代數(shù)變形常用技巧及其應(yīng)用

1、代數(shù)變形常用技巧及其應(yīng)用摘 要代數(shù)變形是利用代數(shù)知識實施形變而質(zhì)不變的一種變形即將一個問題等價地變換為另一個問題，由一種形式轉(zhuǎn)換為實質(zhì)等價的另一種形式，將其歸結(jié)為比較熟悉的較易解決的問題或形式本文旨在從五個方面展現(xiàn)常用到的代數(shù)變形技巧：一是利用換元法變形，二是根據(jù)數(shù)學(xué)本身的概念、性質(zhì)、法則等對已知條件直接進行變形，三是公式法變形，四是分解組合思想變形，五是利用待定系數(shù)法進行變形另外，還介紹了這些變形技巧在分式、不等式、極限、求導(dǎo)、三角、方程組等方面的應(yīng)用關(guān)鍵詞：代數(shù)變形 換元法 直接法 公式法 分解組合思想 待定系數(shù)法The common skills and application of t

2、he algebra distortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it a

3、s the question or the form which are quite familiar easy to solve. This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on ca

4、rries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skills uses in the fraction, inequality,li

5、mit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method目 錄摘 要IAbstractII一、緒論1二、換元法及其應(yīng)用1（一）換元法的定義1（二）換元法的應(yīng)用21應(yīng)用于三角中22應(yīng)用于分式不等式中23在方程組中的應(yīng)用3三、直接法及其應(yīng)用4（一）在分式中的應(yīng)用，

6、將已知條件變形，再直接代入4（二）在不等式中的應(yīng)用5（三）在求極限中的應(yīng)用5（四）在求導(dǎo)中的應(yīng)用6四、數(shù)學(xué)公式法及其應(yīng)用7（一）完全平方公式的變形及應(yīng)用7（二）三角公式變形及其應(yīng)用7（三）行列式變形及其應(yīng)用8五、分解組合思想及其應(yīng)用9（一）配方法91應(yīng)用于解方程和因式分解中92應(yīng)用于二次型中103用配方法證明柯西不等式10（二）拆項法111應(yīng)用于數(shù)列求和112應(yīng)用于行列式11（三）加“0”乘“1”法121加“0”122乘“1”133應(yīng)用于行列式13六、待定系數(shù)法及其應(yīng)用14（一）待定系數(shù)法14（二）應(yīng)用141在有理分式分解中的應(yīng)用152在求取值范圍中的應(yīng)用163在數(shù)列求和中的應(yīng)用164在極限中

7、的應(yīng)用17結(jié)束語18致 謝19參考文獻(xiàn)20一、緒論所謂代數(shù)變形是利用代數(shù)知識實施形變而質(zhì)不變的一種變形即將一個問題等價地變換為另一個問題，由一種形式轉(zhuǎn)換為實質(zhì)等價的另一種形式，將其歸結(jié)為比較熟悉的較易解決的問題或形式，其過程的實質(zhì)是從未知到已知的轉(zhuǎn)換過程，使原問題得以解決一般情況下，代數(shù)變形必須是恒等變形或同解變形，這是他必須遵循的原則，不能讓變形改變了題意在變形的時候，不能改變一些實質(zhì)性關(guān)鍵性的知識內(nèi)容，否則就會使原問題“改頭換面”，得到錯誤結(jié)果實施代數(shù)變形，要把握幾個主要因素，第一：題設(shè)中的關(guān)鍵性導(dǎo)語；第二：題設(shè)中的式子結(jié)構(gòu)特征；第三：題設(shè)中的內(nèi)在因素；第四：題設(shè)中所提供的數(shù)學(xué)模型，這些因

8、素在變形中起著決定作用，是決策變形思維的關(guān)鍵二、換元法及其應(yīng)用（一）換元法的定義換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，進而解決問題 （二）換元法的應(yīng)用1應(yīng)用于三角中例 求證證明 令 ，則左邊，右邊左邊，所以原恒等式成立2應(yīng)用于分式不等式中例 試證對滿足，的所有實數(shù)，有不等式：，并求出等號成立的充要條件證明 設(shè)，則，所以 ，因此 即 ，且當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?在方程組中的應(yīng)用例 已知方程組(1)， 求 (1)解 由第一個方程可知，設(shè)用去乘第個方程，兩邊得，

