高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題線面垂直典型例題的判定與性質(zhì)

1、 線面垂直知識(shí)點(diǎn)1.直線和平面垂直定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.判定定理：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.判定定理：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面.性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.3.三垂線定理和它的逆定理.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直.逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條

2、斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面上的射影垂直.題型示例 【例1】 如圖所示，已知點(diǎn)s是平面abc外一點(diǎn)，例1題圖abc=90，sa平面abc，點(diǎn)a在直線sb和sc上的射影分別為點(diǎn)e、f，求證：efsc.【解前點(diǎn)津】 用分析法尋找解決問(wèn)題的途徑，假設(shè)efsc成立，結(jié)合afsc可推證sc平面aef，這樣scae，結(jié)合aesb，可推證ae平面sbc，因此證明ae平面sbc是解決本題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).由題設(shè)sa平面abc，abc=90，可以推證bcae，結(jié)合aesb完成ae平面sbc的證明.【規(guī)范解答】【解后歸納】 題設(shè)中條件多，圖形復(fù)雜，結(jié)合題設(shè)理清圖形中基本元素之間的位置關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【例2

3、】 已知：mn=ab,pqm于q，pon于o，orm于r，求證：qrab.【解前點(diǎn)津】 由求證想判定，欲證線線垂直，方法有（1）ab,acbc;(2)a,bab;(3)三垂線定理及其逆定理.由已知想性質(zhì)，知線面垂直，可推出線線垂直或線線平行.【解后歸納】 處于非常規(guī)位置圖形上的三垂線定理或逆定理的應(yīng)用問(wèn)題，要抓住“一個(gè)面”、“四條線”.所謂“一個(gè)面”：就是要確定一個(gè)垂面，三條垂線共處于垂面之上.所謂“四條線”：就是垂線、斜線、射影以及平面內(nèi)的第四條線，這四條線中垂線是關(guān)鍵的一條線，牽一發(fā)而動(dòng)全身，應(yīng)用時(shí)一般可按下面程序進(jìn)行操作：確定垂面、抓準(zhǔn)斜線、作出垂線、連結(jié)射影，尋第四條線.【例3】 已知

4、如圖(1)所示，矩形紙片aaa1a1,b、c、b1、c1 分別為aa,a1a的三等分點(diǎn)，將矩形紙片沿bb1,cc1折成如圖(2)形狀（正三棱柱），若面對(duì)角線ab1bc1，求證:a1cab1.例3題圖解(1)【解前點(diǎn)津】 題設(shè)主要條件是ab1bc，而結(jié)論是ab1a1c，題設(shè)，題斷有對(duì)答性，可在abb1a1上作文章，只要取a1b1中點(diǎn)d1，就把異面直線ab1與bc1垂直關(guān)系轉(zhuǎn)換到abb1a1同一平面內(nèi)ab1與bd1垂直關(guān)系，這里要感謝三垂線逆定理.自然想到題斷ab1與a1c垂直用同法（對(duì)稱原理）轉(zhuǎn)換到同一平面，取ab中點(diǎn)d即可，只要證得a1d垂直于ab1，事實(shí)上dbd1a1，為平行四邊形，解題路子

5、清楚了.【解后歸納】 證線線垂直主要途徑是：（1）三垂線正逆定理，（2）線面，線線垂直互相轉(zhuǎn)化.利用三垂線正逆定理完成線線歸面工作，在平面內(nèi)完成作解任務(wù).證線線垂直，線面垂直，常常利用線面垂直，線線垂直作為橋梁過(guò)渡過(guò)來(lái)，這種轉(zhuǎn)化思想有普遍意義，利用割補(bǔ)法把幾何圖形規(guī)范化便于應(yīng)用定義定理和公式，也是不容忽視的常用方法.例4題圖【例4】 空間三條線段ab,bc,cd,abbc,bccd,已知ab=3,bc=4,cd=6,則ad的取值范圍是 .【解前點(diǎn)津】 如圖，在直角梯形abcd1中,cd1=6,ad1的長(zhǎng)是ad的最小值,其中ahcd1,ah=bc=4,hd1=3,ad1=5;在直角ahd2中,c

