高中數(shù)學(xué) 直線、平面、簡單幾何課時(shí)-03教材素材（通用）

1、平面的基本性質(zhì)（一） 平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，也是以后演繹推理的邏輯依據(jù)平面的基本性質(zhì)是通過三條公理及其重要推論來刻劃的，通過這些內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生初步了解從具體的直觀形象到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述的方法，使學(xué)生的思維從直覺思維上升至分析思維，使學(xué)生的觀念逐步從平面轉(zhuǎn)向空間一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)平面的基本性質(zhì)是通過三個(gè)與平面的特征有關(guān)的公理來規(guī)定的1公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法2公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法3

2、公理3及其三個(gè)推論是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)來解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問題的主要的思想方法4“有且只有一個(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個(gè)”說明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個(gè)”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性在數(shù)學(xué)語言的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一個(gè)”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證5公理3的三個(gè)推論是以公理

3、3為主要的推理論證的依據(jù)，是命題間邏輯關(guān)系的體現(xiàn)，為使命題的敘述和論證簡明、準(zhǔn)確，應(yīng)將其證明過程用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言表述（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1通過由模型示范到三條公理的文字?jǐn)⑹雠囵B(yǎng)觀察能力與空間想象能力2通過由公理3導(dǎo)出其三個(gè)推論的思考與論證培養(yǎng)邏輯推理能力3將三條定理及三個(gè)推論用符號(hào)語言表述，提高幾何語言水平（三）德育滲透點(diǎn)借助模型和實(shí)物來說明三個(gè)公理，進(jìn)行“數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐”的唯物主義觀念的教育，通過三條公理及公理3的三個(gè)推論的學(xué)習(xí)，逐步滲透事物間既有聯(lián)系又有區(qū)別的觀點(diǎn)，更由于對(duì)三個(gè)推論的證明培養(yǎng)言必有據(jù)，一絲不茍的學(xué)習(xí)品質(zhì)和公理法思想二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法1教學(xué)重點(diǎn)（1）體現(xiàn)平面基本性

4、質(zhì)的三條公理及其作用（3）兩條公理及公理3的三個(gè)推論中的“有且只有一個(gè)”的含義（3）用圖形語言和符號(hào)語言表述三條公理及公理3的三個(gè)推論（4）理解用反證法和同一法證明命題的思路，并會(huì)證一些簡單問題2教學(xué)難點(diǎn)（1）對(duì)“有且只有一個(gè)”語句的理解（2）對(duì)公理3的三個(gè)推論的存在性與唯一性的證明及書寫格式（3）確定兩相交平面的交線3解決辦法（1）從實(shí)物演示中引導(dǎo)學(xué)生觀察和實(shí)驗(yàn)，闡明公理的條件和結(jié)論間的直觀形象，加深對(duì)“有且只有一個(gè)”語句的理解（2）通過系列設(shè)問，幫助學(xué)生漸次展開思維和想象，理解公理的實(shí)質(zhì)和作用三、課時(shí)安排2課時(shí)四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)備好兩塊紙板，一塊薄平的泡沫板，四根長15cm左右的小竹針，其

5、中三根一樣長，一根稍短針對(duì)三條公理設(shè)計(jì)不同的活動(dòng)，對(duì)公理1，可作如下示范：把直尺的兩端緊按在玻璃黑板上，完全密接；對(duì)公理2，可用兩塊硬紙板進(jìn)行演示（如圖19）；對(duì)公理3，使用圖110所示的模型進(jìn)行演示五、教學(xué)步驟（一）明確目標(biāo)（1）理解井熟記平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論（2）掌握這三個(gè)公理和三個(gè)推論的文字語言、圖形語言、符號(hào)語言間的互譯（3）理解“有且只有一個(gè)”的含義，在此基礎(chǔ)上，以公理3為主要依據(jù)，推證其三個(gè)推論（4）能夠用模型來說明有關(guān)平面劃分空間的問題（5）理解并掌握證明命題的常用方法反證法和同一法（二）整體感知本課以平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論為主要內(nèi)容，既有學(xué)

6、生熟悉的事實(shí)，又有學(xué)生初次接觸的證明，因此以“設(shè)問實(shí)驗(yàn)歸納”法和講解法相結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)首先，對(duì)于平面基本性質(zhì)的三條公理，因?yàn)槭恰肮怼保瑹o需證明，教學(xué)中以系列設(shè)問結(jié)合模型示范引導(dǎo)學(xué)生共同思考、觀察和實(shí)驗(yàn)，從而歸納出三條公理并加以驗(yàn)證其中公理1應(yīng)以直線的“直”和“無限延伸”來刻劃平面的“平”和“無限延展”；公理2要抓住平面在空間的無限延展特征來講；公理3應(yīng)突出已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置，強(qiáng)調(diào)“三個(gè)點(diǎn)”且“不在同一直線上”通過三條公理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念，加深對(duì)“有且只有一個(gè)”語句的理解對(duì)于公理3的三個(gè)推論的證明，學(xué)生是初次接觸“存在性”和“唯一性”的證明，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以公理3為主要的推理

