3-誤差傳播律

1、,偶然誤差服從正態(tài)分布； 精度； 精度指標(biāo)：方差（中誤差）； 單個(gè)觀測(cè)值: 方差、協(xié)方差 觀測(cè)值向量： 方差-協(xié)方差陣、互協(xié)方差陣,設(shè)有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求： X1的方差DX1 ,X2中誤差DX2 , X1 X2的協(xié)方差DX1X2 , Y1的方差DY1,觀測(cè)值函數(shù)的中誤差,X-獨(dú)立觀測(cè)值向量,設(shè)有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求： X1的方差DX1 ,X2中誤差DX2 , X1 X2的協(xié)方差DX1X2 , Y1的方差DY1,第三章,協(xié)方差傳播律及權(quán),3.1 協(xié)方差的傳播,一、 數(shù)學(xué)期望的特性 處理帶有偶然誤差的觀測(cè)值時(shí)

2、，常用數(shù)學(xué)期望表示其真值。 數(shù)學(xué)期望的定義： 性質(zhì)： 如果隨機(jī)變量?jī)蓛上嗷オ?dú)立，,3.1 協(xié)方差的傳播,二、 方差的特性 方差的定義： 性質(zhì)：,設(shè)有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求： X1的方差DX1 ,X2中誤差DX2 , X1 X2的協(xié)方差DX1X2 , Y1的方差DY1,二、觀測(cè)值線性函數(shù)的方差,設(shè)有向量：,證明：設(shè)：,那么：,二、觀測(cè)值線性函數(shù)的方差,那么：,-協(xié)方差傳播律,誤差傳播律：在間接觀測(cè)中，觀測(cè)值必須由一個(gè)或一系列的其他直接觀測(cè)值通過一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算出來，闡述觀測(cè)值函數(shù)的中誤差和觀測(cè)值中誤差的關(guān)系的公式成為誤差傳播律。,例1、設(shè)有：Y1=

3、4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求：Y1的方差DY1，Y2的方差DY2， Y1關(guān)于Y2的協(xié)方差DY1Y2 F=Y1+Y2的方差DFF 51cm2,例2、設(shè)三角形中，同精度獨(dú)立觀測(cè)得到三個(gè)內(nèi)角L1，L2，L3，其中誤差為。 求：將三角形閉合差平均分配后的各角 的協(xié)方差陣。,二、觀測(cè)值線性函數(shù)的協(xié)方差,設(shè)有向量：,證明：設(shè)：,那么：,二、觀測(cè)值線性函數(shù)的方差,那么：,-協(xié)方差傳播律,二、觀測(cè)值線性函數(shù)的方差,協(xié)方差傳播律,二、協(xié)方差傳播律,例3 設(shè)隨機(jī)向量,，其自協(xié)方差陣分別是,、,，互協(xié)方差陣是 。 今有函數(shù),求： 解：,二、協(xié)方差傳播律,例3 設(shè)隨機(jī)向量,，其自協(xié)方差陣分

4、別是,、,，互協(xié)方差陣是 。 今有函數(shù),求： 解：,二、協(xié)方差傳播律,例4 如圖，觀測(cè)角 的中誤差 協(xié)方差 . 若 無誤差，求角 的中誤差。,K,例5、如圖，已知直線兩端點(diǎn)數(shù)字化坐標(biāo)的平差值為：A(x1,y1), B(x2,y2),其協(xié)方差陣為： 邊長(zhǎng)S1及S無誤差。 試求：AB直線上，AP = S1處的P點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）及其 協(xié)方差陣。,例5、如圖，已知直線兩端點(diǎn)數(shù)字化坐標(biāo)的平差值為：A(x1,y1), B(x2,y2),其協(xié)方差陣為： 邊長(zhǎng)S1及S無誤差。 試求：AB直線上，AP = S1處的P點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）及其 協(xié)方差陣。,三、觀測(cè)值非線性函數(shù)的方差,例1、已知隨機(jī)向量 的自協(xié)方差陣是

