系統(tǒng)動力學(xué)建模

1、系統(tǒng)動力學(xué)建模,系統(tǒng)分析,這一步驟首先要對所需研究的系統(tǒng)作深入、廣泛的調(diào)查研究，通過與用戶及有關(guān)專家的共同討論、交換意見，確定系統(tǒng)目標，明確系統(tǒng)問題，收集定性、定量兩方面的有關(guān)資料和數(shù)據(jù)，了解和掌握國內(nèi)外在解決類似系統(tǒng)問題方面目前所處的水平、狀況及未來的發(fā)展動向，并對前人所做工作的長處與不足作出恰如其份的分析。對其中合理的思想和方法要注意借鑒、吸收，對其中不足之處要探究其原因，提出改進的設(shè)想。,結(jié)構(gòu)分析,結(jié)構(gòu)分析主要有兩大方面的內(nèi)容，即變量的定義和系統(tǒng)內(nèi)部反饋回路的分析。要定義系統(tǒng)變量，包括內(nèi)生變量和外生變量首先要分清楚什么是系統(tǒng)的基本問題和主要問題，什么是系統(tǒng)的基本矛盾和主要矛盾，什么是一般

2、變量和重要變量。變量的定義要少而精，在能夠反映系統(tǒng)狀況的前提下盡可能精簡變量。變量的定義也是一個由粗到細、由淺入深的過程。根據(jù)系統(tǒng)的等級性觀點，系統(tǒng)可分解成多個相對獨立的子塊，在每個子塊中根據(jù)實際情況的需要定義出各類變量。變量定義完以后，以那些與系統(tǒng)問題關(guān)系密切而又能代表系統(tǒng)某一特征的所謂主要變量為中心展開。系統(tǒng)的狀態(tài)變量能夠反映出系統(tǒng)的狀態(tài)特征，所以狀態(tài)變量通常是重要變量。將各變量的因果關(guān)系鏈組織起來就構(gòu)成了系統(tǒng)的反饋回路，在反饋回路上可以確定出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)方面的一些性質(zhì)，如反饋回路的極性，各回路之間的反饋耦合關(guān)系，系統(tǒng)局部與總體之間的反饋機制，系統(tǒng)的主回路及其主回路的變化特性等等。,模型的建立

3、與試驗,在系統(tǒng)分析和結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)上就可以對系統(tǒng)建立規(guī)范的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)動力學(xué)模型由一組一階常微分方程組所組成，它們又可以分解成狀態(tài)變量方程、速率方程、輔助變量方程、初始方程、常數(shù)方程和表函數(shù)方程等類型。模型的參數(shù)估計先從各個局部分別獨立進行，然后在總體模型模擬時再進行總的調(diào)試。參數(shù)估計方法的選擇是比較靈活的，系統(tǒng)動力學(xué)模型并不限制參數(shù)估計方法的種類，可以根據(jù)各個局部的需要和要求，挑選適當?shù)墓烙嫹椒?。系統(tǒng)的模型化過程也是一個由定性向定量的轉(zhuǎn)化過程。,構(gòu)模的基本工具,系統(tǒng)動力學(xué)的構(gòu)模過程是一個由粗到精,由淺入深地將思維模型轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型和計算機模型的過程。在這個轉(zhuǎn)化過程中，系統(tǒng)動力學(xué)有一整套有助于

4、模型逐步量化的方法：方框圖法、因果關(guān)系圖法、流圖法和圖解分析法等。 這些方法各有不同的特點和功能，依次使用這些方法，就能夠比較方便而又有效地將定性模型過渡到定量模型。,方框圖,系統(tǒng)框圖是一種極其簡單的系統(tǒng)描述方法。方框圖中只有方框和帶箭頭的實線兩種符號。方框表示系統(tǒng)的元素、子系統(tǒng)或功能塊，方框中填上相應(yīng)的名稱、功能或說明。帶箭頭的實線表示各元素、各子塊之間的相互作用關(guān)系、因果關(guān)系或邏輯關(guān)系，也可以表示流量的運動方向(流量寫在實線旁)。,公司模型方框圖,國民經(jīng)濟流轉(zhuǎn)模型方框圖,因果關(guān)系圖法,在因果關(guān)系圖中，各變量彼此之間的因果關(guān)系是用因果鏈來連接的。因果鏈是一個帶箭頭的實線(直線或弧線)，箭頭方

