高中數(shù)學(xué)論文剖析數(shù)學(xué)高考中的恒成立問(wèn)題（通用）

1、剖析高考數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題廣東省湛江市坡頭區(qū)第一中學(xué) 范友玉新課標(biāo)下的高考越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，恒成立問(wèn)題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它主要涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。這三年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問(wèn)題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)密不可分。解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題常用以下幾種方法：函數(shù)性質(zhì)法；主參換位法；分離參數(shù)法；數(shù)形結(jié)合法。下面我就以近三年高考試題為例加以剖析：一、函數(shù)性質(zhì)法1、二次函數(shù)：.若二次函數(shù)（或）在R上恒成立，則有（或）；.若二次

2、函數(shù)（或）在指定區(qū)間上恒成立，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布等知識(shí)求解。圖31oxy圖11xy01xy0圖2例1(08年江西卷理12)已知函數(shù)，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(，0)分析：與的函數(shù)類型，直接受參數(shù)的影響，所以首先要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，然后轉(zhuǎn)換成不等式的恒成立的問(wèn)題利用函數(shù)性質(zhì)及圖像解題。解析：當(dāng)時(shí)，在上恒成立，而在上恒成立，顯然不滿足題意；(如圖1)當(dāng)時(shí)，在上遞減且只在上恒成立，而是一個(gè)開(kāi)口向下且恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）的二次函數(shù)，顯然不滿足題意。當(dāng)時(shí)，在上遞增且在上恒成立，而是一個(gè)開(kāi)口向上且恒過(guò)定點(diǎn)（0，1

3、）的二次函數(shù)，要使對(duì)任一實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)則只需在上恒成立。(如圖3)則有或解得或，綜上可得即。 故選B。例2（09年江西卷文17）設(shè)函數(shù)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值。（節(jié)選）解析：(1) , 對(duì), 即 在上恒成立, , 得，即的最大值為。2、其它函數(shù)：恒成立（注：若的最小值不存在，則恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，則恒成立的上界小于0）.例3（07年重慶卷理20)已知函數(shù)在處取得極值，其中、為常數(shù).（1）試確定、的值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析： 恒成立，即 ，要

4、解決此題關(guān)鍵是求 ，。解：（1）（2）略（3）由（2）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，從而. 解得或. 的取值范圍為.例4（08天津文21）設(shè)函數(shù)，其中（）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍（節(jié)選）分析：，即，要解決此題關(guān)鍵是求。解：（）由條件可知，從而恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者為使對(duì)任意，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即在上恒成立即，所以，因此滿足條件的的取值范圍是例5（09年全國(guó)卷II文21）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)（II）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍。（節(jié)選）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最

5、值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。解：（II）由（I）知，當(dāng)時(shí)，在或處取得最小值。；則由題意得.5.u.c.o.m 即解得 。二、主參換位法某些含參不等式恒成立問(wèn)題，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度。即把主元與參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)取得出奇制勝的效果。例6（07遼寧卷文科22)已知函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù) 均有，.() 求函數(shù)的解析式；()若對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍.解析： () ，而，恒成立.則由二次函數(shù)性質(zhì)得 ，解得， 。（）.令，則 即.由于，則有. 解得 .所以的取值范圍為。例7 (08安徽

6、文科)已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)（）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（節(jié)選）分析：已知參數(shù)的范圍，要求自變量的范圍，轉(zhuǎn)換主參元和的位置，構(gòu)造以為自變量作為參數(shù)的一次函數(shù)，轉(zhuǎn)換成，恒成立再求解。解析：由題設(shè)知“對(duì)都成立，即對(duì)都成立。設(shè)（），則是一個(gè)以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則對(duì)，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。 所以對(duì)，恒成立的充分必要條件是，于是的取值范圍是。三、分離參數(shù)法 利用分離參數(shù)法來(lái)確定不等式,（ ,為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟:（1） 將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最小）值；（3） 解不等式(或) ，得的取值范圍。適用題型：（1） 參數(shù)與

7、變量能分離；（2） 函數(shù)的最值易求出。例8 （07年山東卷文15)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 .解析: 當(dāng)時(shí)，由得.令，則易知在上是減函數(shù)，所以時(shí)，則.例9（09年山東卷文21）已知函數(shù),其中 w.w.w.k.s.5。（1） 當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?（2） 已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.分析：此題雖有三個(gè)變量、，而的范圍已知，最終要用表示出的取值范圍，所以可以將看成一個(gè)已知數(shù)，對(duì)和進(jìn)行離參。解析：(2) 在區(qū)間上單調(diào)遞增在上恒成立恒成立，。設(shè)，令得或(舍去)，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減函數(shù), 。當(dāng)時(shí)，此時(shí)在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，。綜上，當(dāng)時(shí), ； 當(dāng)時(shí)，。四、數(shù)形結(jié)合（對(duì)于型問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的關(guān)系再處理）若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫(huà)出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過(guò)畫(huà)圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。O例10 (07安徽理科3)若對(duì)任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(A) (B) (C) （D） 解析：對(duì),不等式恒