5、: 求函數(shù)向量 的方差陣。,設(shè)有觀測(cè)值向量X的非線性函數(shù)：,已知：,將Z=f(X)按Tailor級(jí)數(shù)在X0處展開：,非線性函數(shù)的線性化：,協(xié)方差傳播律：,三、觀測(cè)值非線性函數(shù)的方差,例1、已知隨機(jī)向量 的自協(xié)方差陣是: 求函數(shù)向量 的方差陣。,例2、已知函數(shù)： L的中誤差是。求x、y、z的方差和協(xié)方差。,協(xié)方差傳播應(yīng)用步驟:,根據(jù)實(shí)際情況確定觀測(cè)值與函數(shù),寫出具體表達(dá)式 寫出觀測(cè)量的協(xié)方差陣 對(duì)函數(shù)進(jìn)行線性化 協(xié)方差傳播律應(yīng)用,3.2 協(xié)方差傳播定律 在測(cè)量中的應(yīng)用,例1、由三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差（菲列羅公式） 設(shè)在三角網(wǎng)中獨(dú)立等精度觀測(cè)了各三角形之內(nèi)角，中誤差皆為。 設(shè)各三角形的閉合差為

6、W1、W2Wn。 設(shè)閉合差的中誤差W。 求:測(cè)角中誤差。,解： 因?yàn)殚]合差是真誤差，故由中誤差定義可得閉合差的中誤差是,應(yīng)用誤差傳播定律有：,測(cè)角中誤差是,其估值公式：,測(cè)量中：由三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差的菲列羅公式。,三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,2、算術(shù)平均值是最可靠的估值,在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)一個(gè)量進(jìn)行多次觀測(cè)，則所有觀測(cè)值的算術(shù)均值為該量的最佳估值。,證明,說明，n趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。,例2、獨(dú)立等精度觀測(cè)一個(gè)量，其算術(shù)平均值的中誤差 設(shè)一個(gè)量的n個(gè)獨(dú)立等精度的觀測(cè)值是L1、L2Ln，中誤差均為；其算術(shù)平均值是 則算術(shù)平均值的精度為： 算術(shù)平均值的中誤差為觀測(cè)值的中誤差的

7、倍,三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,結(jié) 論,n增大，即觀測(cè)次數(shù)增大，則均值的精度提高。 但，觀測(cè)次數(shù)增加到一定的次數(shù)后（如10次），精度提高很慢。,結(jié)論：要提高均值的精度，不能簡(jiǎn)單的從無限制的增加觀測(cè)次數(shù)達(dá)到目的。而是要采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法、適當(dāng)?shù)膬x器和適當(dāng)?shù)挠^測(cè)次數(shù)等幾個(gè)方面入手。,例3、水準(zhǔn)測(cè)量的精度 A、B兩點(diǎn)間進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量，共設(shè)N站次. A、B兩點(diǎn)間高差等于各站測(cè)量得到的高差之和: 求A、B點(diǎn)間高差的中誤差 。,三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,3、水準(zhǔn)測(cè)量的精度,設(shè)水準(zhǔn)測(cè)量中每一測(cè)站觀測(cè)高差hi的精度相同, 其方差均為 , 則具有N個(gè)測(cè)站的水準(zhǔn)路線的總高差為,應(yīng)用協(xié)方差傳播公式可得,在平坦地區(qū)的水準(zhǔn)測(cè)量

8、中, 每公里的測(cè)站數(shù)大致相等, 因此, 每公里觀測(cè)高差的方差相等, 設(shè)其均為 , 則S公里觀測(cè)高差的方差和中誤差分別為,水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差 與水準(zhǔn)距離、測(cè)站數(shù)的平方根成正比,結(jié) 論,例4、限差的確定 1、已知二等三角測(cè)量中的觀測(cè)角中誤差是 ，則三角形閉合差的限差： 2、已知用T2經(jīng)緯儀觀測(cè)每一個(gè)方向的中誤差是 。兩次照準(zhǔn)零方向的觀測(cè)值是L1和L2。歸零差 ,其中誤差是： 歸零差d的限差是:,三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,5、等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度計(jì)算,第一公式,第二公式 （白塞爾公式）,條件：觀測(cè)值真已知,條件：觀測(cè)值真值未知，算術(shù)平均值L已知,其中 觀測(cè)值改正數(shù)，,三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,證明：,

