溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法

1、,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,當(dāng)彈性體的溫度變化時(shí)，其體積將趨于膨脹和收縮，若外部的約束或內(nèi)部的變形協(xié)調(diào)要求而使膨脹或收縮不能自由發(fā)生時(shí)，結(jié)構(gòu)中就會(huì)出現(xiàn)附加的應(yīng)力。這種因溫度變化而引起的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力，或溫度應(yīng)力。 忽略變溫對(duì)材料性能的影響，為了求得溫度應(yīng)力，需要進(jìn)行兩方面的計(jì)算：（1）由問(wèn)題的初始條件、邊界條件，按熱傳導(dǎo)方程求解彈性體的溫度場(chǎng)，而前后兩個(gè)溫度場(chǎng)之差就是彈性體的變溫。（2）按熱彈性力學(xué)的基本方程求解彈性體的溫度應(yīng)力。本章將對(duì)這兩方面的計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。,第六章 溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,第六章 溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,6-1 溫度場(chǎng)和

2、熱傳導(dǎo)的基本概念,1.溫度場(chǎng)：在任一瞬時(shí)，彈性體內(nèi)所有各點(diǎn)的溫度值的總體。用t表示。 不穩(wěn)定溫度場(chǎng)或非定常溫度場(chǎng)：溫度場(chǎng)的溫度隨時(shí)間而變化。 即 t=t（x，y，z，t） 穩(wěn)定溫度場(chǎng)或定常溫度場(chǎng)：溫度場(chǎng)的溫度只是位置坐標(biāo)的函數(shù)。 即 t=t（x，y，z） 平面溫度場(chǎng)：溫度場(chǎng)的溫度只隨平面內(nèi)的兩個(gè)位置坐標(biāo)而變。 即 t=t（x，y，t）,2.等溫面：在任一瞬時(shí)，連接溫度場(chǎng)內(nèi)溫度相同各點(diǎn)的曲面。顯然，沿著等溫面，溫度不變；沿著等溫面的法線方向，溫度的變化率最大。,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,3.溫度梯度：沿等溫面的法線方向，指向溫度增大方向的矢量。用t表示，其大小用 表示。其中n為等溫面的法線方向。溫

3、度梯度在各坐標(biāo)軸的分量為,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,取 為等溫面法線方向且指向增溫方向的單位矢量，則有,t,（1）,4.熱流速度：在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)等溫面面積s 的熱量。用 表示。 熱流密度：通過(guò)等溫面單位面積的熱流速度。用 表示，則有,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,其大小為,(2),溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,由（1）和（3）可見(jiàn)，熱流密度的大小,可見(jiàn)，導(dǎo)熱系數(shù)表示“在單位溫度梯度下通過(guò)等溫面單位面積 的熱流速度”。,稱為導(dǎo)熱系數(shù)。由（1）、（2）、（3）式得,t,熱流密度在坐標(biāo)軸上的投影,可見(jiàn)：熱流密度在任一方向的分量，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以 溫度在該方向的遞減率。,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,熱量平衡原理：在任

4、意一段時(shí)間內(nèi)，物體的任一微小部分所積蓄的熱量，等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量。,6-2 熱傳導(dǎo)微分方程,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,在同一段時(shí)間dt內(nèi)，由六面體左面?zhèn)魅霟崃縬xdydzdt，由右面?zhèn)鞒鰺崃?。因此，傳入的凈熱量為,由前后兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛椋?因此，傳入六面體的總凈熱量為： 簡(jiǎn)記為：,假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時(shí)間、單位體積供熱為w，則該熱源在時(shí)間dt內(nèi)所供熱量為wdxdydzdt。 根據(jù)熱量平衡原理得：,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,化簡(jiǎn)后得：,記,則,這就是熱傳導(dǎo)微分方程。,6-3 溫度場(chǎng)的邊值條件,初始條件： 邊界條件分四種形式： 第一

5、類邊界條件 已知物體表面上任意一點(diǎn)在所有瞬時(shí)的溫度，即 其中ts 是物體表面溫度。 第二類邊界條件 已知物體表面上任意一點(diǎn)的法向熱流密度，即 其中角碼 s 表示“表面”，角碼n 表示法向。,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,為了能夠求解熱傳導(dǎo)微分方程，從而求得溫度場(chǎng)，必須已知物體在初瞬時(shí)的溫度，即所謂初始條件；同時(shí)還必須已知初瞬時(shí)以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律，即所謂邊界條件。初始條件和邊界條件合稱為初值條件。,第三類邊界條件 已知物體邊界上任意一點(diǎn)在所有瞬時(shí)的運(yùn)流（對(duì)流）放熱情況。按照熱量的運(yùn)流定理，在單位時(shí)間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度，是和兩者的溫差成正比的，即,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解