5、向表示因果關(guān)系的作用方向，箭頭旁標有“+”或“-”號，分別表示兩種極性的因果鏈。 a正向因果鏈 a+b：表示原因a 的變化(增或減)引起結(jié)果b 在同一方向上發(fā)生變化(增或減)。 b負向因果鏈a-b：表示原因a 的變化(增或減)引起結(jié)果b 在相反方向上發(fā)生變化(減或增)。,回路的極性,多個因果鏈以同向封閉的形式連接起來就組成了因果關(guān)系回路，回路的極性取決于組成回路的各因果鏈中負向因果鏈的個數(shù)。若回路中所含負向因果鏈的個數(shù)為偶數(shù)，則回路極性為正(+)；若回路中所含負向因果鏈的個數(shù)為奇，則回路極性為負()。如簡單人口摸型中，人口的增加將導(dǎo)致人口增長速度的增加，而人口增長速度的增加也導(dǎo)致人口的進一步增

6、加，因此圖中兩個因果鏈的極性符號均為正。在由人口和人口增長速度兩個變量組成的反饋回路中，負向因果鏈的個數(shù)為零，所以回路的極性也是正的。如冰箱模型中，經(jīng)分析變量間因果鏈的極性符號如圖中所示。在由變量冰箱內(nèi)溫度、溫差和制冷組成的反饋回路中，負因果鏈的個數(shù)是奇數(shù)(1 個)，所以回路的極性是負的。,因果關(guān)系圖,因果圖重要性,因果關(guān)系圖在構(gòu)思模型的初級階段起著非常重要的作用,它既可以在構(gòu)模過程中初步明確系統(tǒng)中諸變量間的因果關(guān)系，又可以簡化模型的表達，使人們能很快地了解系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)假設(shè)，使實際系統(tǒng)抽象化和概念化，非常便于交流和討論。,流圖法,流圖法又叫結(jié)構(gòu)圖法,它采用一套獨特的符號體系來分別描述系統(tǒng)中不

7、同類型的變量以及各變量之間的相互作用關(guān)系。流圖中所采用的基本符號及涵義見圖,狀態(tài)變量,狀態(tài)變量又稱作位，它是表征系統(tǒng)狀態(tài)的內(nèi)部變量，可以表示系統(tǒng)中的物質(zhì)、人員等的穩(wěn)定或增減的狀況。狀態(tài)變量的流圖符號是一個方框，方框內(nèi)填寫狀態(tài)變量的名字。顯然，能夠?qū)顟B(tài)變量的變化產(chǎn)生影響的只是速率變量（見圖）。 狀態(tài)方程可根據(jù)有關(guān)基本定律來建立，如連續(xù)性原理、能量質(zhì)量守恒原理等。狀態(tài)方程有三種最基本的表達方式：微分方程表達、差分方程表達和積分方程表達。在一定的條件下，這三種表達方式可以互相轉(zhuǎn)化。,微分方程表達,根據(jù)動態(tài)守恒原理，狀態(tài)變量的變化速率等于其輸入率與輸出率之差,即設(shè)狀態(tài)變量的輸入率與輸出率分別是ir

8、和or，有,差分方程表達,系統(tǒng)的狀態(tài)變化遵循著過去決定現(xiàn)在，過去和現(xiàn)在決定將來的時間因果律。 系統(tǒng)目前的狀態(tài)是在其一時刻狀態(tài)的基礎(chǔ)上加上一個從舊狀態(tài)向新狀態(tài)過渡的轉(zhuǎn)化值，即設(shè)時間間隔為t，有,積分方程表達,從積累效應(yīng)來看，狀態(tài)變量的變化是一個積累的過程，因此可以積分方程來表達：,速率變量,速率變量的流圖符號像一個閥門。速率變量控制著狀態(tài)變量的變化，速率方程規(guī)定了這種控制的方式和強度。速率方程的構(gòu)成比較靈活，沒有固定的形式。 一般說來，速率方程可以是狀態(tài)變量、輔助變量、外生變量等的代數(shù)組合。但是應(yīng)該特別注意的是，狀態(tài)變量對速率變量的作用關(guān)系不是通過物質(zhì)的直接轉(zhuǎn)移來實現(xiàn)的，而是通過狀態(tài)變量變化的信