9、所以有，又因為所以三、直接法及其應(yīng)用利用數(shù)學(xué)本身的概念、性質(zhì)、法則等對已知條件直接進行變形，這是代數(shù)變形的最基本，最基礎(chǔ)的方法熟練掌握這些基本知識是進行代數(shù)變形的基礎(chǔ)和依據(jù)，是必要的前提和準(zhǔn)備（一）在分式中的應(yīng)用，將已知條件變形，再直接代入例 (1) 已知，且，求的值 (2) 已知，求的值解 (1) 由已知 ，所以 ，同理可得到，(2) 由已知條件知，把已知條件中的等式變形并利用等比性質(zhì)消去，得：，因此，所以（二）在不等式中的應(yīng)用例 設(shè)，且 求證： 證明 因為 ，所以，原不等式變形為，即，由算術(shù)平均調(diào)和平均，可得下式成立： 所以所求的原不等式成立（三）在求極限中的應(yīng)用例 求數(shù)列極限解 先求函數(shù)

10、極限，對數(shù)后的極限為：，所以由歸結(jié)原則可得：（四）在求導(dǎo)中的應(yīng)用例 設(shè) ，求解 先對函數(shù)式取對數(shù)得，再對上式兩邊分別求導(dǎo)數(shù)，得，整理后得到四、數(shù)學(xué)公式法及其應(yīng)用公式變形不僅僅是公式的基本形態(tài)的功能拓寬，而且在變形過程中，可以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和觀點，數(shù)學(xué)公式的轉(zhuǎn)化和簡化功能，更能深層次地理解公式的本質(zhì)，有利于培養(yǎng)思維能力，創(chuàng)新意識運用數(shù)學(xué)公式解決數(shù)學(xué)問題時，首先要對所學(xué)過的公式進行熟練掌握，這是基本的，首要的知識點，在此基礎(chǔ)上才能靈活變形使用（一）完全平方公式的變形及應(yīng)用由完全平方公式 ，我們可以進行恒等變形為：(1)；(2)；(3)上述幾個恒等式十分重要，在解數(shù)學(xué)題時，若能靈活應(yīng)用，往往能避繁

11、就簡，收到奇效，現(xiàn)舉例說明例 化簡 解 原式（二）三角公式變形及其應(yīng)用在三角恒等變形中，熟悉公式的變化形式，既要學(xué)會順用，又要學(xué)會逆用，還要會變用例 求證：證明 左邊 （三）行列式變形及其應(yīng)用學(xué)習(xí)行列式的時候，我們學(xué)習(xí)了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式計算或證明行列式時，應(yīng)根據(jù)反德蒙德行列式的特點，將所給的行列式化為范德蒙德行列式，然后根據(jù)范德蒙德行列式計算出結(jié)果例 計算階行列式解 此式不是范德蒙德行列式將第行，第行，第行分別向上和相鄰行交換次，次，次，共交換了次，得由階范德蒙德行列式的計算公式得五、分解組合思想及其應(yīng)用將分解和組合的思想用于代數(shù)變形，其方法靈活多

12、變，而且技巧性強，具體有“湊、配、添、拆”等實際做法（一）配方法所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式通過配方法解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法其中用的最多的是配成完全平方式1 應(yīng)用于解方程和因式分解中一般在解析式的變化過程中，使用公式，可使其呈現(xiàn)某一式的完全平方但在解答問題時，給定的多項式往往不是完全平方式，需要適當(dāng)配項，使之成為完全平方式，于此同時方可發(fā)現(xiàn)隱含條件例 設(shè)，求的值解 因為 ，所以 ， 又因為 ，所以 2應(yīng)用于二次型中例 用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型 解 二次型可化為，令 ， 即 ，則有的標(biāo)準(zhǔn)型為3用配方法證明柯西不等式例