9、兩式相加，有,即,證：,設(shè) 則,三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,將上列等式兩端各自平方，并求其和，則,將 代入上式，則,故,（PQ）,又因,三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,由于 為偶然誤差，它們的非自乘積 仍具有偶然誤差的性質(zhì)，根據(jù)偶然誤差的特性，即,第二公式 （白塞爾公式）,三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,6、等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)均值中誤差,三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,例6設(shè)用經(jīng)緯儀測(cè)量某個(gè)角6測(cè)回，觀測(cè)值列于 表中。試求觀測(cè)值的中誤差及算術(shù)平均值中誤差。,算術(shù)平均值L中誤差是：,獨(dú)立等精度觀測(cè)一個(gè)量，其算術(shù)平均值的中誤差 水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差,3.3 協(xié)因數(shù)的傳播,一、權(quán)的定義,稱pi為觀測(cè)值Li的權(quán)。,例：設(shè)有三個(gè)觀測(cè)值

10、,其中誤差是,、,求各個(gè)觀測(cè)值的權(quán)。6:3:2,（三）權(quán)是衡量精度的相對(duì)指標(biāo)，為了使權(quán)起到比較精度的作用，一個(gè)問題只選一個(gè)0。,（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權(quán)。,權(quán)與方差成反比。,二、常用的定權(quán)方法,1、水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán),或,水準(zhǔn)測(cè)量中，高差的權(quán)與路線長(zhǎng)或水準(zhǔn)距離成反比,2、算術(shù)平均值的權(quán),算術(shù)平均值的權(quán)是等精度觀測(cè)值的權(quán)的n倍。 與觀測(cè)次數(shù)成正比。,例1：對(duì)A角進(jìn)行4次同精度獨(dú)立觀測(cè)，一次測(cè)角中誤差為2.4秒。已知4次算術(shù)平均值的權(quán)為2.欲使A的權(quán)等于6，應(yīng)觀測(cè)幾次？ 例：相同觀測(cè)條件下觀測(cè)兩個(gè)角度：A=300000， B=300000。 若對(duì)A觀測(cè)9個(gè)測(cè)回，其均值的權(quán)為1.則對(duì)B觀測(cè)

11、16個(gè)測(cè)回的均值的權(quán)是多少？,（三）權(quán)是衡量精度的相對(duì)指標(biāo)，為了使權(quán)起到比較精度的作用，一個(gè)問題只選一個(gè)0。,（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權(quán)。,權(quán)與方差成反比。,三、 的意義： 1、當(dāng) pi=1時(shí)， 2、當(dāng) 時(shí)， pi=1 權(quán)為1的觀測(cè)值Li 稱 為單位權(quán)觀測(cè)值。 Li的方差稱為單位權(quán)方差 。,例3：某角以每測(cè)回中誤差為 的精度測(cè)量了9次，其平均值的權(quán)為1。試求單位權(quán)中誤差。 例4：水準(zhǔn)路線長(zhǎng)450米，其高差之權(quán)是4，若使得高差的權(quán)為1，路線長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)為多少？ 權(quán)是衡量精度的相對(duì)指標(biāo),三、 協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣,同理有：觀測(cè)值向量 的協(xié)因數(shù)陣由：,特點(diǎn)： 對(duì)稱可逆方陣,QXX-為協(xié)因數(shù)陣,四

12、、權(quán)陣,五、協(xié)因數(shù)傳播律,因協(xié)因數(shù)陣和協(xié)方差陣的關(guān)系是：,協(xié)因數(shù)傳播律,將協(xié)方差傳播定律和協(xié)因數(shù)傳播定律 合稱為廣義誤差傳播定律,協(xié)方差傳播律,例1：已知獨(dú)立觀測(cè)值L1、L2、L3的協(xié)因數(shù)分別是16、4、25， 求函數(shù) 的協(xié)因數(shù)。 例2：已知 u的協(xié)因數(shù)為Qu =4， 求x、y、z的協(xié)因數(shù)和Qxy,例3、已知獨(dú)立觀測(cè)值Li(i=1n)的權(quán)均為p, 求:算術(shù)平均值的權(quán)。 例4、已知獨(dú)立觀測(cè)值Li(i=1n)的權(quán)為pi(i=1n) 求:加權(quán)平均值的權(quán)。,六、非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度,非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)，如何求？,通過加權(quán)化為等精度觀測(cè),六、非等精度觀測(cè)值中誤差計(jì)算,六、非等精