7、依據(jù)進(jìn)行分析，逐漸擺脫對(duì)實(shí)物模型的依賴，培養(yǎng)推理論證能力，證明過程不僅要進(jìn)行口頭表述，而且教師應(yīng)進(jìn)行板書，使學(xué)生熟悉證明的書寫格式和符號(hào)最后，無論定理還是推論，都要將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號(hào)語言，并且做到既不遺漏又不重復(fù)且忠于原意三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與完成過程A公理師：立體幾何中有一些公理，構(gòu)成一個(gè)公理體系人們經(jīng)過長期的觀察和實(shí)踐，把平面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理請(qǐng)同學(xué)們思考下列問題（用幻燈顯示）問題1：直線l上有一個(gè)點(diǎn)P在平面內(nèi)，直線l是否全部落在平面內(nèi)？問題2：直線l上有兩個(gè)點(diǎn)P、Q在平面內(nèi)，直線l是否全部落在平面內(nèi)？（用竹針穿過紙板演示問題1，用直尺緊貼著玻璃黑板演示問題2，學(xué)

8、生思考回答后教師歸納）這就是公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)這里的條件是什么？結(jié)論是什么？生：條件是直線（a）上有兩點(diǎn)（A、B）在平面（）內(nèi)，結(jié)論是：直線（a）在平面（）內(nèi)師：把條件表示為Aa，Bb且A，B，把結(jié)論表示11）這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿在這里，我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍呢？生：不是，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的師：對(duì)，根據(jù)公理1，直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限

9、的平面內(nèi)呢？所以平面具有無限延展的特征現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個(gè)現(xiàn)象（演示圖19（1）給學(xué)生看）問：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？生甲：只有一個(gè)公共點(diǎn)生乙：因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn)師：生乙答得對(duì)，正因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)那么這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？（教師隨手一壓，一塊紙板隨即插入另一塊紙板上事先做好的縫隙里）可見，這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上這說明，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線此時(shí)，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理2，其條件和結(jié)論分別是什么？生：條件是兩平面（、）有一公共點(diǎn)（A）

10、，結(jié)論是：它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的直線師：條件表示為A，A，結(jié)論表示為：a，Aa，圖形表示為圖19（2）或圖112公理2是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定相交平面的交線的方法下面請(qǐng)同學(xué)們思考下列問題（用幻燈顯示）：問題1：經(jīng)過空間一個(gè)已知點(diǎn)A可能有幾個(gè)平面？問題2：經(jīng)過空間兩個(gè)已知點(diǎn)A、B可能有幾個(gè)平面？問題3：經(jīng)過空間三個(gè)已知點(diǎn)A、B、C可能有幾個(gè)平面？（教師演示圖110給學(xué)生看，學(xué)生思考后回答，教師歸納）這說明，經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，即公理3，其條件、結(jié)論分別是什么？生：條件是：不在同一直線上的三點(diǎn)（A、B、C），結(jié)論是：過這三點(diǎn)（A、B、C）有且只有一個(gè)平面（）A

11、，B，C，圖形表示為圖113，公理3是確定平面位置的依據(jù)之一以上三個(gè)公理是平面的基本性質(zhì)其中公理2和公理3中的“有且只有一個(gè)”有兩層含義，在數(shù)學(xué)中，“有一個(gè)”是說明“存在”、但不唯一；“只有一個(gè)”是說明“唯一”，但不保證圖形存在也就是說，如果有頂多只有一個(gè)因此，在證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語句的命題時(shí)，要證明兩個(gè)方面存在性和唯一性B推論師：確定一個(gè)平面的依據(jù)，除公理3外，還有它的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面說出推論1的條件和結(jié)論生：條件是：一條直線和直線外一點(diǎn)，結(jié)論是：經(jīng)過這條直線和這一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面求證：經(jīng)過a和A有且只有一個(gè)平面證明：“存在性”即存在過

12、A、a的平面，在直線a上任取兩點(diǎn)B、CA、B、C三點(diǎn)不在同一直線上過A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面（公理3）B，C即過直線a和點(diǎn)A有一個(gè)平面“唯一性”，假設(shè)過直線a和點(diǎn)A還有一個(gè)平面B，C過不共線三點(diǎn)A、B、C有兩個(gè)平面、，這與公理3矛盾假設(shè)不成立，即過直線a和點(diǎn)A不可能還有另一個(gè)平面，而只能有一個(gè)平面這里證明“唯一性”時(shí)用了反證法推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面其條件、結(jié)論分別是什么？生：條件是：兩條直線相交，結(jié)論是：經(jīng)過這兩條直線有且只有一個(gè)平面師（板書）：已知：直線a直線bA求證：經(jīng)過a、b有且只有一個(gè)平面證明：“存在性”在a、b上分別取不同于點(diǎn)A的點(diǎn)B、C，得不在同一直線上的

13、三點(diǎn)A、B、C，則過A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面（公理3）Aa，Ba，A，B，平面是經(jīng)過相交直線a、b的一個(gè)平面“唯一性”設(shè)過直線a和b還有另一個(gè)平面，則A、B、C三點(diǎn)也一定都在平面內(nèi)過不共線三點(diǎn)A、B、C就有兩個(gè)平面和平面與平面重合過直線a、b的平面只有一個(gè)這里證明唯一性時(shí)，用的是“同一法”推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面（證明作為思考題）C練習(xí)1下面是一些命題的敘述語（A、B表示點(diǎn)，a表示直線，、表示平面）AA，B，ABBa，a，=a其中命題和敘述方法都正確的是 2下列推斷中，錯(cuò)誤的是 DA、B、C，A、B、C，且A、B、C不共3一個(gè)平面把空間分成_部分，兩個(gè)平面把空間最多分成_部分，三個(gè)平面把空間最多分成_部分4確定經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的平面與已知平面、的交線（圖116）四、總結(jié)、擴(kuò)展本課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，有三條公理及公理3的三推論其中公理1用于判定直線是否在平面內(nèi)，公理2用于判定兩平面相交，公理3及三個(gè)推論是確定平面