6、法,其中te是周圍介質(zhì)的溫度； 稱為運(yùn)流放熱系數(shù)，或簡(jiǎn)稱熱系數(shù)。 第四類邊界條件 已知兩物體完全接觸，并以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換。即,6-4 按位移求解溫度應(yīng)力的平面問(wèn)題,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,但是，由于彈性體所受的外在約束以及體內(nèi)各部分之間的相互約束，上述形變并不能自由發(fā)生，于是就產(chǎn)生了應(yīng)力，即所謂溫度應(yīng)力。這個(gè)溫度應(yīng)力又將由于物體的彈性而引起附加的形變，如虎克定理所示。因此，彈性體總的形變分量是：,對(duì)于平面應(yīng)力的變溫問(wèn)題，上式簡(jiǎn)化為,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,這就是平面應(yīng)力問(wèn)題熱彈性力學(xué)的物理方程。,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,將應(yīng)力分量用形變分量和變溫t表示的物理方程為：,幾何方程仍然為：,將

7、幾何方程代入物理方程，得用位移分量和變溫t 表示的應(yīng)力分量,將上式代入不計(jì)體力的平衡微分方程,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,簡(jiǎn)化得：,這就是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問(wèn)題的微分方程。 同理，將應(yīng)力分量代入無(wú)面力的應(yīng)力邊界條件,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,（1）,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,簡(jiǎn)化后得：,這是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件。,位移邊界條件仍然為：,將式(1)、(2)與第二章2-8中式(1)、(2)對(duì)比，可見(jiàn),（2）,代替了體力分量 x 及 y ，而：,則得到在平面應(yīng)變條件下的相應(yīng)方程。,代替了面力分量 及 。,對(duì)于溫度應(yīng)力的平面應(yīng)變問(wèn)題，只須將溫度應(yīng)力的平面應(yīng)力問(wèn)題的,溫度應(yīng)力問(wèn)題

8、的基本解法,6-5 位移勢(shì)函數(shù)的引用,由上一節(jié)知：在平面應(yīng)力的情況下按位移求解溫度應(yīng)力問(wèn)題時(shí)，須使位移分量u 和v 滿足微分方程：,并在邊界上滿足位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。實(shí)際求解時(shí)，宜分兩步進(jìn)行：（1）求出上述微分的任意一組特解，它只需滿足微分方程，而不一定要滿足邊界條件。（2）不計(jì)變溫t，求出微分方程的一組補(bǔ)充解，使它和特解疊加以后，能滿足邊界條件。,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,可得相應(yīng)位移特解的應(yīng)力分量是：,設(shè) ， 為位移的補(bǔ)充解，則 ， 需滿足齊次微分方程：,相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量為（注意不計(jì)變溫，即t=0）：,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,

9、總的應(yīng)力分量是：,需滿足應(yīng)力邊界條件。在應(yīng)力邊界問(wèn)題中（沒(méi)有位移邊界條件），可以把相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量直接用應(yīng)力函數(shù)來(lái)表示，即 其中的應(yīng)力函數(shù) 可以按照應(yīng)力邊界條件的要求來(lái)選取。,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,在平面應(yīng)變條件下，將上述各方程中的,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,解：位移勢(shì)函數(shù) 所應(yīng)滿足的微分方程為,將a，b回代，得位移勢(shì)函數(shù) 于是相應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量為 為求補(bǔ)充解，取 可得所需要的相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量：,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,因此，總的應(yīng)力分量為,邊界條件要求,顯然，后三個(gè)條件是滿足的；而第一個(gè)條件不能滿足，但由于 ，可應(yīng)用圣維南原理，把第一個(gè)條件變換為靜力等效條件，即，在

10、 的邊界上， 的主矢量及主矩等于零： 將,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,代入上式，求得 于是矩形板的溫度應(yīng)力為：,6-6 軸對(duì)稱溫度場(chǎng)平面熱應(yīng)力問(wèn)題,對(duì)于圓形、圓環(huán)及圓筒等這類軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)彈性體，若其變溫也是軸對(duì)稱的t=t（r），則可簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱溫度場(chǎng)平面熱應(yīng)力問(wèn)題。軸對(duì)稱溫度場(chǎng)平面熱應(yīng)力問(wèn)題，宜采用極坐標(biāo)求解。 不考慮體積力平面應(yīng)力問(wèn)題平衡方程,在軸對(duì)稱問(wèn)題中得到簡(jiǎn)化，其第二式自然滿足；而第一式成為,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,幾何方程簡(jiǎn)化為,物理方程簡(jiǎn)化為,將應(yīng)力用應(yīng)變表示,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,其中常數(shù)a，b由邊界條件確定。 在平面應(yīng)變的情況下，只需在以上各式中將,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,對(duì)于軸對(duì)稱溫度場(chǎng)有,積分兩次得：,或,由邊界條件：,求出a，b后回代，得溫度場(chǎng)：,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,積分后得,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,將t代入平面應(yīng)變問(wèn)題應(yīng)力表達(dá)式,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,由此得,取,則,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,所以,邊界條件,顯然滿足,由,即,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,得,而邊界條件,恒成立。,故,溫度應(yīng)力問(wèn)題的基本解法,練習(xí)6.2 已知半徑為b的均質(zhì)圓盤(pán)，置于等溫剛性套箍?jī)?nèi)，圓盤(pán)和套箍由相同的材料制成，設(shè)圓盤(pán)按如下規(guī)律加熱,套箍溫度則保持為常溫t0，