13、度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),六、非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)中誤差為：,非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)單位權(quán)中誤差計(jì)算公式,六、非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),用改正數(shù)計(jì)算的非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì)：,六、單位權(quán)中誤差0,設(shè)有觀測(cè)值向量： 其方差、權(quán)和單位權(quán)方差的關(guān)系： 因： 有,上式兩邊取矩陣的跡： 因?yàn)?所以 ， 估值公式,當(dāng)觀測(cè)值有t個(gè)時(shí)，用觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算單位權(quán)中誤差：,六、非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),七、用雙觀測(cè)量之差求單位權(quán)中誤差,觀測(cè)數(shù)據(jù)的真誤差一般是不知道的，測(cè)量時(shí)常對(duì)一系列觀測(cè)量進(jìn)行成對(duì)觀測(cè)（雙觀測(cè)），形成雙觀測(cè)量，可以用雙觀測(cè)量求單位權(quán)中誤差,水準(zhǔn)測(cè)量往返測(cè) 像點(diǎn)坐標(biāo)重復(fù)測(cè)量 G

14、PS重復(fù)測(cè)量 邊長(zhǎng)往返對(duì)測(cè),用雙觀測(cè)量之差求取單位權(quán)中誤差觀測(cè)精度計(jì)算,例5、水準(zhǔn)測(cè)量中，每段路線均進(jìn)行往返測(cè)，得獨(dú)立觀測(cè)值對(duì)及其權(quán) ： 求：1）觀測(cè)值對(duì)差的權(quán)及單位權(quán)中誤差 2）觀測(cè)值的中誤差 3）任意一對(duì)觀測(cè)對(duì)均值的中誤差,六、非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),七、用雙觀測(cè)量之差求單位權(quán)中誤差,由協(xié)因數(shù)傳播律有： 觀測(cè)值對(duì)差的權(quán)：,六、非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),1）雙觀測(cè)量單位權(quán)中誤差,六、非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),2）雙觀測(cè)量列（每一組）單次觀測(cè)值中誤差,六、非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),3）雙觀測(cè)量列（每一組）平均值中誤差,六、非等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度估計(jì),例1：,3、舉例,六、非等精度觀測(cè)

15、數(shù)據(jù)的精度估計(jì),3、舉例,例2：,3.4 系統(tǒng)誤差的傳播,一、觀測(cè)值的系統(tǒng)誤差： 設(shè)有觀測(cè)值L，其真值為 ，則觀測(cè)值的綜合誤差為： 綜合誤差的數(shù)學(xué)期望： 是真值與觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望之差，反映了觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望對(duì)于真值的偏差愈小-準(zhǔn)確度,當(dāng)觀測(cè)值中既存在偶然誤差，又存在系統(tǒng)誤差時(shí)，常常用觀測(cè)值的綜合誤差的方差均方誤差，來表征觀測(cè)值的可靠性。 例：當(dāng)系統(tǒng)誤差為中誤差的三分之一時(shí) 實(shí)際應(yīng)用中，如果系統(tǒng)誤差是偶然誤差的三分之一或更小時(shí)，則可將系統(tǒng)誤差的影響忽略，或說：偶然誤差占主導(dǎo)地位。,二、系統(tǒng)誤差傳播,當(dāng)觀測(cè)值只存在有系統(tǒng)誤差時(shí)，其函數(shù)也將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，稱之為系統(tǒng)誤差的傳播。,三、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的聯(lián)合傳播,當(dāng)獨(dú)立觀測(cè)值中，同時(shí)含有偶然誤差和系統(tǒng)誤差時(shí)，,嗎,例：在用鋼尺量