6、d2=6,ad2是ad的最大值為【解后歸納】 本題出題形式新穎、靈活性大，很多學(xué)生對(duì)此類題感到無(wú)從入手,其實(shí)冷靜分析，找出隱藏的條件很容易得出結(jié)論.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.設(shè)m表示平面，a、b表示直線，給出下列四個(gè)命題： bm bm.其中正確的命題是 ( )a. b. c. d.2.下列命題中正確的是 ( )a.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面b.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面c.若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面的直線必定垂直于這條直線d.若一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個(gè)平面3

7、.如圖所示，在正方形abcd中，e、f分別是ab、bc的中點(diǎn).現(xiàn)在沿de、df及ef把a(bǔ)de、cdf和bef折起，使a、b、c三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為p.那么，在四面體pdef中，必有 ( )第3題圖a.dp平面pef b.dm平面pef c.pm平面def d.pf平面def4.設(shè)a、b是異面直線，下列命題正確的是 ( )a.過(guò)不在a、b上的一點(diǎn)p一定可以作一條直線和a、b都相交b.過(guò)不在a、b上的一點(diǎn)p一定可以作一個(gè)平面和a、b都垂直c.過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b垂直d.過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b平行5.如果直線l,m與平面,滿足:l=,l,m和m,那么必有 ( )a.且lm b.且m c

8、.m且lm d.且6.ab是圓的直徑，c是圓周上一點(diǎn)，pc垂直于圓所在平面，若bc=1,ac=2,pc=1，則p到ab的距離為 ( )a.1 b.2 c. d.7.有三個(gè)命題：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；過(guò)平面的一條斜線l有且僅有一個(gè)平面與垂直； 異面直線a、b不垂直，那么過(guò)a的任一個(gè)平面與b都不垂直其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )a.0 b.1 c.2 d.38.d是異面直線a、b的公垂線，平面、滿足a，b，則下面正確的結(jié)論是 ( )a.與必相交且交線md或m與d重合b.與必相交且交線md但m與d不重合c.與必相交且交線m與d一定不平行d.與不一定相交9.設(shè)l、m為直線，為平面，且l，給出下

9、列命題 若m，則ml；若ml，則m；若m，則ml；若ml，則m，其中真命題的序號(hào)是 ( )a. b. c. d.10.已知直線l平面，直線m平面，給出下列四個(gè)命題：若，則lm；若，則lm；若lm，則；若lm，則.其中正確的命題是 ( )a.與 b.與 c.與 d.與二、思維激活第12題圖11.如圖所示，abc是直角三角形，ab是斜邊，三個(gè)頂點(diǎn)在平面的同側(cè)，它們?cè)趦?nèi)的射影分別為a，b，c，如果abc是正三角形，且aa3cm，bb5cm，cc4cm，則abc的面積是 . 第13題圖第11題圖12.如圖所示,在直四棱柱a1b1c1d1abcd中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蝍bcd滿足條件 時(shí),有a1cb1d1(注

10、:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)13.如圖所示，在三棱錐vabc中，當(dāng)三條側(cè)棱va、vb、vc之間滿足條件 時(shí)，有vcab.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)三、能力提高14.如圖所示,三棱錐v-abc中,ah側(cè)面vbc,且h是vbc的垂心，be是vc邊上的高.第14題圖(1)求證:vcab;(2)若二面角eabc的大小為30,求vc與平面abc所成角的大小.15.如圖所示，pa矩形abcd所在平面，m、n分別是ab、pc的中點(diǎn).第15題圖(1)求證：mn平面pad.(2)求證：mncd.(3)若pda45，求證：mn平面pcd.16.如圖所示，在四棱錐pabcd中，