13、 (柯西不等式)設(shè)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)，時不等式取等號證明 當(dāng)=0，即時，不等式成立；當(dāng)0時，作二次函數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，因為的充要條件是，所以 ，化簡整理得，在前面等式中令， 當(dāng)且僅當(dāng)，時不等式取等號（二）拆項法將某一式拆為另外兩式之和或差的形式，從而化繁為簡，化難為易1應(yīng)用于數(shù)列求和例 計算解 由 ，原式=2應(yīng)用于計算行列式例 計算階行列式解 按最后一列拆項得等號右邊第一個行列式按最后一列展開，第二個行列式最后一列提出后，第列減去最后一列的倍，即得（三）加“0”乘“1”法1加“0”例 在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，求證：當(dāng) 時，證明 2乘“1”例 設(shè)，求證：+2證明 =，同理 ，所以有+=2，

14、又上述三個不等式中“=”不能同時成立故+23應(yīng)用于計算行列式例 計算階行列式解 將行列式加邊升階為 六、待定系數(shù)法及其應(yīng)用（一）待定系數(shù)法在解數(shù)學(xué)問題中，若先判斷所求結(jié)果具有某種特定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種接替方法稱為待定系數(shù)法（二）應(yīng)用1在有理分式分解中的應(yīng)用例 對作部分分式分解解 令，分母可寫為幾個因式乘積的形式即：，則部分分式分解的待定形式為：，用乘以上式兩邊，得一恒等式，然后是等式兩邊同冪項系數(shù)相等，得到現(xiàn)行方程組：求出它的解： 并代入式所以原式的部分分式分解為

15、2在求取值范圍中的應(yīng)用例 已知，求證：證明 令 ，比較兩邊的對應(yīng)系數(shù)，得： 由于，所以有3在數(shù)列求和中的應(yīng)用例 求解 設(shè) ，比較兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，可得，故，則有 4在極限中的應(yīng)用例 若，求解 設(shè)，比較系數(shù)得 解得，所以 代數(shù)變形的常用技巧還很多，如整體化思想，分離變量等結(jié)束語本文主要淺談了代數(shù)變形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、極限、求導(dǎo)、三角、方程等方面的應(yīng)用，為解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題指引了方向，點明了思路，這些方法和技巧各自具有優(yōu)點和局限性，它們之間也無絕對界限，一道題有時可施加多種變形我們在應(yīng)用代數(shù)變形的方法去解決數(shù)學(xué)問題時，不一定非要嚴(yán)格遵循某一個統(tǒng)一的模式，需要依據(jù)問題本身所提供的信

16、息，利用動態(tài)思維，從中進行一番思考與選擇，尋求有利于問題解決得最佳變換途徑和方法致 謝本論文是在我的導(dǎo)師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的他嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵著我從課題的選擇到項目的最終完成，導(dǎo)師都始終給予我細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持長期以來，在此謹(jǐn)向?qū)熤乱哉\摯的謝意和崇高的敬意而且，我還要感謝濰坊繼續(xù)教育學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系的各位老師，是他們的傳道、授業(yè)、解惑和辛勤工作讓我們學(xué)到專業(yè)知識和如何求知治學(xué)感謝學(xué)校提供了良好的學(xué)習(xí)環(huán)境最后，我還要感謝我的家人，謝謝他們一直以來對我的關(guān)心和支持，同時，也向所有幫助我，關(guān)心我的朋友和同學(xué)表示最誠摯的感謝，謝謝他

17、們的支持和幫助參考文獻(xiàn)1張鐘宜略談三角恒等變形的技巧和方法J數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版）2陸如龍戴志祥證明分式不等式的變形技巧河北理科教學(xué)研究2003（1）3丁勝應(yīng)用恒等變形解決數(shù)學(xué)問題J成都紡織高等?？茖W(xué)校學(xué)報2005（4）4RestonVANational of teacher of mathematics curriculum and evaluation standardsfor school mathematics199865華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（第三版）M北京：高等教育出版社，2001（2003重?。?申志強例說代數(shù)式的恒等變形J中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2004（1）7仉志余等線性代數(shù)分級講練教程M北京大學(xué)出版社2006(6