9、息傳遞來實現(xiàn)的。確定速率方程的函數(shù)關(guān)系 在系統(tǒng)動力學(xué)構(gòu)模過程中是相當關(guān)鍵的一環(huán)，需要經(jīng)過理論分析、邏輯判斷、歷史經(jīng)驗參考再結(jié)合各種技術(shù)方法上的技巧綜合求得。,輔助變量、外生變量,輔助變量的流圖符號是一個圓圈，內(nèi)部填輔助變量的名字。由于速率方程函數(shù)關(guān)系的確定是一個比較困難的過程，因此有必要引入輔助變量對速率方程進行分解，以使得構(gòu)模的思路更加清晰。輔助變量是為了構(gòu)模方便而人為引入的信息反饋變量，它是狀態(tài)信息變量的函數(shù)。 外生變量的流圖符號是兩個同心圓，內(nèi)部填外生變量的名字。外生變量是系統(tǒng)邊界以外對系統(tǒng)發(fā)生作用或產(chǎn)生影響的環(huán)境因素，外生變量也可以是政策變量。,常數(shù)和表函數(shù),在特殊的情況下，外生變量呈

10、現(xiàn)出固定不變的狀態(tài)時就退化成常數(shù)。常數(shù)的流圖符號是一杠上加小圓圈。 系統(tǒng)中變量與變量之間的關(guān)系除了可以用各種代數(shù)形式的函數(shù)來表示之外，還可以用圖表的方式來表示，這樣的圖表函數(shù)稱為表函數(shù)，它的流圖符號是圓圈內(nèi)加兩橫，內(nèi)部填表函數(shù)的名字。表函數(shù)反映了兩個變量之間某種特定的非線性關(guān)系。,流線與延遲,流圖中的流線(通道)分成物質(zhì)流線和信息流線兩種。物質(zhì)通過物質(zhì)流線運動，信息通過信息流線傳送。物質(zhì)流線和信息流線分別用帶箭頭的實線和虛線表示。若作為信息源的變量尚未定義，可用括弧代替。箭頭的指向表示物質(zhì)或信息的運動方向。 在流線上經(jīng)常會出現(xiàn)各種延遲現(xiàn)象。如工廠的產(chǎn)品要經(jīng)過運輸才能到達倉庫；信件發(fā)出后要經(jīng)過一

11、定的時間才能寄到等等。發(fā)生在物質(zhì)流上的延遲叫物質(zhì)延遲，發(fā)生在信息流上的延遲叫信息延遲。它們的流圖符號為一個方框內(nèi)標上延遲的種類和延遲變量的名字。,物質(zhì)的源與匯及守恒子系統(tǒng),在流圖中物質(zhì)的源與匯都是用水潭符號表示。源表示取之不盡、用之不竭的物質(zhì)源泉，抽象為白洞，物質(zhì)只出不進，所以與它相連的物質(zhì)流線箭頭均朝外。 匯的概念正相反，表示永遠填不滿的坑，抽象為黑洞，物質(zhì)只進不出，所以與它相連的物質(zhì)流線箭頭均向內(nèi)。源和匯的抽象概念源于現(xiàn)實又高于現(xiàn)實。源和匯總是成對出現(xiàn)的，有時為了方便也可將源和匯合為一體，用雙向箭頭流線與其它變量相連。,守恒子系統(tǒng),所有的物質(zhì)都取之于源而聚入?yún)R，但是出自于不同源的物質(zhì)只能聚

