有m次代數(shù)精度，則對(duì)其插值基函數(shù)lk(x)，有：,20,典型插值公式的代數(shù)精度：二階、四階； 由插值精度構(gòu)造插值公式；,21,誤差,定理： 設(shè)n為偶數(shù)，且f(x)在a，b上有n+2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Newton-Cotes型求積公式的離散誤差： 設(shè)n為奇數(shù)，且f(x)在a，b上有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Newt

5、on-Cotes型求積公式的離散誤差：,22,特例： n=1時(shí)，梯形公式的離散誤差為 n=2時(shí)，Simpson公式的離散誤差為 n=4時(shí)，Cotes公式的離散誤差為,23,收斂性,假設(shè)在區(qū)間a，b上給定節(jié)點(diǎn)組成的無窮三角陣 x0(0) x0(1) x1(1) x0(2) x1(2) x2(2) x0(n-1) x1(n-1) x2(n-1) xn-1(n-1) x0(n) x1(n) x2(n) xn(n) 由節(jié)點(diǎn)組a x0(n) x1(n) x2(n) xn(n) b 構(gòu)造帶余項(xiàng)的插值公式 若 ，則插值方法是收斂的。 Newton-Cotes求積公式不是對(duì)任何連續(xù)函數(shù)都收斂。,24,2.3

6、復(fù)合求積公式,提高階的方法并不有效。 思想：插值近似分段插值。 復(fù)合求積的思想： 將a,b劃分為n等份，步長(zhǎng)h=(b-a)/n，分點(diǎn)為xi=a+ih(i=0,1,n)，先用低階的求積公式求得每個(gè)子段xi，xi+1上的積分值Ii，然后將它們求和，用 作為所求積分I的近似值。,25,復(fù)合梯形公式 xi，xi+1上 從而：,26,復(fù)合Simpson公式,27,復(fù)合Cotes公式,28,例題：見例2。,29,2.4 區(qū)間逐次分半法,Q： 復(fù)合求積需要給出步長(zhǎng)。區(qū)間太粗，精度不夠；區(qū)間太細(xì)，計(jì)算量過大；,30,誤差分析 收斂，變步長(zhǎng)的方法，逐次縮小區(qū)間，進(jìn)行誤差分析; |I2n( f )-In( f )

7、| 最簡(jiǎn)單：區(qū)間逐次分半。,31,復(fù)合梯形公式： xi，xi+1(i=0,1,n-1) ，,32,截止條件：精度 |T2n( f )-Tn( f )|,33,簡(jiǎn)單 精度低 收斂速度慢,34,2.5 龍貝格算法,近似函數(shù)的精度 插值中的殘差修正方法(事后估計(jì)法),35,誤差分析 梯形公式的誤差h2 Simpson算法,36,Simpson公式的誤差h4 Cotes算法,37,Cotes公式的誤差分析h6 Romberg公式，不屬于Newton-Cotes公式范疇。,38,Romberg算法 系數(shù)？,39,Exercises: 習(xí)題2的第8、9、10、12題。,40,2.6 Gauss公式+正交多

8、項(xiàng)式,問題 數(shù)值求積的Gauss公式,41,復(fù)習(xí)已有公式的特點(diǎn) 要解決的問題：被積函數(shù)已知或未知(離散點(diǎn)) 求積公式的特點(diǎn) Newton-Cotes公式; 復(fù)化求積公式; Romberg算法; 精度 節(jié)點(diǎn)不等距,42,問題,等分點(diǎn)：簡(jiǎn)單，精度受限制； 提高精度：構(gòu)造不等分點(diǎn)高精度的求積公式； 以本章的數(shù)值求積公式為基礎(chǔ)，針對(duì)f(x)已知的情況，以代數(shù)精度為目標(biāo)。,43,數(shù)值求積公式的構(gòu)造 給定求積節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,n)，構(gòu)造具有n次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式。 精度不能再提高矛盾方程組。,44,Gauss公式,。不失一般性，由代數(shù)精度構(gòu)造插值型數(shù)值求積公式 求積節(jié)點(diǎn)xi(i=1，2，n)( a

9、x1 x2 xn b)。 適當(dāng)?shù)倪x取求積節(jié)點(diǎn)xi和求積系數(shù)Ai，可以使得該插值公式具有2n-1次代數(shù)精度。高斯求積公式和高斯求積點(diǎn)。,45,n=1： 至少具有？次代數(shù)精度(插值型求積公式的代數(shù)精度)。 如果具有2n-1次代數(shù)精度，等價(jià)于對(duì)f(x)= , 成立,46,n=2: 具有3次代數(shù)精度。 等價(jià)于對(duì)f(x)= ? , 成立。,47,48,Gauss點(diǎn)的特征,設(shè)xi(i=1，2，n)是求積公式的高斯點(diǎn)，做多項(xiàng)式 對(duì)于任意次數(shù)n-1的多項(xiàng)式p(x)， p(x) w(x)是次數(shù)2n-1的多項(xiàng)式，則滿足下式 以高斯點(diǎn)為零點(diǎn)的n次多項(xiàng)式w(x)與n-1的多項(xiàng)式p(x)正交。,49,如果w(x)與n-

10、1的多項(xiàng)式p(x)正交，則其零點(diǎn)必為Gauss點(diǎn)。 證明：任意2n-1的多項(xiàng)式f(x) 記：f(x)=p(x)w(x)+q(x) q(x)為n-1的多項(xiàng)式。 從而 按插值型求積公式的特點(diǎn)， 至少有n-1次代數(shù)精度,50,定理： 節(jié)點(diǎn)xi(i=1，2，n)是高斯點(diǎn)的充要條件是：多項(xiàng)式 與一切次數(shù)n-1的多項(xiàng)式p(x)正交，即成立：,51,確定n=2的高斯點(diǎn),52,Legendre多項(xiàng)式 以Gauss點(diǎn)xi(i=1，2，n)為零點(diǎn)的n次式 Legendre多項(xiàng)式形式,53,典型的Gauss公式 一次； 二次； 三次。,54,特點(diǎn)：收斂性。 高次的高斯公式不便于應(yīng)用，一般可借鑒復(fù)合求積方法。,55,3 數(shù)值微分,微分定義 數(shù)值微分的典型形式 中點(diǎn)公式的加速,56,微分的定義,57,數(shù)值微分公式(差商公式),58,取 精度分析步長(zhǎng)小與大的矛盾。,59,中點(diǎn)公式的加速逐次分半?。?60,插值型求導(dǎo)公式 已知函數(shù)f(x)的節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,n)，其插值函數(shù)為pn(x)，取 f(x)pn(x)為插值型求導(dǎo)公式。,61,由于從而：式中,62,設(shè)已知xk=