11、底面abcd是平行四邊形，bad60，ab4，ad2，側(cè)棱pb，pd.(1)求證：bd平面pad. (2)若pd與底面abcd成60的角，試求二面角pbca的大小.第16題圖17.已知直三棱柱abc-a1b1c1中，acb=90,bac=30,bc=1，aa1=，m是cc1的中點(diǎn)，求證：ab1a1m 18.如圖所示，正方體abcdabcd的棱長(zhǎng)為a，m是ad的中點(diǎn)，n是bd上一點(diǎn)，且dnnb12，mc與bd交于p.(1)求證：np平面abcd. 第18題圖(2)求平面pnc與平面ccdd所成的角.(3)求點(diǎn)c到平面dmb的距離.第4課 線面垂直習(xí)題解答1.a 兩平行中有一條與平面垂直，則另一條

12、也與該平面垂直，垂直于同一平面的兩直線平行.2.c 由線面垂直的性質(zhì)定理可知.3.a 折后dppe,dppf，pepf.4.d 過(guò)a上任一點(diǎn)作直線bb,則a，b確定的平面與直線b平行.5.a依題意,m且m,則必有,又因?yàn)閘=則有l(wèi),而m則lm,故選a.6.d過(guò)p作pdab于d，連cd，則cdab，ab=，pd=.7.d 由定理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確.8.a 顯然與不平行.9.d 垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.10.b ，l，lm11.cm2 設(shè)正三角abc的邊長(zhǎng)為a.ac2=a2+1,bc2=a2+1,ab=a2+4，又ac2+bc2=ab2，

13、a2=2sabc=cm212.在直四棱柱a1b1c1d1abcd中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蝍bcd滿足條件acbd(或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其它條件，例如abcd是正方形，菱形等)時(shí),有a1cb1d1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).點(diǎn)評(píng)：本題為探索性題目，由此題開(kāi)辟了填空題有探索性題的新題型，此題實(shí)質(zhì)考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應(yīng)靈活.13.vcva，vcab. 由vcva，vcab知vc平面vab.14.(1)證明:h為vbc的垂心,vcbe,又ah平面vbc,be為斜線ab在平面vbc上的射影,abvc.(2)解:由(1)知vcab,vcbe,vc平面abe,在

14、平面abe上,作edab,又abvc,ab面dec.abcd,edc為二面角eabc的平面角，edc=30,ab平面vcd,vc在底面abc上的射影為cd.vcd為vc與底面abc所成角,又vcab,vcbe,vc面abe,vcde,ced=90,故ecd=60,vc與面abc所成角為60.15.證明：(1)如圖所示，取pd的中點(diǎn)e，連結(jié)ae，en，則有encdabam，encdabam，故amne為平行四邊形.mnae.第15題圖解ae平面pad，mn平面pad，mn平面pad.(2)pa平面abcd，paab.又adab，ab平面pad.abae，即abmn.又cdab，mncd.(3)p

15、a平面abcd，paad.又pda45，e為pd的中點(diǎn).aepd，即mnpd.又mncd，mn平面pcd.16.如圖(1)證：由已知ab4，ad，bad60，第16題圖解故bd2ad2+ab2-2adabcos604+16-22412.又ab2ad2+bd2，abd是直角三角形，adb90，即adbd.在pdb中，pd，pb，bd，pb2pd2+bd2，故得pdbd.又pdadd，bd平面pad.(2)由bd平面pad，bd平面abcd.平面pad平面abcd.作pead于e，又pe平面pad，pe平面abcd，pde是pd與底面abcd所成的角.pde60，pepdsin60.作efbc于f，連pf，則pfbf，pfe是二面角pbca的平面角.又efbd，在rtpef中，tanpfe.故二面角pbca的大小為arctan.17.連結(jié)ac1，.rtacc1rtmc1a1，ac1c=ma1c1，a1mc1+ac1c=a1mc1+ma1c1=90.a1mac1,又abc-a1b1c1為直三棱柱，cc1b1c1，又b1c1a1c1，b1c1平面ac1m.由三垂線定理知ab1a1m. 點(diǎn)評(píng)：要證ab1a1m，因b1c1平面ac1，由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證ac1a1m，而ac1a1m一定會(huì)成立18.(1)證明：在正方形