12、入與其同質(zhì)的匯中去，這就是守恒子系統(tǒng)的概念。 是指以一個狀態(tài)變量為中心組成的局部系統(tǒng)。根據(jù)源和匯的特點可以得到以下兩個結(jié)果： a同質(zhì)守恒子系統(tǒng)之間既可以用物質(zhì)流線連接，表示正向的因果關(guān)系，也可以用信息流線連接，表示反饋的因果關(guān)系。 b不同質(zhì)的守恒子系統(tǒng)之間只能用信息流線連接，不能用物質(zhì)流線連接。,例如下圖的人口齡鏈結(jié)構(gòu)中，各守恒子系統(tǒng)均屬同質(zhì)的，狀態(tài)變量都表示人口，所以它們既可以用物質(zhì)流線直接連接，也可以用信息流線反饋連接,在下圖的物價收入子系統(tǒng)中，物價和收入分別屬于不同質(zhì)的守恒子系統(tǒng)，它們的量綱也不一樣，所以它們之間不能用物質(zhì)流線連接，只能以信息傳送的形式相聯(lián)系。,重要性,流圖法的特點是將系

13、統(tǒng)中各變量按其不同的特征以及在系統(tǒng)中所起的不同作用劃分成不同的種類，并用物質(zhì)流線和信息流線按照其特有的作用方式將它們聯(lián)結(jié)起來，組成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。所以，流圖法比因果關(guān)系圖法更加詳細地反映出系統(tǒng)內(nèi)部的反饋作用機制，使人們對系統(tǒng)的構(gòu)成有一個更加直觀、更加透徹的理解。 流圖法是在系統(tǒng)動力學(xué)構(gòu)模過程中介于思維模型和計算機模型之間的一個十分重要的過渡方法，它為構(gòu)造系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型打下了良好的基礎(chǔ)。對一個比較熟練的構(gòu)模者來說，他可以省去用因果關(guān)系圖法描述系統(tǒng)的步驟，但是通常不能省去流圖法的步驟。,混合圖,值得一提的是，在實際構(gòu)模過程中還經(jīng)常采用一種混合圖法。 將系統(tǒng)中物質(zhì)流線上的狀態(tài)變量和速率變量按流圖的方式畫

14、出，而將信息流線上的各種反饋變量按因果關(guān)系圖的方式畫出，如圖 所示。混合圖法汲取了因果關(guān)系圖法和流圖法的優(yōu)點,既保持了因果關(guān)系圖簡單明了的特點，又將系統(tǒng)中的重要變量鮮明地突出出來。因此，混合圖法得到了比較廣泛的應(yīng)用。,模型的基本模塊,根據(jù)系統(tǒng)動力學(xué)關(guān)于系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)的理論，任何大規(guī)模的復(fù)雜系統(tǒng)都可以用多個系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)按照特定的方式聯(lián)結(jié)而成。系統(tǒng)的基本模塊是典型基本結(jié)構(gòu)的形式，也是由系統(tǒng)的基本單元、單元的運動以及單元的信息反饋三大部分組成。 了解和掌握系統(tǒng)基本模塊的性能、特性和作用，有助于分析和構(gòu)造系統(tǒng)模型，尤其是分析和構(gòu)造大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的模型。,基本正反饋模塊,正反饋是現(xiàn)實生活中客觀存在的現(xiàn)象與

15、過程，如人口的增長，國民經(jīng)濟的發(fā)展，知識的積累，細胞的分裂，物價的上升等等。正反饋具有非穩(wěn)定、自增長的作用。知識積累例子中，知識積累的速度越快，掌握的知識量就越豐富；反過來，知識積累得越多，知識增長的速度也越快，從而形成一個不斷循環(huán)上升的自增長過程。,基本負反饋模塊,負反饋也是現(xiàn)實生活中存在的現(xiàn)象與過程，如資源的枯竭，物種的退化，知識的老化等等。負反饋具有自調(diào)節(jié)、自控制、自均衡的作用。負反饋模塊是穩(wěn)定的，并具有跟隨系統(tǒng)目標的特性。商品銷售例子中，市場需求量越大，則商品的銷售量也越大；而商品的銷售量增大以后反過來會緩解商品的市場需求。如此循環(huán)往復(fù)直到商品的銷售量完全滿足潛在的商品需求為止，此時市場需求量為零，系統(tǒng)達到穩(wěn)定平衡。,基本s 型增長非線性模塊,s 型增長趨勢是現(xiàn)實生活中非